Trigonomeetrilised integraalid

Siinuse või koosinuse paaritu astme integreerimiseks piisab ühest asendusest. Paarisastme puhul tuleb esmalt kasutada trigonomeetrilist valemit; ühe täispöörde pindala selgitab, miks. Asendus x = sin θ viib avaldise √(1 − x²) ringjoonele, kus vastuse iga liige vastab ühele joonise osale. Vaata lahendus sammhaaval läbi ja proovi siis ise.

Paarisastmed: poolita nurk	$sin^{2} x cos^{2} x = \frac{1}{2} (1 - cos 2 x) = \frac{1}{2} (1 + cos 2 x)$
Paaritu aste: ühest tegurist saab du	$sin^{2 k + 1} x u = (1 - cos^{2} x)^{k} sin x = cos x$
Juur avaldisest a² ± x²	$a^{2} - x^{2} a^{2} + x^{2} : x = a sin θ : x = a tan θ$

Näidisarvutus — Trigonomeetrilised integraalid

Pindala 0-st b-ni	0,0000
Täispöörde pindala, 0-st 2π-ni	0,0000
Täispöörde keskmine väärtus c₀	0,0000
Pindala xᵏ√(1 − x²) all, 0-st X-ni	0,5618
Sama pindala θ kaudu	0,5618
Nurgaliige c₀·θ	0,3218
Algebraline liige, ülejäänud osa	0,2400

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Trigonomeetrilised integraalid

Trigonomeetrilised integraalid on sin x ja cos x astmete korrutiste integraalid. Trigonomeetriline asendus teisendab ruutavaldisest võetud juure selliseks integraaliks: √(a² − x²) korral x = a sin θ, √(x² + a²) korral x = a tan θ ja √(x² − a²) korral x = a sec θ. Kõik need seosed saab lugeda täisnurksest kolmnurgast. Paaritu astme integreerimiseks eraldatakse üks tegur ja võetakse u-ks teine trigonomeetriline funktsioon. Kui kõik astmed on paaris, alandatakse neid esmalt poolnurga valemitega sin²x = ½ − ½cos 2x ja cos²x = ½ + ½cos 2x.

Mida iga sümbol tähendab

θ: asenduses kasutatav nurk; asenduse x = a sin θ korral jääb see vahemikku −π/2 kuni π/2, kus cos θ ≥ 0, seega √(a² − x²) = a cos θ
c₀: sinᵐx·cosⁿx keskmine väärtus ühe täispöörde jooksul: 0, kui m või n on paaritu, ning (m − 1)!!·(n − 1)!!/(m + n)!!, kui mõlemad on paaris; siin n!! = n(n − 2)(n − 4)… kuni 1 või 2-ni ning 0!! = (−1)!! = 1

Kust valem tuleb

Miks paarisastme algfunktsioon kasvab? Funktsiooni sinᵐx·cosⁿx iga algfunktsiooni F korral on F(x + 2π) − F(x) ühe täispöörde pindala 2π·c₀, sõltumata x-i väärtusest. Seega on F(x) − c₀·x perioodiga 2π. Asendused u = cos x ja u = sin x annavad cos x või sin x kaudu avaldatud funktsiooni, millel endal on periood 2π. Need saavad anda täieliku vastuse ainult siis, kui c₀ = 0 ehk vähemalt üks astmetest on paaritu.
$F (x + 2 π) - F (x) = \int_{x}^{x + 2 π} sin^{m} t cos^{n} t d t = 2 π c_{0} \Rightarrow F (x) - c_{0} x = F (x + 2 π) - c_{0} (x + 2 π)$

Ülesanded täielikult lahendatud

Siinuse paaritu aste 3 sammu
Leia ∫sin³x dx.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Jätame ühe sin x teguri du tarvis ja teisendame ülejäänud kaks koosinusteks:
  
  $sin^{3} x = (1 - cos^{2} x) sin x, u = cos x, d u = - sin x d x$
2. Hulkliige u suhtes:
  
  $\int (1 - u^{2}) (- d u) = - u + \frac{u ^{3}}{3}$
3. Tagasi muutuja x juurde:
  
  $- cos x + \frac{cos ^{3} x}{3} + C$
Vastus

−cos x + cos³x/3 + C. Diferentsiaalis du = −sin x dx on miinusmärk. Kui see kaob, vahetuvad kõigi liikmete märgid ja tööriist loeb tulemuse märgiveaks.

$\int sin^{3} x d x = - cos x + \frac{cos ^{3} x}{3} + C$
Koosinuse paaritu aste paarisastmes siinuse kõrval 2 sammu
Leia ∫sin²x cos³x dx.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Paaritu aste kuulub koosinusele. Jätame ühe cos x teguri du tarvis ja avaldame ülejäänu siinuste kaudu:
  
  $sin^{2} x cos^{3} x = sin^{2} x (1 - sin^{2} x) cos x, u = sin x, d u = cos x d x$
2. Hulkliige u = sin x suhtes:
  
  $\int (u^{2} - u^{4}) d u = \frac{u ^{3}}{3} - \frac{u ^{5}}{5}$
Vastus

sin³x/3 − sin⁵x/5 + C. Asenduse määrab paaritu aste. Kui aga paaritud on mõlemad, sobib kumb tahes.

$\int sin^{2} x cos^{3} x d x = \frac{sin ^{3} x}{3} - \frac{sin ^{5} x}{5} + C$
Mõlemad astmed on paaris: poolnurga valem kaks korda 3 sammu
Leia ∫sin²x cos²x dx.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Diferentsiaali du jaoks pole paaritut astet võtta. Kõigepealt kaksiknurga valem:
  
  $sin x cos x = \frac{1}{2} sin 2 x \Rightarrow sin^{2} x cos^{2} x = \frac{1}{4} sin^{2} 2 x$
2. Seejärel poolnurga valem avaldisele sin²2x:
  
  $\frac{1}{4} sin^{2} 2 x = \frac{1}{8} (1 - cos 4 x)$
3. Integreerime liikmeti:
  
  $\int \frac{1}{8} (1 - cos 4 x) d x = \frac{x}{8} - \frac{sin 4 x}{32} + C$
Vastus

x/8 − sin 4x/32 + C. Liige x/8 on paarisastmega kaasnev tõus: kaheksandik x-i iga ühiku kohta. Kui see välja jätta, teatab tööriist, et tuletisest jääb kõikjal 1/8 puudu.

$\int sin^{2} x cos^{2} x d x = \frac{x}{8} - \frac{sin 4 x}{32} + C$
Kaks eri sagedust: korrutisest summaks 3 sammu
Leia ∫sin 3x cos x dx.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Eri kordsete argumentidega siinuse ja koosinuse korrutis on tegelikult varjatud summa:
  
  $sin A cos B = \frac{1}{2} [sin (A + B) + sin (A - B)]$
2. Kui A = 3x ja B = x:
  
  $sin 3 x cos x = \frac{1}{2} (sin 4 x + sin 2 x)$
3. Integreerime kumbagi siinust:
  
  $\int \frac{1}{2} (sin 4 x + sin 2 x) d x = - \frac{cos 4 x}{8} - \frac{cos 2 x}{4} + C$
Vastus

−cos 4x/8 − cos 2x/4 + C. Valemi tegur ½ läheb kergesti kaotsi. Ilma selleta on tulemus kaks korda suurem ja just seda tööriist näitabki.

$\int sin 3 x cos x d x = - \frac{cos 4 x}{8} - \frac{cos 2 x}{4} + C$
Esmalt samasus 2 sammu
Leia ∫tan²x dx.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Funktsioonil tan²x vahetut algfunktsiooni pole, sec²x puhul aga on:
  
  $tan^{2} x = sec^{2} x - 1$
2. Integreeri liigeti:
  
  $\int (sec^{2} x - 1) d x = tan x - x + C$
Vastus

tan x − x + C. Kui kirjutada vaid tan x, ununeb −1; tööriist näitab igas punktis 1 võrra liiga suurt tuletist.

$\int tan^{2} x d x = tan x - x + C$
√(1 − x²): vii x ringjoonele 3 sammu
Leia ∫x²/√(1 − x²) dx.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Tee asendus x = sin θ, mis teisendab juure avaldiseks cos θ:
  
  $x = sin θ, d x = cos θ d θ, 1 - x^{2} = cos θ$
2. Koosinused taanduvad ja alles jääb siinuse paarisaste:
  
  $\int \frac{sin ^{2} θ}{cos θ} cos θ d θ = \int sin^{2} θ d θ = \frac{θ}{2} - \frac{sin 2 θ}{4}$
3. Tagasi x juurde valemiga sin 2θ = 2 sin θ cos θ:
  
  $sin 2 θ = 2 sin θ cos θ = 2 x 1 - x^{2} \Rightarrow \frac{arcsin x}{2} - \frac{x 1 - x ^{2}}{2} + C$
Vastus

(arcsin x − x√(1 − x²))/2 + C. Arksiinus vastab sektorile ja teine liige kolmnurgale, nagu kolmnurga ja sektori selgituses; siin lahutatakse kolmnurk maha.

$\int \frac{x ^{2}}{1 - x ^{2}} d x = \frac{arcsin x - x 1 - x ^{2}}{2} + C$
x² + a²: vii x puutujale 3 sammu
Leia ∫dx/(x² + 4)^3/2.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Tee asendus x = 2 tan θ, nii et x² + 4 = 4 sec²θ:
  
  $x = 2 tan θ, d x = 2 sec^{2} θ d θ, x^{2} + 4 = 4 sec^{2} θ$
2. Suurem osa taandub:
  
  $\int \frac{2 sec ^{2} θ}{8 sec ^{3} θ} d θ = \frac{1}{4} \int cos θ d θ = \frac{sin θ}{4}$
3. Tagasi x juurde kolmnurga abil, mille vastaskaatet on x, lähiskaatet 2 ja hüpotenuus √(x² + 4):
  
  $tan θ = \frac{x}{2} \Rightarrow sin θ = \frac{x}{x ^{2} + 4} \Rightarrow \frac{x}{4 x ^{2} + 4} + C$
Vastus

x/(4√(x² + 4)) + C. ¼ tuleneb murrust 2/8; kui see välja jätta, näitab tööriist integraalialusest funktsioonist neli korda suuremat tuletist.

$\int \frac{d x}{( x ^{2} + 4 ) ^{3/2}} = \frac{x}{4 x ^{2} + 4} + C$
sin⁸x täispöörde pindala taandamisvalemiga 4 sammu
Lehel saab valida astmeid kuni astmeni 6. Kui suur on sin⁸x täispöörde pindala ja milline on sirge tõus, mida mööda selle algfunktsioon kasvab? Vajuta sin⁴x: taandamisvalem: lehel on sin⁴x pindala 2,3562 ja keskmine väärtus 0,3750.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Kirjuta sinⁿx = sinⁿ⁻¹x·sin x ja integreeri ositi, võttes u = sinⁿ⁻¹x. Täispöörde otspunktides annab liige −sinⁿ⁻¹x cos x väärtuse 0. Asendus cos²x = 1 − sin²x toob Iₙ ka paremale poole, kust saab selle avaldada:
  
  $I_{n} = \int_{0}^{2 π} sin^{n} x d x = [- sin^{n - 1} x cos x]_{0}^{2 π} + (n - 1) \int_{0}^{2 π} sin^{n - 2} x (1 - sin^{2} x) d x \Rightarrow I_{n} = \frac{n - 1}{n} I_{n - 2}$
2. Alusta väärtusest I₀ = 2π, mis on konstantse funktsiooni 1 täispöörde pindala, ja suurenda astendajat igal sammul kahe võrra. I₄ annab lehel näidatud väärtuse:
  
  $I_{0} = 2 π, I_{2} = \frac{1}{2} \cdot 2 π = π, I_{4} = \frac{3}{4} \cdot π = \frac{3 π}{4} = 2.3562$
3. Veel kaks sammu viivad sin⁸x juurde:
  
  $I_{6} = \frac{5}{6} \cdot \frac{3 π}{4} = \frac{5 π}{8} = 1.9635, I_{8} = \frac{7}{8} \cdot \frac{5 π}{8} = \frac{35 π}{64} = 1.7181$
4. Algfunktsiooni kasvu kirjeldava sirge tõus on täispöörde pindala jagatud 2π-ga:
  
  $c_{0} = \frac{I _{8}}{2 π} = \frac{35}{128} = 0.2734$
Vastus

Täispöörde pindala on 35π/64 ≈ 1,7181 ja sirge tõus 35/128 ≈ 0,2734. Igal sammul korrutatakse tulemust teguriga (n − 1)/n, nii et keskmine väärtus väheneb ligikaudu nagu √(2/(πn)). Kui n = 8, annab see 0,2821; tegelik väärtus on 0,2734. Sama taandamist saab kasutada veerandpöördel ka paaritute astmete jaoks, mille algväärtus on π/2 asemel 1. Kui hinnata iga paarisastme integraali naabruses olevate paaritute astmete integraalidega ülalt ja alt, annavad suhted korrutamisel John Wallise korrutise π/2 = (2·2·4·4·6·6…)/(1·3·3·5·5·7…). Wallis esitas selle teoses Arithmetica infinitorum (1656), otsides viisi veerandringi pindala ∫₀¹√(1 − x²) dx arvutamiseks.

$\int_{0}^{2 π} sin^{8} x d x = \frac{35 π}{64} \approx 1.7181, c_{0} = \frac{35}{128} \approx 0.2734$

Paaritud astmed tasakaalustuvad, paarisastmete pindala kasvab 🖖

Vajuta sin³x: täispööre. Vahemikus π kuni 2π on sin³x graafik sama kujuga kui vahemikus 0 kuni π, kuid tagurpidi, nii et täispöörde märgiga pindala on 0,0000. Algfunktsioon cos³x/3 − cos x jõuab iga 2π järel tagasi algväärtuseni. Asendused u = cos x ja u = sin x saavadki anda ainult selliseid vastuseid: cos x või sin x kaudu avaldatud funktsioon kordub iga 2π järel. Nüüd vajuta sin²x: puuduv x. sin²x on kõikjal mittenegatiivne ja iga täispööre lisab pindala π = 3,1416. Ka algfunktsiooni väärtus peab iga täispöördega kasvama π võrra, piki sirget x/2. Ükski cos x kaudu avaldatud funktsioon nii ei kasva, mistõttu selle asendusega vastust ei leia. Poolnurga valem sin²x = ½ − ½cos 2x sobib, sest konstantne liige ½ annab integreerimisel just vajaliku x/2. Harjutusse on sisestatud −sin(2x)/4, kust x/2 on välja jäetud. Kontroll näitab, et tuletisest jääb igas punktis puudu ½. Tabel annab algfunktsiooni kasvu ühe täispöörde jooksul kõigi astmete jaoks kuni astmeni 6: paaritutel 0, paarisastmetel π, 3π/4 ja 5π/8.

∫√(1 − x²) kaks liiget annavad kolmnurga ja sektori pindala 🖖

Vajuta Kolmnurk ja sektor. √(1 − x²) graafik on ühikringjoone ülemine pool, nii et selle alune pindala 0-st x-ni on osa ringist. Punkti (x; √(1 − x²)) tõmmatud raadius jagab selle kaheks. Raadiuse all on täisnurkne kolmnurk kaatetitega x ja √(1 − x²), mille pindala on x√(1 − x²)/2. Kõrval on sektor nurgaga θ = arcsin x ja pindalaga θ/2. Kui x = 0,6, on nende pindalad 0,2400 ja 0,3218 ning summa 0,5618. Algfunktsiooni (x√(1 − x²) + arcsin x)/2 liikmed vastavad täpselt nendele kahele osale. Muutuja θ kaudu on integreeritav funktsioon cos²θ, paarisaste. Katkendjoone ½ all oleva riba pindala θ/2 vastab sektorile. Ülejäänud osa annab integreerimisel sin 2θ/4 ehk kolmnurga pindala. Lohista X väärtuseni 1. Kolmnurk kaob ja sektorist saab veerand ringi, π/4 = 0,7854. Integreeritavas avaldises π-d ei ole, kuid vastusesse toob selle nurk arcsin 1.

π esineb integraalis ∫₀¹ xᵏ√(1 − x²) dx täpselt siis, kui k on paaris 🖖

Vajuta Nurka pole vaja. x√(1 − x²) pindala 0-st 1-ni on 0,3333 ehk 1/3 ning alumise joonise nurgaliige on 0,0000. Juure ees olev x on −½ korda avaldise 1 − x² tuletis, seega piisab asendusest u = 1 − x². Harjutuses õigeks loetav vastus −(1 − x²)^(3/2)/3 ei sisalda arkussiinust. Proovi järjest integreeritavate funktsioonide nuppe: π esineb pindalas, kui k = 0, 2 ja 4 (π/4, π/16, π/32), kuid puudub, kui k = 1, 3 ja 5 (1/3, 2/15, 8/105). Siin ilmneb ringjoonel sama paaris- ja paaritute astmete erinevus nagu esimeses osas. Asendusega x = sin θ saab avaldisest xᵏ√(1 − x²) dx avaldis sinᵏθ·cos²θ dθ. Paaritu k korral jääb siinuse aste paarituks ja selle keskmine väärtus täispöördel on 0, mistõttu θ-d sisaldavat liiget ei teki. Ainult sellest liikmest saaks tulla arcsin x või π väärtusel x = 1. Kui √(1 − x²) on korrutatud x-i paaritu astmega, pole kolmnurka vaja.

Õpitee

Integreerimismeetodid

Allikad (3)

The strategy for ∫cosʲx·sinᵏx: if k is odd, keep one sin x and write the rest in cos x with sin²x = 1 − cos²x, then u = cos x; if j is odd, the same with the roles swapped and u = sin x; if both are even, the half-angle identities sin²x = ½ − ½cos 2x and cos²x = ½ + ½cos 2x. Example 3.10 integrates sin²x to x/2 − sin(2x)/4: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 2, OpenStax (2016), section 3.2, “Trigonometric Integrals”.
The three substitutions and their reference triangles: x = a sin θ with −π/2 ≤ θ ≤ π/2, where cos θ ≥ 0 so the root is a cos θ (Example 3.21 integrates √(9 − x²) this way); x = a tan θ; x = a sec θ, where the root is |a tan θ| and changes sign between x ≥ a and x ≤ −a. The strategy for √(a² − x²) begins by advising a check that the integral cannot be done more easily, naming x√(a² − x²) as one u-substitution handles, and Example 3.23 does x³√(1 − x²) both ways: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 2, OpenStax (2016), section 3.3, “Trigonometric Substitution”.
Wallis's product π/2 = (2·2·4·4·6·6·8·8…)/(1·3·3·5·5·7·7·9…), in Arithmetica infinitorum (1656), found while trying to compute ∫₀¹ (1 − x²)^(1/2) dx, the area of a quarter of the unit circle: he could integrate (1 − x²)ⁿ for whole n and reached the half power by interpolation, a word the book introduced: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “John Wallis”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (2002).

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.