Integreerimisvõtte valimine

Selle peatüki varasematel lehtedel oli meetod teada juba enne integraali nägemist. Siin on ülesanded läbisegi ning enne vastusevälja avanemist valid, millega alustaksid. Leht on sinu ees oleva integraali puhul kõik viis algusvõtet juba läbi proovinud. Näed, kas sinu valik viib kuni kolme võttega tabeliintegraalideni ja kas mõni teine tee on lühem.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Integreerimisvõtte valimine

Meetodi valimine tähendab, et otsustad ilma meetodile viitava sildita integraali puhul, millega alustada: kasutada otse tabelit, teha muutujavahetus, integreerida ositi, lahutada osamurdudeks või teha trigonomeetriline teisendus. Sellel lehel võte sobib, kui pärast seda ja veel kuni kaht võtet jäävad alles ainult tabeliintegraalid. Võtteid loetakse rakendatud meetodite järgi: ositi integreerimisel dv integreerimiseks tehtud muutujavahetus läheb kirja eraldi võttena, summa liikmeteks jagamine aga ei lähe arvesse.

Eeldab: Otsing tunneb ainult neid viit võtet. Täisruutu see eraldada ei oska, nii et ∫dx/(x² + 2x + 5) puhul teataks leht, et ükski tee tabelini ei vii. Selliseid ülesandeid siin pole. Trigonomeetriline võte hõlmab eelmisel lehel õpitut: paaritu astme korral jäetakse üks tegur du jaoks, paarisastmete korral kasutatakse poolnurga valemit, tan² asendatakse avaldisega sec² − 1, secⁿ astet alandatakse ning juuravaldiste √(a² − x²), √(x² + a²), √(x² − a²) korral tehakse vastavalt asendused x = a sin u, a tan u, a sec u.

Ülesanded täielikult lahendatud

Lugejas on nimetaja tuletis 2 sammu
Leia ∫x/(x² + 9) dx.
1. Vihje: lugejas on pool nimetaja tuletisest. Võte: asenda nimetaja.
  
  $\frac{d}{d x} (x^{2} + 9) = 2 x \Rightarrow u = x^{2} + 9, x d x = \frac{d u}{2}$
2. Logaritm ilma moodulimärkideta, sest x² + 9 ei ole kunagi negatiivne:
  
  $\int \frac{x}{x ^{2} + 9} d x = \frac{1}{2} \int \frac{d u}{u} = \frac{1}{2} ln (x^{2} + 9) + C$
Vastus

½ ln(x² + 9) + C. Osamurrud siin ei aita: avaldisel x² + 9 pole reaalarvulisi nullkohti, mille järgi lahutada.

$\int \frac{x}{x ^{2} + 9} d x = \frac{1}{2} ln (x^{2} + 9) + C$
x-i astme ja eksponentfunktsiooni korrutis 2 sammu
Leia ∫x e^3x dx.
Näita lahendust
1. Vihje: üks tegur lihtsustub tuletist võttes ja teist on kerge integreerida. Võte: ositi integreerimine, kus u = x.
  
  $u = x, d v = e^{3 x} d x, v = \frac{1}{3} e^{3 x}$
2. Üksainus samm, ja järele jääb tabeliintegraal:
  
  $\int x e^{3 x} d x = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{3} \int e^{3 x} d x = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + C$
Vastus

e^3x(x/3 − 1/9) + C. Ükski asendus ei aita: e^3x kõrval seisev x ei ole 3x tuletis.

$\int x e^{3 x} d x = e^{3 x} (\frac{x}{3} - \frac{1}{9}) + C$
Teguriteks lahutuv nimetaja 2 sammu
Leia ∫5/((x + 1)(x − 4)) dx.
Näita lahendust
1. Vihje: ratsionaalfunktsioon, mille nimetaja on juba tegurdatud. Võte: osamurrud kinnikatmisvõttega.
  
  $\frac{5}{( x + 1 ) ( x - 4 )} = \frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x + 1}, A = \frac{5}{5} = 1, B = \frac{5}{- 5} = - 1$
2. Kaks logaritmi:
  
  $\int (\frac{1}{x - 4} - \frac{1}{x + 1}) d x = ln ∣ x - 4∣ - ln ∣ x + 1∣ + C$
Vastus

ln|(x − 4)/(x + 1)| + C. Lugejas olev 5 ongi see, mida kinnikatmisel jagatakse: 5/(4 + 1) ja 5/(−1 − 4).

$\int \frac{5 d x}{( x + 1 ) ( x - 4 )} = ln \frac{x - 4}{x + 1} + C$
Koosinuse paarisaste 2 sammu
Leia ∫cos²x dx.
Näita lahendust
1. Vihje: paarisaste, ja puudub paaritu tegur, mida du jaoks kulutada. Võte: poolnurga valem.
  
  $cos^{2} x = \frac{1}{2} (1 + cos 2 x)$
2. Integreerime liikmeti:
  
  $\int \frac{1}{2} (1 + cos 2 x) d x = \frac{x}{2} + \frac{sin 2 x}{4} + C$
Vastus

x/2 + sin 2x/4 + C. Asendus u = sin x ei aita: ühest cos x tegurist saab küll du, kuid teine jääb paarisastme tõttu kujule √(1 − u²).

$\int cos^{2} x d x = \frac{x}{2} + \frac{sin 2 x}{4} + C$
Näib ositi integreerimisena, ent on muutujavahetus 2 sammu
Leia ∫(ln x)/x dx, kui x > 0.
Näita lahendust
1. Vihje: 1/x on sealsamas kõrval seisva ln x tuletis. Samm: asenda u = ln x.
  
  $u = ln x, d u = \frac{d x}{x}$
2. u aste:
  
  $\int \frac{ln x}{x} d x = \int u d u = \frac{u ^{2}}{2} = \frac{( ln x ) ^{2}}{2} + C$
Vastus

(ln x)²/2 + C. Ositi saaks samuti: integraal tuleb iseendana tagasi, I = (ln x)² − I; muutujavahetus viib sihile aga ühe reaga.

$\int \frac{ln x}{x} d x = \frac{( ln x ) ^{2}}{2} + C$
Reaaljuuri pole: eralda täisruut 2 sammu
Leia ∫dx/(x² − 6x + 10).
Näita lahendust
1. Vihje: diskriminant 36 − 40 on negatiivne, seega teguriteks lahutada ei saa. Samm: eralda täisruut.
  
  $36 - 40 < 0; x^{2} - 6 x + 10 = (x - 3)^{2} + 1$
2. Arktangensi kuju, nihkega 3:
  
  $\int \frac{d x}{( x - 3 ) ^{2} + 1} = arctan (x - 3) + C$
Vastus

arctan(x − 3) + C. See on ainus samm, mida lehe otsing teha ei suuda – seepärast tasubki see korra käsitsi läbi teha.

$\int \frac{d x}{x ^{2} - 6 x + 10} = arctan (x - 3) + C$
Liigmurd: jaga esmalt läbi 2 sammu
Leia ∫x³/(x² + 1) dx.
Näita lahendust
1. Vihje: lugeja aste on nimetaja omast kõrgem. Samm: jaga läbi.
  
  $x^{3} = x (x^{2} + 1) - x \Rightarrow \frac{x ^{3}}{x ^{2} + 1} = x - \frac{x}{x ^{2} + 1}$
2. Seejärel aste ja f′/f:
  
  $\int (x - \frac{x}{x ^{2} + 1}) d x = \frac{x ^{2}}{2} - \frac{1}{2} ln (x^{2} + 1) + C$
Vastus

x²/2 − ½ ln(x² + 1) + C. Kaks sammu, teine neist muutujavahetus. Kumbagi ei näe enne, kui esimene on tehtud.

$\int \frac{x ^{3}}{x ^{2} + 1} d x = \frac{x ^{2}}{2} - \frac{1}{2} ln (x^{2} + 1) + C$
Pindala leidmine ilma suunava tunnuseta 3 sammu
Leia ∫₀^π²/4 sin √x dx. Vajuta nuppu Tunnusteta näide: leht leiab algfunktsiooni 2 sammuga, kõigepealt asenduse ja seejärel ositi integreerimise abil, ning peatub seal.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Tee asendus u = √x, siis x = u² ja dx = 2u du. Muutuvad ka rajad: x = 0 korral u = 0 ning x = π²/4 korral u = π/2.
  
  $\int_{0}^{π^{2} /4} sin x d x = \int_{0}^{π /2} 2 u sin u d u$
2. Integreeri ositi, tuletades 2u ja integreerides sin u:
  
  $\int 2 u sin u d u = - 2 u cos u + \int 2 cos u d u = 2 sin u - 2 u cos u$
3. Uutel radadel, arvestades, et cos(π/2) = 0 ja sin(π/2) = 1:
  
  $[2 sin u - 2 u cos u]_{0}^{π /2} = (2 - 0) - (0 - 0) = 2$
Vastus

Täpselt 2. Mõlemad rajad sisaldavad arvu π, vastus aga mitte. Asendus viis ülemise raja π²/4 kujule π/2, kus siinus on 1 ja koosinus 0. Simpsoni valem annab algse integreeritava avaldise puhul 4 000 osavahemikuga tulemuseks 1,999999. Lähend läheneb arvule 2 aeglaselt, sest funktsioonil √x on punktis 0 lõpmatu tõus.

$\int_{0}^{π^{2} /4} sin x d x = 2$

Kui tunnused viitavad nii asendusele kui ka ositi integreerimisele, vali asendus 🖖

Vajuta nuppu Mõlemad tunnused olemas. Avaldis 2x·e^(x²) on astmefunktsiooni ja eksponentfunktsiooni korrutis, mille puhul tavaliselt soovitatakse ositi integreerida. Nii jõuabki kolme võttega tabeliintegraalideni: valik u = e^(x²) ja dv = 2x dx jätab alles avaldise 2x³e^(x²), mis on algsest pikem. Muutujavahetuseks piisab ühest võttest, sest eksponendis on x² ja selle tuletis 2x seisab juba kõrval. Leht tegi sama võrdluse 1 100 genereeritud ülesandega. Mõlemad tunnused esinesid neist 113 puhul; kõigis 113 andis muutujavahetus lühima lahendustee, ositi integreerimine ei andnud seda kordagi. 26 puhul ei jõudnud ositi integreerimine kolme võttega tabeliintegraalideni. Kui muutujavahetuse tunnust polnud, juhatas ositi integreerimise tunnus õigesti 181 juhul 188-st.

Enamikku neist integraalidest saab alustada mitut moodi 🖖

Vajuta nuppu Kaks teed lahenduseni. Integraal avaldisest sin x·cos x laheneb muutujavahetusega u = sin x ühe võttega. Ühest võttest piisab ka ositi integreerides: u = sin x ja dv = cos x dx korral tekib sama integraal uuesti, I = sin²x − I, millest I = sin²x/2. Ka trigonomeetriline teisendus, mis jätab ühe teguri du jaoks, viib tulemuseni ühe võttega. 1 100 ülesandest 842 puhul sai alustada vähemalt kahega viiest võttest ja jõuda ikkagi kuni kolme võttega tabeliintegraalideni. 650 puhul leidus teine tee, mis oli lühimast kõige rohkem ühe võtte võrra pikem. Mõni neist teedest on ringkäik, mida õpetaja ei valiks, näiteks ratsionaalfunktsiooni ositi integreerimine. Ka need lähevad arvesse, sest viivad kohale. Seepärast ei nõua leht üht kindlat meetodit: õigeks loetakse iga algusvõte, mis viib tabeliintegraalideni. Nuppude all olev rida ütleb, kas leidub lühem tee. Eri teid pidi saadud vastused võivad välja näha erinevad; peatüki esimene leht Algfunktsioonid selgitab, miks mõlemad õiged on.

Avaldise pikkus ütleb vajalike sammude arvu kohta väga vähe 🖖

Vajuta nuppu Lühike pole lihtne. arctan x koosneb kahest sümbolist ja nõuab kaht võtet: kõigepealt ositi integreerimist valikuga dv = 1·dx, millest jääb x/(x² + 1), seejärel muutujavahetust. Sarnase välimusega näidete seas on −6x⁴ − 2/√(1 − x²) viieteistkümne sümboli pikkune, kuid sobib tabelisse kohe. 1 100 ülesande hulgas on otse tabelist lahendatavate avaldiste pikkuse mediaan 8 sümbolit, üht võtet nõudvatel 10 ja kaht võtet nõudvatel 9. Pikimas tabeliintegraalis on 15 sümbolit, lühimas kaht võtet nõudvas integraalis 3. Tunnused käivad avaldise ehituse kohta: mis asub mille sees, milline tegur muutub diferentseerides lihtsamaks, kas nimetaja lahutub teguriteks ning kas siinuse astendaja on paaritu või paaris.

Õpitee

Integreerimismeetodid

Allikad (2)

A strategy for picking the technique, with the page's three findings in it: look for a simple substitution before the heavier techniques (u = x² − 1 for x/(x² − 1), which partial fractions would also do), “a polynomial times a trig function, exponential, or logarithm” as the sign that parts may work, “some integrals can be done in more than one way”, and a substitution that leads on to parts or partial fractions: P. Dawkins, “Integration Strategy”, Paul's Online Notes, Calculus II, section 7.7, Lamar University (page last modified 31 July 2026).
The both-cues integral done by parts: ∫t³e^(t²) dt, where the strict LIATE choice fails and dv = t·e^(t²) dt is taken instead, an integral that is itself a substitution (Example 3.4, “When LIATE Doesn't Quite Work”); and ∫sin(ln x) dx with dv = 1·dx, solved after two rounds (Example 3.5): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 2, OpenStax (2016), section 3.1, “Integration by Parts”.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.