Kõveratevaheline pindala

Kahe kõvera vaheline pindala on ülemise ja alumise funktsiooni vahe integraal, kui nad vahepeal kohti ei vaheta. Kus kõverad lõikuvad, seal vahe märk pöördub ning integraal hakkab lahutama pindala, mida peaks liitma. Siin leiame lõikepunktid, jaotame lõigu osadeks ja toome tegeliku pindala ning tavalise integraali kõrvuti välja.

Kahe kõvera vaheline pindala	$A = \int_{a}^{b} f (x) - g (x) d x$
Lõikumine kohal c	$\int_{a}^{b} f - g d x = \int_{a}^{c} (g - f) d x + \int_{c}^{b} (f - g) d x$

Näidisarvutus — Kõveratevaheline pindala

Pindala (lõikepunktides tükeldatud)	0,5
Vahe integraal ilma tükeldamata	0
Lõikepunktid integreerimislõigul	1

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Kõveratevaheline pindala

Kahe kõvera vaheline pindala funktsioonide f ja g korral lõigus [a, b] on ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx. Kui üks kõver jääb kogu lõigus peale, on see ∫(ülemine − alumine) dx; kui kõverad lõikuvad, jaotatakse integraal lõikepunktide kohalt osadeks ning igal osal võetakse ülemine miinus alumine.

Mida iga sümbol tähendab

f, g: kaks kõverat: muutuja x funktsioonid või vastupidi viilutades muutuja y funktsioonid

Kust valem tuleb

Leia lõikepunktid. Lõikepunktides vahetab vahe f − g vahemiku sees märki, mis tähendab, et seal vahetub ka pealmine kõver. Nende leidmiseks lahenda võrrand f = g; punkt, kus kõverad teineteist vaid puudutavad, ei ole lõikepunkt.
$f (x) = g (x) \Rightarrow x = c_{1}, \dots, c_{k}$
Integreeri igal osal ülemine miinus alumine. Kahe naaberlõikepunkti vahel jääb üks kõver alati peale. Integreeritav avaldis on seal positiivne ning integraal annab selle osa pindala.
$A = i \sum \int_{c_{i}}^{c_{i + 1}} (f (x) - g (x)) d x$

Ülesanded täielikult lahendatud

Parabool ja sirge 2 sammu
Leia joonte y = x² ja y = x + 2 vahele jääva ala pindala.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Kõverad lõikuvad seal, kus x² = x + 2:
  
  $x^{2} = x + 2 \Rightarrow (x - 2) (x + 1) = 0 \Rightarrow x = - 1, 2$
2. Lõigul −1 kuni 2 asub sirge kõrgemal:
  
  $\int_{- 1}^{2} (x + 2 - x^{2}) d x = [\frac{x ^{2}}{2} + 2 x - \frac{x ^{3}}{3}]_{- 1}^{2} = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{9}{2}$
Vastus

9/2 = 4,5. Kontrolli järjekorda ühe punktiga: kohal x = 0 on sirge väärtus 2 ja paraboolil 0.

$A = \frac{9}{2} = 4.5$
Lõigu sees lõikuvad kõverad 2 sammu
Leia joonte y = x³ ja y = x vahele jääva ala pindala lõigul [−1, 1].

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Lõikepunktid on x = −1, 0 ja 1, ning punktis 0 vahetavad kõverad kohad:
  
  $x^{3} = x \Rightarrow x = - 1, 0, 1$
2. Kumbki osa eraldi, ülemine funktsioon eespool:
  
  $\int_{- 1}^{0} (x^{3} - x) d x + \int_{0}^{1} (x - x^{3}) d x = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$
Vastus

½. Funktsioonide vahe x − x³ tükeldamata integraal üle lõigu [−1, 1] on 0 — just selle eest hoiataski selgitus nullintegraali kohta.

$A = \frac{1}{2}$
Kaks trigonomeetrilist kõverat 2 sammu
Leia joonte y = sin x ja y = cos x vahele jääva ala pindala lõigul [0, π/2].

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Kõverad lõikuvad kohal, kus tan x = 1, ehk punktis π/4; enne seda asub cos x kõrgemal:
  
  $sin x = cos x \Rightarrow x = \frac{π}{4}$
2. Mõlemad osad:
  
  $\int_{0}^{π /4} (cos x - sin x) d x + \int_{π /4}^{π /2} (sin x - cos x) d x = (2 - 1) + (2 - 1)$
Vastus

2√2 − 2 ≈ 0,8284. Mõlemad osad on võrdsed, kumbki √2 − 1, sest ala on sirge x = π/4 suhtes sümmeetriline.

$A = 22 - 2 \approx 0.8284$
Viilutamine y järgi 2 sammu
Leia joonte x = y² ja x = y + 2 vahele jääva ala pindala.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Kõverad lõikuvad seal, kus y² = y + 2, ehk punktides y = −1 ja y = 2; sirge jääb paremale:
  
  $y^{2} = y + 2 \Rightarrow y = - 1, 2$
2. Üks integraal y järgi:
  
  $\int_{- 1}^{2} (y + 2 - y^{2}) d y = \frac{9}{2}$
Vastus

9/2 = 4,5. Sama tulemus mis esimeses ülesandes, sest tegemist on sellesama kujundiga, peegeldatuna sirge y = x suhtes.

$A = \frac{9}{2} = 4.5$
Kõverad, mis kohtuvad vaid otspunktides 1 sammu
Leia joonte y = √x ja y = x² vahele jääva ala pindala lõigul [0, 1].

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Vahemikus 0 kuni 1 asub √x kõrgemal:
  
  $\int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x = [\frac{2}{3} x^{3/2} - \frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{1} = \frac{2}{3} - \frac{1}{3}$
Vastus

1/3. Kumbki kõver on teise peegeldus sirge y = x suhtes, mistõttu jaotab sirge y = x selle ala kaheks pooleks pindalaga 1/6.

$A = \frac{1}{3}$
Kolmes punktis lõikuvad kõverad 2 sammu
Leia joontega y = x³ − x ja y = 3x piiratud ala kogupindala.
Näita lahendust
1. Kõverad lõikuvad seal, kus x³ − 4x = 0, ehk punktides x = −2, 0 ja 2:
  
  $x^{3} - x = 3 x \Rightarrow x^{3} - 4 x = 0 \Rightarrow x = - 2, 0, 2$
2. Kujundi osad on sama kujuga, pööratud alguspunkti suhtes poolpöörde võrra, seega kahekordistame parempoolset osa, kus 3x on pealpool:
  
  $A = 2 \int_{0}^{2} (4 x - x^{3}) d x = 2 [2 x^{2} - \frac{x ^{4}}{4}]_{0}^{2} = 2 (8 - 4)$
Vastus

8. Tükeldamata integraal üle lõigu [−2, 2] annaks taas 0.

$A = 8$

Vahe integraal võib olla null ka siis, kui kujundil on küllaga pindala 🖖

Vajuta x³ ja x: null, ometi pindala. Lõigus [−1, 1] lõikuvad kaks kõverat kohal 0. Nullist vasakul jääb peale x³, paremal x. Mõlemad osad on ühesuguse kujuga, pööratud alguspunkti suhtes poolpöörde võrra, ja kummagi pindala on 0,25. Vahe x − x³ integraal loeb parempoolse osa positiivseks ja vasakpoolse negatiivseks ning annab tulemuseks 0. Kujundi tegelik pindala on 0,5. Vajuta sin ja cos, täispööre, et näha sedasama suuremas mõõtkavas: pindala on 4√2 ≈ 5,6569 ning integraal täpselt 0. Vahe f − g integraal mõõdab, kuivõrd f funktsiooni g kogusummas ületab. Pindala nõuab aga avaldist |f − g| ning absoluutväärtuse integreerimiseks tuleb piirkond jaotada osadeks sealt, kus selle sisu märki vahetab.

Sama kujund võib nõuda ühte või kahte integraali, olenevalt viilutamise suunast 🖖

Klõpsa x = y² ja x = y + 2. Kui viilutada ala y järgi, kulgeb iga riba vasakult paraboolilt paremale sirgeni ja asja teeb ära üksainus integraal: ∫ rajades −1 kuni 2 (y + 2 − y²) dy = 4,5. Kui viilutada sama kujundit hoopis x järgi, muutub ribade alumine serv poolel teel: kui x jääb alla 1, toetuvad riba mõlemad otsad paraboolile y = ±√x, lõigul 1 kuni 4 on alumiseks piiriks sirge. Tulemuseks on kaks integraali √x-kujuliste avaldistega ja seesama 4,5. Enne muutuja valimist tasub alati vaadata, milliseid piirjooni ribad puudutavad.

Archimedes leidis selle pindala ilma integraalideta: neli kolmandikku kolmnurgast 🖖

Klõpsa Archimedese parabool. Sirge x + 2 lõikab parabooli punktides (−1, 1) ja (2, 4) ning nendevaheline pindala on 4,5. Kui joonestada sellele kõõlule kolmnurk, mille kolmas tipp asub kõõluga paralleelse puutuja puutepunktis (½, ¼), on selle pindala 3,375 ja 4,5 on sellest täpselt 4/3. Archimedes tõestas selle umbes 250 eKr teoses Parabooli kvadratuur: ta täitis segmendi kolmnurkadega, millest iga järgmine põlvkond moodustas neljandiku eelmisest, ning liitis kokku 1 + ¼ + 1/16 + … = 4/3. Integraal jõuab sama tulemuseni ühe reaga. Archimedese meetod ei vajanud matemaatilist analüüsi, sest seda polnud toona veel olemaski.

Õpitee

Integraali rakendused

Allikad (2)

The method as the page uses it: Theorem 6.1 (∫ₐᵇ [f − g] dx when f ≥ g), Theorem 6.2 (∫ₐᵇ |f − g| dx for curves that cross, split at the intersections) and Theorem 6.3 (∫꜀ᵈ [u(y) − v(y)] dy along the y-axis): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 6.1, “Areas between Curves”.
Insight block 3: Proposition 24, “Every segment bounded by a parabola and a chord Qq is equal to four-thirds of the triangle which has the same base as the segment and equal height” (p. 251), proved through Proposition 23's sum of areas each a quarter of the one before (p. 250): T. L. Heath (ed.), The Works of Archimedes, Cambridge University Press (1897), “Quadrature of the Parabola”, Propositions 23–24, pp. 250–251.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.