Kahekordsed integraalid

Kui x on fikseeritud, on pinna z = f(x, y) all oleval kehal ristlõige, mille pindala A(x) on tavaline integraal y järgi. Integreeri A(x) piki x-telge ja saad ruumala. Kui fikseerid hoopis y, tuleb piirkonda lugeda teistpidi, nii et x jääb kahe joone vahele. Kõigil selle lehe juhtudel peale ühe annavad mõlemad järjekorrad sama tulemuse.

Lõiked fikseeritud x korral	$\iint_{D} f d A = \int_{a}^{b} \int_{g_{1} (x)}^{g_{2} (x)} f (x, y) d y d x$
Teine järjekord (Fubini), kui ∬\|f\| dA on lõplik	$\int_{a}^{b} \int_{g_{1} (x)}^{g_{2} (x)} f d y d x = \int_{c}^{d} \int_{h_{1} (y)}^{h_{2} (y)} f d x d y \iint_{D} ∣ f ∣ d A < \infty$

Näidisarvutus — Kahekordsed integraalid

Lõike pindala selle x kohal	0,2188
Ruumala, lõiked fikseeritud x korral	0,15

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Kahekordsed integraalid

Kahekordne integraal ∬_D f(x, y) dA on ruumala xy-tasandi piirkonna D ja pinna z = f(x, y) vahel, kusjuures tasandist allapoole jääv osa loetakse negatiivseks. Seda arvutatakse korduvintegraalina: integreeritakse ühe muutuja järgi, hoides teist konstantsena, ja seejärel integreeritakse saadud tulemus.

Mida iga sümbol tähendab

A(x): lõike pindala fikseeritud x korral, ise integraal y järgi
g₁(x), g₂(x): piirkonna D alumine ja ülemine serv, kui D-d loetakse piki x-telge
h₁(y), h₂(y): piirkonna D vasak ja parem serv, kui D-d loetakse piki y-telge

Kust valem tuleb

Fikseeri x. Tasand selle x kohal lõikab kehast lõike, mille ülemine serv on kõver y ↦ f(x, y), piirkonna alumisest servast ülemiseni. Lõike pindala on integraal y järgi, kus x on konstant: sama võte nagu osatuletise leidmisel.
$A (x) = \int_{g_{1} (x)}^{g_{2} (x)} f (x, y) d y$
Liida lõiked kokku. Ruumala on A(x) integraal piki x-telge. See on ruumala ristlõigete abil, ainult et ristlõige vajas omaette integraali.
$V = \int_{a}^{b} A (x) d x = \int_{a}^{b} \int_{g_{1} (x)}^{g_{2} (x)} f (x, y) d y d x$
Või lõika teistpidi. Loe piirkonda D piki y-telge, nii et x jääb vasaku ja parema serva vahele, ning integreeri kõigepealt x järgi. Fubini teoreemi järgi annavad mõlemad järjekorrad sama arvu alati, kui ∬|f| dA on lõplik, ja nii on iga pideva funktsiooni f korral kinnises tõkestatud piirkonnas.
$\int_{a}^{b} \int_{g_{1} (x)}^{g_{2} (x)} f d y d x = \int_{c}^{d} \int_{h_{1} (y)}^{h_{2} (y)} f d x d y$

Eeldab: f on piirkonnas D pidev või vähemalt ∬|f| dA on lõplik. Kui piirkonna D serva valem muutub, nagu kolmnurga ülemisel serval kohal x = 1, jagatakse integraal seal kaheks.

Ülesanded täielikult lahendatud

Ristkülikus, mõlemas järjekorras 3 sammu
Arvuta ∬ xy² dA ristkülikus 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1 mõlemas järjekorras.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Fikseeritud x korral integreeri y järgi, hoides x konstantsena:
  
  $A (x) = \int_{0}^{1} x y^{2} d y = \frac{x}{3}$
2. Seejärel piki x-telge:
  
  $\int_{0}^{2} \frac{x}{3} d x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
3. Teine järjekord, lõiked fikseeritud y korral:
  
  $\int_{0}^{1} \int_{0}^{2} x y^{2} d x d y = \int_{0}^{1} 2 y^{2} d y = \frac{2}{3}$
Vastus

Mõlemal juhul 2/3 ≈ 0,6667. Ristkülikus on rajad mõlemas järjekorras arvud ja korrutis jaguneb kaheks: (∫₀² x dx)(∫₀¹ y² dy) = 2 · 1/3.

$\iint_{R} x y^{2} d A = \frac{2}{3} \approx 0.6667$
Piirkond kahe joone vahel 2 sammu
Arvuta ∬ (x + y) dA joonte y = x² ja y = x vahelises piirkonnas.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Jooned lõikuvad kohtadel x = 0 ja x = 1 ning nende vahel kehtib x² ≤ x. Fikseeritud x korral ulatub lõige seega joonest y = x² jooneni y = x:
  
  $A (x) = \int_{x^{2}}^{x} (x + y) d y = [x y + \frac{y ^{2}}{2}]_{x^{2}}^{x} = \frac{3 x ^{2}}{2} - x^{3} - \frac{x ^{4}}{2}$
2. Integreeri rajades 0 kuni 1:
  
  $\int_{0}^{1} (\frac{3 x ^{2}}{2} - x^{3} - \frac{x ^{4}}{2}) d x = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{10} = \frac{3}{20}$
Vastus

3/20 = 0,15.

$\iint_{D} (x + y) d A = \frac{3}{20} = 0.15$
Järjekorra vahetamine 3 sammu
Kirjuta ülesande 2 integraal vastupidises integreerimisjärjekorras ja arvuta see.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Loe piirkonda piki y-telge: y muutub 0-st 1-ni ning kõrgusel y on piirkonna vasak serv sirge x = y ja parem serv parabool x = √y:
  
  $\int_{0}^{1} \int_{x^{2}}^{x} (x + y) d y d x = \int_{0}^{1} \int_{y}^{y} (x + y) d x d y$
2. Sisemine integraal, y on fikseeritud:
  
  $\int_{y}^{y} (x + y) d x = [\frac{x ^{2}}{2} + x y]_{y}^{y} = \frac{y}{2} + y^{3/2} - \frac{3 y ^{2}}{2}$
3. Seejärel piki y-telge:
  
  $\int_{0}^{1} (\frac{y}{2} + y^{3/2} - \frac{3 y ^{2}}{2}) d y = \frac{1}{4} + \frac{2}{5} - \frac{1}{2} = \frac{3}{20}$
Vastus

Jälle 3/20. Parabool, mis piki x-telge lugedes oli alumine serv, on piki y-telge lugedes parem serv ja kirjutatakse kujul x = √y.

$\int_{0}^{1} \int_{y}^{y} (x + y) d x d y = \frac{3}{20}$
Järjekord, mis saab hakkama ühe integraaliga 3 sammu
Arvuta ∬ xy dA kolmnurgas tippudega (0, 0), (2, 0) ja (1, 1).

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Piki x-telge lugedes on ülemine serv kuni kohani x = 1 sirge y = x ja sealt edasi y = 2 − x, mis tähendab kaht integraali. Piki y-telge lugedes ulatub kolmnurk iga y korral vasakust servast x = y parema servani x = 2 − y, nii et lõika fikseeritud y korral:
  
  $\iint_{T} x y d A = \int_{0}^{1} \int_{y}^{2 - y} x y d x d y$
2. Sisemine integraal:
  
  $\int_{y}^{2 - y} x y d x = \frac{y}{2} ((2 - y)^{2} - y^{2}) = 2 y (1 - y)$
3. Seejärel piki y-telge:
  
  $\int_{0}^{1} 2 y (1 - y) d y = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
Vastus

1/3 ≈ 0,3333. Teine järjekord annab oma kahest osast 1/8 + 5/24, samuti 1/3.

$\iint_{T} x y d A = \frac{1}{3} \approx 0.3333$
Järjekorra vahetamine, et saada valem 3 sammu
Arvuta ∫₀¹ ∫ₓ¹ e^(y²) dy dx.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Sisemisel integraalil pole elementaarset algfunktsiooni, nii et vaheta järjekord. Piirkond on 0 ≤ x ≤ y ≤ 1; piki y-telge lugedes on see 0 ≤ y ≤ 1, kusjuures 0 ≤ x ≤ y:
  
  $\int_{0}^{1} \int_{x}^{1} e^{y^{2}} d y d x = \int_{0}^{1} \int_{0}^{y} e^{y^{2}} d x d y$
2. Integreeritav funktsioon ei sõltu x-ist:
  
  $\int_{0}^{y} e^{y^{2}} d x = y e^{y^{2}}$
3. Asenda u = y²:
  
  $\int_{0}^{1} y e^{y^{2}} d y = [\frac{e ^{y^{2}}}{2}]_{0}^{1} = \frac{e - 1}{2}$
Vastus

(e − 1)/2 ≈ 0,8591.

$\frac{e - 1}{2} \approx 0.8591$
Keha, mida kirjeldavad selle tahud 3 sammu
Leia tetraeedri ruumala, mida piiravad kolm koordinaattasandit ja tasand x + y + z = 1.
Näita lahendust
1. Keha asub pinna z = 1 − x − y all ja selle xy-tasandi osa kohal, kus see kõrgus pole negatiivne: x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1. Loe seda kolmnurka piki x-telge:
  
  $V = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1 - x} (1 - x - y) d y d x$
2. Sisemine integraal, x on fikseeritud:
  
  $\int_{0}^{1 - x} (1 - x - y) d y = \frac{( 1 - x ) ^{2}}{2}$
3. Seejärel piki x-telge:
  
  $\int_{0}^{1} \frac{( 1 - x ) ^{2}}{2} d x = \frac{1}{6}$
Vastus

1/6, mis langeb kokku tuntud valemiga: kolmandik põhja pindalast korda kõrgus, (1/3)(1/2)(1).

$V = \frac{1}{6}$
Keskmine kõrgus piirkonna kohal 3 sammu
Leia funktsiooni f(x, y) = x + y keskväärtus ülesande 2 piirkonnas.
Näita lahendust
1. Keskväärtus on ruumala jagatud piirkonna pindalaga |D| ehk sellise lameda plaadi kõrgus D kohal, mille ruumala on sama:
  
  $\overset{ˉ}{f} = \frac{1}{∣ D ∣} \iint_{D} f d A$
2. Pindala on funktsiooni 1 kahekordne integraal:
  
  $∣ D ∣ = \int_{0}^{1} \int_{x^{2}}^{x} d y d x = \int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x = \frac{1}{6}$
3. Ülesande 2 ruumalaga 3/20:
  
  $\overset{ˉ}{f} = \frac{3/20}{1/6} = \frac{9}{10}$
Vastus

9/10 = 0,9.

$\overset{ˉ}{f} = 0.9$
Kui kaks järjekorda ei lange kokku 4 sammu
Näita, et funktsiooni f(x, y) = (x² − y²)/(x² + y²)² kaks korduvintegraali üle ühikruudu on erinevad, ja ütle, milline Fubini teoreemi eeldus ei kehti.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Funktsiooni y/(x² + y²) tuletis y järgi on f, nii et fikseeritud x > 0 korral:
  
  $\int_{0}^{1} \frac{x ^{2} - y ^{2}}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}} d y = [\frac{y}{x ^{2} + y ^{2}}]_{0}^{1} = \frac{1}{1 + x ^{2}}$
2. Selles järjekorras seega:
  
  $\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} f d y d x = \int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x ^{2}} = arctan 1 = \frac{π}{4}$
3. Kui vahetada x ja y, muutub f märk, nii et teine järjekord on sama arvutus vastupidise märgiga:
  
  $\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} f d x d y = - \frac{π}{4}$
4. Polaarkoordinaatides on f = cos 2θ/r². Ruudu sisse jääval raadiusega 1 veerandringil kehtib
  
  $\int_{0}^{π /2} \int_{0}^{1} \frac{∣ cos 2 θ ∣}{r ^{2}} r d r d θ = \int_{0}^{π /2} ∣ cos 2 θ ∣ d θ \int_{0}^{1} \frac{d r}{r} = \infty$
Vastus

Ühes järjekorras π/4 ≈ 0,7854, teises −π/4. ∬|f| dA on lõpmatu, Fubini teoreem aga eeldab just selle lõplikkust.

$\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} f d y d x \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} f d x d y = \frac{π}{4} \approx 0.7854 = - \frac{π}{4}$

Vaheta järjekorda ja valemita integraal saab valemi 🖖

Vajuta Lõige, millel pole valemit. Fikseeritud x korral on lõige funktsiooni e^(y²) integraal rajades y = x kuni 1, aga e^(y²) algfunktsiooni ei saa elementaarfunktsioonidega kirja panna. Sama müüri vastu jookseb integreerimise peatükis e^(−t²). Leht suudab iga lõike leida ainult arvuliselt. Vajuta nüüd Sama, teistpidi. Fikseeritud y korral ulatub lõige sirgest x = 0 sirgeni x = y ja kõrgus e^(y²) ei sõltu x-ist, nii et lõige on ristkülik pindalaga y·e^(y²). See on funktsiooni e^(y²)/2 tuletis ja ruumala on täpselt (e − 1)/2. Keha ise ei muutunud põrmugi. Integreerimise järjekord otsustas, kas lõigetel üldse on valem.

Funktsioon, mille puhul järjekord muudab vastust 🖖

Vajuta Järjekord muudab vastust. Pind (x² − y²)/(x² + y²)² on ühikruudu diagonaalist allpool positiivne ja ülalpool negatiivne. Lõika fikseeritud x korral ja iga lõige on kokkuvõttes positiivne, 1/(1 + x²), nii et korduvintegraal on π/4 ≈ 0,7854. Vaheta järjekord dx dy vastu ja iga lõige on kokkuvõttes negatiivne, −1/(1 + y²); tulemus on −0,7854. Kummaski arvutuses pole viga. Nullpunkti lähedal käitub pind nagu cos 2θ/r², nii et ruumala ruudu kohal ja ruumala selle all on mõlemad lõpmatud ning kaks järjekorda tasakaalustavad neid teineteise vastu eri moodi. Kahekordset integraali, milles nad saaksid kokku leppida, lihtsalt pole. Fubini 1907. aastal avaldatud teoreem lubab, et järjekorrad annavad sama tulemuse, kui ∬|f| dA on lõplik. Siin on see lõpmatu ja teoreem ei luba midagi.

Lõpmatu tipu all oleva keha ruumala on π²/6 🖖

Vajuta Ruumala π²/6. Pind 1/(1 − xy) tõuseb nurgas (1, 1) piiramatult, ja ometi on selle all ühikruudu kohal oleva keha ruumala 1,6449. Arenda integreeritav funktsioon geomeetriliseks reaks, 1 + xy + x²y² + …, ja integreeri liikmeti: xⁿyⁿ annab üle ruudu 1/(n + 1)², seega on ruumala 1 + 1/4 + 1/9 + … ehk summa, mille kohta Euler 1735. aastal näitas, et see võrdub π²/6-ga. Tagurpidi lugedes on kahekordne integraal viis seda rida summeerida. Frits Beukers kasutas 1979. aastal sama ruudu kohal integraale, mille nimetajas on 1 − xy, oma lühikeses tõestuses, et 1 + 1/8 + 1/27 + … on irratsionaalarv.

Õpitee

Integraali rakendused

Allikad (4)

The method and the two descriptions of a region the page uses: Type I (“between two vertical lines and the graphs of two continuous functions”) and Type II (between two horizontal lines), and Theorem 5.4, Fubini's theorem (strong form), for a function continuous on such a region: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 3, OpenStax (2016), section 5.2, “Double Integrals over General Regions”.
Insight block 2: Fubini's theorem on successive integration, for f in L¹, that is, with ∬|f| finite; published 1907: G. Fubini, “Sugli integrali multipli”, Atti della Reale Accademia dei Lincei, Rendiconti, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali (5) 16 (1907), no. 1, 608–614.
Insight block 3: Euler showed in 1735 that 1 + 1/4 + 1/9 + … = π²/6: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Leonhard Euler”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated September 1998).
Insight block 3: integrals over the unit square with 1 − xy in the denominator, used to prove ζ(2) and ζ(3) irrational: F. Beukers, “A Note on the Irrationality of ζ(2) and ζ(3)”, Bulletin of the London Mathematical Society 11 (1979), no. 3, 268–272.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.