Matemaatilise analüüsi põhiteoreem

Kui viirutada kõvera alune pindala paiksest alguspunktist a liikuva rajani x, saab sellest pindalast x-i funktsioon. Leht joonistab selle kõvera alla, mõõdab kasvukiirust ja seab tulemuse kõrvuti kõvera kõrgusega kohal x. Teoreemi esimene pool kinnitab, et need kaks arvu langevad alati kokku. Teisest osast järeldub aga peamine: määratud integraali saab arvutada algfunktsiooni abil.

1. osa	$\frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f (t) d t = f (x)$
2. osa	$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a), F^{'} = f$
Kui ülemisel rajal on x² või mistahes g(x)	$\frac{d}{d x} \int_{a}^{g (x)} f (t) d t = f (g (x)) g^{'} (x)$

Näidisarvutus — Matemaatilise analüüsi põhiteoreem

Pindala a-st x-ni (Simpsoni valemiga)	0,7468
Kõvera kõrgus kohal x	0,3679

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Matemaatilise analüüsi põhiteoreem

Funktsiooni f kogunemisfunktsioon alates punktist a on A(x) = ∫ₐˣ f(t) dt ehk funktsiooni f alune märgiga pindala punktide a ja x vahel. Matemaatilise analüüsi põhiteoreem koosneb kahest osast: A′(x) = f(x) igas punktis, kus f on pidev, ning sellest järeldub, et ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a) funktsiooni f mistahes algfunktsiooni F korral.

Mida iga sümbol tähendab

A(x): funktsiooni f alune pindala punktist a punktini x, mille märk vahetub allpool telge ning pöördub uuesti, kui x jääb punktist a vasakule
a: paikne alguspunkt; selle muutmine nihutab funktsiooni A konstandi võrra ning jätab A′ puutumata

Kust valem tuleb

1. osa: pindala tõus on kõvera kõrgus. Lühikesel sammul punktist x punktini x + h lisanduv pindala on riba laiusega h ja kõrgusega ligikaudu f(x), seega kasvab pindala kiirusega f(x) x-i ühiku kohta.
$\frac{A ( x + h ) - A ( x )}{h} = \frac{1}{h} \int_{x}^{x + h} f (t) d t ⟶ f (x)$
2. osa: väärtuse arvutamine algfunktsiooni abil. Funktsioonil A ja mistahes algfunktsioonil F on sama tuletis, mistõttu erinevad nad vaid konstandi võrra. Selle konstandi määrab tingimus A(a) = 0.
$A (x) = F (x) + C, A (a) = 0 \Rightarrow C = - F (a) \Rightarrow \int_{a}^{b} f = F (b) - F (a)$

Eeldab: f on vaadeldavas vahemikus pidev. Kohtades, kus f teeb hüppe, on pindalafunktsioonil murdepunkt ning tõus seal puudub, ehkki funktsioon ise on määratud.

Ülesanded täielikult lahendatud

Ülemise rajaga x integraali diferentseerimine 1 sammu
Leia d/dx ∫₁^x √(1 + t³) dt.
1. Teoreemi 1. osa vahetul kujul: pindalafunktsiooni tuletis on integraalialune funktsioon kohal x.
  
  $\frac{d}{d x} \int_{1}^{x} 1 + t^{3} d t = 1 + x^{3}$
Vastus

√(1 + x³). Funktsiooni √(1 + t³) algfunktsiooni pole vaja teada, ja õnneks: elementaarkujul seda ei leidugi.

$1 + x^{3}$
x² ülemisel rajal: mängu tuleb ahelreegel 2 sammu
Leia d/dx ∫₀^x² cos t dt.
Näita lahendust
1. Pindalafunktsioon on A(u), kus u = x²; diferentseeri funktsiooni A muutuja u järgi ja korruta tuletisega du/dx:
  
  $\frac{d}{d x} \int_{0}^{x^{2}} cos t d t = cos (x^{2}) \cdot 2 x$
2. Kontrolli, arvutades esmalt integraali:
  
  $\int_{0}^{x^{2}} cos t d t = sin (x^{2}) \Rightarrow \frac{d}{d x} sin (x^{2}) = 2 x cos (x^{2})$
Vastus

2x cos(x²). Pelgalt cos(x²) kirjutamisel ununeks sisemine tuletis, täpselt nagu mistahes ahelreegli puhul.

$2 x cos (x^{2})$
x mõlemal rajal 3 sammu
Leia d/dx ∫_x^2x t² dt.
Näita lahendust
1. Jaota integraal mistahes kindlas punktis, näiteks kohal 0, et x esineks kummaski osas vaid ühel rajal:
  
  $\int_{x}^{2 x} t^{2} d t = \int_{0}^{2 x} t^{2} d t - \int_{0}^{x} t^{2} d t$
2. Diferentseeri kumbki osa eraldi, rakendades ülemisele ahelreeglit:
  
  $\frac{d}{d x} = (2 x)^{2} \cdot 2 - x^{2} = 8 x^{2} - x^{2} = 7 x^{2}$
3. Kontrolli, arvutades esmalt integraali:
  
  $\int_{x}^{2 x} t^{2} d t = \frac{8 x ^{3} - x ^{3}}{3} = \frac{7 x ^{3}}{3} \Rightarrow 7 x^{2}$
Vastus

7x². Alumine raja tuleb mängu miinusmärgiga, sest selle suurendamine vähendab pindala.

$7 x^{2}$
Määratud integraali leidmine algfunktsiooni abil 1 sammu
Arvuta ∫₀^π sin x dx.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Funktsiooni sin x algfunktsioon on −cos x, seega rakendub 2. osa:
  
  $\int_{0}^{π} sin x d x = [- cos x]_{0}^{π} = - cos π + cos 0 = 1 + 1$
Vastus

2. Ava see ülesanne rakenduses: viilude haaval liidetud pindala on samuti 2 ja pindalafunktsioon on kohal π rõhtne, olles seal oma kõrgeimas punktis.

$\int_{0}^{π} sin x d x = 2$
Pindalafunktsiooni lugemine selle integraalialusest funktsioonist 3 sammu
Olgu g(x) = ∫₀^x (t² − 4) dt. Kus g kasvab, kus asuvad selle ekstreemumid, kus see kumerust muudab ja kui palju on g(2)?

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Teoreemi 1. osa järgi g′(x) = x² − 4, mis on positiivne väljaspool lõiku [−2, 2] ja negatiivne selle sees:
  
  $g^{'} (x) = x^{2} - 4 : g^{'} > 0 ⟺ ∣ x ∣ > 2, g^{'} < 0 ⟺ ∣ x ∣ < 2$
2. g″(x) = 2x vahetab märki kohal 0, mistõttu muudab g seal kumerust:
  
  $g^{''} (x) = 2 x = 0 ⟺ x = 0$
3. Ja g(2) väärtus 2. osa abil:
  
  $g (2) = [\frac{t ^{3}}{3} - 4 t]_{0}^{2} = \frac{8}{3} - 8 = - \frac{16}{3}$
Vastus

g kasvab vahemikes (−∞, −2] ja [2, ∞) ning kahaneb lõigus [−2, 2]; maksimum on kohal −2, miinimum kohal 2, käänupunkt kohal 0; g(2) = −16/3 ≈ −5,3333. Kõik need omadused tuletasime üksnes funktsiooni t² − 4 märgist ja tõusust, enne kui funktsiooni g ennast üldse kirja panime.

$max : x = - 2, min : x = 2, g (2) = - \frac{16}{3} \approx - 5.3333$
Logaritm kui pindala 1 sammu
Arvuta ∫₁^e dt/t.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. ln t on funktsiooni 1/t algfunktsioon, kui t > 0:
  
  $\int_{1}^{e} \frac{d t}{t} = [ln t]_{1}^{e} = ln e - ln 1 = 1 - 0$
Vastus

1. Teistpidi vaadates ongi see definitsioon, millest paljud õpikud alustavad: ln x on funktsiooni 1/t alune pindala ühest x-ni ning e on arv, mille puhul see pindala jõuab väärtuseni 1.

$\int_{1}^{e} \frac{d t}{t} = 1$

Pindala tõus on kõvera kõrgus – valemiga või ilma 🖖

Vajuta nupule e^(−t²): valem puudub. Alumise kõvera joonistamiseks ei kasuta rakendus kordagi algfunktsiooni, vaid liidab kõvera e^−t² aluse pindala kokku viil-viilult. Kohal x = 1 on pindala 0,7468 ja alumine kõver tõuseb seal kiirusega 0,3679 ühiku kohta, mis vastab täpselt kellukakõvera kõrgusele kohal 1. Nihuta x mistahes punkti: need kaks arvu jäävad alati võrdseks. Põhjendus mahub ühte lausesse: kui laiendada vahemikku punktist x punktini x + h, lisandub pindalale riba laiusega h ja kõrgusega ligikaudu f(x), mistõttu kasvab pindala kiirusega f(x) ühiku x kohta. Selles arutluskäigus pole valemit tarviski. Liouville tõestas, et funktsioonil e^−t² elementaarset algfunktsiooni pole, kuid teoreem annab talle algfunktsiooni sellegipoolest: selleks on pindalafunktsioon ise.

Iga pindalafunktsioon on algfunktsioon, kuid mitte vastupidi 🖖

Vajuta nupule cos t, algus a = 2. Alguspunkti a muutmine nihutab tervet alumist kõverat üles või alla ilma selle kuju muutmata, mistõttu jääb selle tõus kohal x alati väärtusele cos 1 = 0,5403, olgu a milline tahes. Iga a valik määrab funktsiooni cos t ühe algfunktsiooni. Vastupidine väide aga ei kehti. Ka sin t + 5 on funktsiooni cos t algfunktsioon, kuid ükski pindalafunktsioon sellega ei kattu: pindalafunktsiooni väärtus alguspunktis on alati 0, samas kui sin t + 5 ei lange kunagi alla 4. Integraal ∫ₐˣ sõelub välja need algfunktsioonid, mis läbivad kuskil nulli, ning teoreemi rakendamiseks piisab meil alati vaid ühestainsast neist.

Pindala saavutab haripunkti seal, kus kõver langeb läbi nulli 🖖

Vajuta nupule sin t kuni π. Pindala on 2 ja alumine kõver on rõhtne: enne arvu π asub kõver teljest ülalpool ja kasvatab pindala, pärast arvu π jääb see telje alla ja vähendab pindala. Seetõttu ongi π haripunkt. Vajuta nupule t² − 4 kuni 2: pindala on madalpunktis −5,3333 täpselt vastupidisel põhjusel. Eksamitel küsitakse neid seoseid sageli üksnes funktsiooni f graafiku põhjal, ja teoreem näitab, miks sellest piisab: pindalafunktsioon kasvab seal, kus f on positiivne, kahaneb seal, kus f on negatiivne, saavutab maksimumi kohal, kus f läheb plussist miinusesse, ning muudab kumerust seal, kus funktsioonil f endal on haripunkt või põhi. Alumise paneeli hallid punktid tähistavadki selle käänupunkte.

Õpitee

Integraali rakendused

Allikad (1)

Both parts as the page states them: Theorem 5.4 (if f is continuous on [a, b] and F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt, then F′(x) = f(x) on (a, b)) and Theorem 5.5 (∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a) for any antiderivative F of a continuous f): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 5.3, “The Fundamental Theorem of Calculus”.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.