Ositi integreerimine

Integreeritud korrutamisreegel ütleb, et ∫u dv = uv − ∫v du. Üks integraal on vahetatud teise vastu. Vali korrutis ning u. Leht teeb need asendused samm-sammult läbi ja näitab teist valikut kohe kõrval. Näed täpselt, kuidas üks lahenduskäik koondub ja teine muutub keerulisemaks. Uuri näidet ja proovi seejärel ise.

Ositi integreerimine	$\int u d v = uv - \int v d u$
Määratud	$\int_{a}^{b} u v^{'} d x = [uv]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u^{'} v d x$

Näidisarvutus — Ositi integreerimine

Muutuja x aste sammude kaupa	2 → 1 → 0
Sama teise valiku korral	2 → 3 → 4 → 5
Sümboleid pärast 1. sammu	6 ja 8
Pindala 0 kuni 1 vastuse järgi	0,7183
Sama pindala Simpsoni valemiga	0,7183

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Ositi integreerimine

Ositi integreerimine on integreeritud korrutamisreegel. Valemist (uv)′ = u′v + uv′ järeldub, et ∫u dv = uv − ∫v du, kus du = u′(x) dx ja dv = v′(x) dx. See vahetab ühe integraali teise vastu ja aitab juhul, kui ∫v du on lihtsam. Funktsioon u peaks muutuma tuletise võtmisel lihtsamaks ning dv peab olema midagi, mida oskad integreerida.

Mida iga sümbol tähendab

u: tegur, millest võetakse tuletis
dv: ülejäänud integreeritav osa koos dx-iga, mida integreerides saame v

Kust valem tuleb

Kust see valem pärineb. Integreeri võrrandi (uv)′ = u′v + uv′ mõlemat poolt ja saad uv = ∫v du + ∫u dv. Vii ∫v du teisele poole võrdusmärki.
$(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'} \Rightarrow uv = \int v d u + \int u d v \Rightarrow \int u d v = uv - \int v d u$
Mitu sammu. Iga samm lisab vahelduvate märkidega rajaliikme: ∫f dx = B₁ − B₂ + B₃ − … ± ∫g_K dx, kus g_K on pärast K sammu järele jäänud integraal. Seda võrrandit lahenduskäik trükibki. Kui g_K on f-i kordne λ, sisaldab võrrand integraali ∫f dx mõlemal poolel ja selle saab lahendada (kui need just ei taandu).
$\int f d x = B_{1} - B_{2} + \dots \pm \int g_{K} d x, g_{K} = λ f \Rightarrow (1 \mp λ) \int f d x = B_{1} - B_{2} + \dots$

Ülesanded täielikult lahendatud

Üks ring 3 sammu
Leia ∫x e^2x dx.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Diferentseerides muutub x lihtsamaks, seega valime selle u-ks; funktsiooni e^2x on lihtne integreerida, nii et sellest saab dv:
  
  $u = x, d u = d x; d v = e^{2 x} d x, v = \frac{1}{2} e^{2 x}$
2. Üks ring valemit uv − ∫v du:
  
  $\int x e^{2 x} d x = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$
3. Järele jäänud integraal on tabelintegraal:
  
  $= \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$
Vastus

e^2x(x/2 − 1/4) + C. Kui unustada teine ½, mis tekib e^2x uuesti integreerimisel, satub õige −1/4 asemele −1/2.

$\int x e^{2 x} d x = e^{2 x} (\frac{x}{2} - \frac{1}{4}) + C$
Aste korda siinus 3 sammu
Leia ∫x sin 2x dx.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Taas u = x; avaldis dv = sin 2x dx integreerub kujule −½ cos 2x:
  
  $u = x, d u = d x; d v = sin 2 x d x, v = - \frac{1}{2} cos 2 x$
2. Üks ring, kandes v märgi hoolikalt kaasa:
  
  $\int x sin 2 x d x = - \frac{1}{2} x cos 2 x + \int \frac{1}{2} cos 2 x d x$
3. Järele jääb tuttav tabelintegraal:
  
  $= - \frac{1}{2} x cos 2 x + \frac{1}{4} sin 2 x + C$
Vastus

−(x/2) cos 2x + (1/4) sin 2x + C. Miinus avaldises v = −½ cos 2x ongi koht, kus märk sassi läheb. Vastust, kus kõik märgid on vastupidised, nimetab tööriist just nimelt märgiveaks.

$\int x sin 2 x d x = - \frac{x}{2} cos 2 x + \frac{1}{4} sin 2 x + C$
Kaks ringi 3 sammu
Leia ∫x² cos x dx.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Esimene ring, u = x²: astmenäitaja langeb 1 peale.
  
  $u = x^{2}, d v = cos x d x : \int x^{2} cos x d x = x^{2} sin x - 2 \int x sin x d x$
2. Teine ring integraalil ∫x sin x, kus u = x: astmenäitaja langeb 0 peale.
  
  $u = x, d v = sin x d x : \int x sin x d x = - x cos x + sin x$
3. Paneme need kaks ringi kokku:
  
  $x^{2} sin x - 2 (- x cos x + sin x) = x^{2} sin x + 2 x cos x - 2 sin x$
Vastus

x² sin x + 2x cos x − 2 sin x + C. Iga ring vähendab x astmenäitajat ühe võrra, seega vajab x² kahte ringi ja xⁿ nõuab n ringi. Hoia sulud lõpuni alles: eksitakse just viimase liikme märgiga.

$\int x^{2} cos x d x = x^{2} sin x + 2 x cos x - 2 sin x + C$
ln x on u, ükskõik millega see on korrutatud 3 sammu
Leia ∫x² ln x dx, kui x > 0.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Funktsioonil ln x pole lihtsat algfunktsiooni, mida v-ks võtta, nii et sellest peab saama u; dv = x² dx:
  
  $u = ln x, d u = \frac{d x}{x}; d v = x^{2} d x, v = \frac{x ^{3}}{3}$
2. Üks ring. Liikmed x³ ja 1/x koonduvad astmeks:
  
  $\int x^{2} ln x d x = \frac{x ^{3}}{3} ln x - \int \frac{x ^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x} d x$
3. Järelejäänud integraal on tavaline astmefunktsioon:
  
  $= \frac{x ^{3}}{3} ln x - \int \frac{x ^{2}}{3} d x = \frac{x ^{3}}{3} ln x - \frac{x ^{3}}{9} + C$
Vastus

(x³/3) ln x − x³/9 + C. LIATE seab logaritmi algebralisest tegurist ettepoole just esimeses sammus nähtud põhjusel: ln x diferentseerimisel tekib aste 1/x, mille v-st tulnud x³ kohe endasse neelab.

$\int x^{2} ln x d x = \frac{x ^{3}}{3} ln x - \frac{x ^{3}}{9} + C$
∫arctan x, mis lõpeb asendusega 3 sammu
Leia ∫arctan x dx.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Nagu ln x puhul, kirjutame selle kujul 1·arctan x, kus u = arctan x ja dv = 1·dx:
  
  $u = arctan x, d u = \frac{d x}{1 + x ^{2}}; d v = d x, v = x$
2. Üks ositi samm:
  
  $\int arctan x d x = x arctan x - \int \frac{x}{1 + x ^{2}} d x$
3. Allesjäänud integraal laheneb asendusega w = 1 + x², dw = 2x dx:
  
  $\int \frac{x}{1 + x ^{2}} d x = \frac{1}{2} \int \frac{d w}{w} = \frac{1}{2} ln (1 + x^{2})$
Vastus

x arctan x − ½ ln(1 + x²) + C. Logaritmile pole absoluutväärtuse märke vaja, sest 1 + x² ei ole kunagi negatiivne.

$\int arctan x d x = x arctan x - \frac{1}{2} ln (1 + x^{2}) + C$
Tsükliline integraal kahe eri kordajaga 3 sammu
Leia ∫e^2x sin x dx.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Tähistame selle I-ga. Esimene ositi samm: u = sin x ja dv = e^2x dx:
  
  $I = \int e^{2 x} sin x d x = \frac{1}{2} e^{2 x} sin x - \frac{1}{2} \int e^{2 x} cos x d x$
2. Teine ositi samm integraaliga ∫e^2x cos x dx, kus u-ks on taas trigonomeetriline tegur:
  
  $\int e^{2 x} cos x d x = \frac{1}{2} e^{2 x} cos x + \frac{1}{2} I$
3. Algne integraal on tagasi, veerand sellest. Avaldame I:
  
  $I = \frac{1}{2} e^{2 x} sin x - \frac{1}{4} e^{2 x} cos x - \frac{1}{4} I \Rightarrow \frac{5}{4} I = \frac{1}{4} e^{2 x} (2 sin x - cos x)$
Vastus

e^2x(2 sin x − cos x)/5 + C. Arv 5 on 2² + 1², millena need kaks kordajat mängu tulevad: kuju e^ax sin bx puhul on nimetajaks a² + b². Hoia u mõlemal sammul trigonomeetrilisena. Kui valida teises sammus u = e^2x, tühistab see esimese, nagu näitab eelseadistus „Undo“ funktsiooni eˣ sin x puhul.

$\int e^{2 x} sin x d x = \frac{e ^{2 x} ( 2 sin x - cos x )}{5} + C$
Määratud integraal ja rajaliikme arvutamine 2 sammu
Arvuta ∫₀^π x sin x dx.
Näita lahendust
1. u = x, dv = sin x dx, v = −cos x. Ka rajaliige arvutatakse samades rajades:
  
  $\int_{0}^{π} x sin x d x = [- x cos x]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} cos x d x$
2. Mõlemad osad rajades:
  
  $= (- π cos π + 0) + [sin x]_{0}^{π} = π + 0$
Vastus

π. Rajaliige annab kogu tulemuse, π, ning allesjäänud integraal annab 0, sest sin π = sin 0 = 0.

$\int_{0}^{π} x sin x d x = π$
Täpne rekurrentsvalem ja ebatäpne arvutus 4 sammu
Üks ositi integreerimise samm integraalil I_n = ∫₀¹ xⁿeˣ dx valikuga u = xⁿ annab seose I_n = e − n·I_n−1. Leia selle abil I₄. Arvuta seejärel kümme sammu, alustades väärtusest I₀ = e − 1, mis on ümardatud arvuni 1,7183, ning vaata I₁₀ tulemust. Vajuta Aste langeb. Leht leiab kahe sammuga väärtuse I₂ = 0,7183.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Üks samm valikuga u = xⁿ ja dv = eˣ dx vahemikus 0 kuni 1:
  
  $I_{n} = [x^{n} e^{x}]_{0}^{1} - n \int_{0}^{1} x^{n - 1} e^{x} d x = e - n I_{n - 1}$
2. Veel kaks sammu, jätkates lehe väärtusega I₂:
  
  $I_{3} = e - 3 (e - 2) = 6 - 2 e = 0.5634, I_{4} = e - 4 (6 - 2 e) = 9 e - 24 = 0.4645$
3. Nüüd liigume ümardatud algusest edasi. Üheksa sammu järel on positiivse funktsiooni integraal muutunud negatiivseks:
  
  $I_{0} = 1.7183 \Rightarrow \dots I_{9} = - 6.3451, I_{10} = 66.1689$
4. Alguspunkt oli 1,8172×10⁻⁵ võrra nihkes ja iga samm korrutab viga n korda. Kümme sammu korrutab seda teguriga 10!:
  
  $1.8172 \times 1 0^{- 5} \times 10! = 1.8172 \times 1 0^{- 5} \times 3, 628, 800 = 65.94, 0.2280 + 65.94 = 66.17$
Vastus

I₄ = 9e − 24 ≈ 0,4645 ning tegelik I₁₀ on 0,2280. Rekurrentne seos on täpne. Edasipidi arvutades korrutab see ümardamisvea teguriga n!. Tagurpidi ehk kujul I_n−1 = (e − I_n)/n jagatakse viga igal sammul n-iga. Alustades konarlikust oletusest I₂₀ = 0, saame nelja komakoha täpsusega väärtuse I₁₀ = 0,2280. Leht peatub pärast kolme sammu.

$I_{4} = 9 e - 24 \approx 0.4645, I_{10} \approx 0.2280$

Vali u halvasti ja x-i aste hakkab kasvama 🖖

Vajuta Aste langeb. Integraal on x²eˣ ning valik u = x² kaotab tuletist võttes astme ära. Esimene samm jätab järele 2x·eˣ ja teine 2eˣ, mis ongi tabelis. Vastus (x² − 2x + 2)eˣ selgub kahe sammuga. Vahemikus 0 kuni 1 annab see tulemuseks 0,7183 ja sama teeb ka Simpsoni valem. Tuhmim lahenduskäik näitab teist valikut u = eˣ. Kuna eˣ tuletise võtmisel ei muutu, ei lähe midagi lihtsamaks. Aste hoopis kasvab integreerides kujule x³eˣ/3, x⁴eˣ/12 ja x⁵eˣ/60. Graafiku katkendjoon ronib samal ajal ülespoole ja pidevjoon langeb nulli. LIATE (logaritm, arkusfunktsioon, algebraline, trigonomeetriline, eksponent) on seesama loogika reegliks vormituna. Esimesena tuleb see, mis muutub tuletise võtmisel lihtsamaks. Tulemuste all olev tabel proovib seda viieteistkümne korrutise peal. LIATE valik langetab x-i astet või eemaldab ln või arctan-i kõigis viieteistkümnes. Sümboleid lugedes võidab see 13, jääb viiki juhu x³eˣ korral ning kaotab olukorras x³ sin x sümbolitega 9 vastu 8. Seega on järelejäänud integraali pikkuse mõõtmine lihtsalt vale lähenemine.

∫eˣ sin x naaseb iseendana ja laheneb võrrandina 🖖

Vajuta Naaseb. Tuletise võtmine ei muuda funktsioone eˣ ega sin x lihtsamaks, seega võta u = sin x ja vaata, mis juhtub. Üks samm jätab järele ∫eˣ cos x. Teine samm valikuga u = cos x annab tulemuseks −∫eˣ sin x, mis on miinusmärgiga algne integraal. See lahenduskäik ei jõua kunagi tabelisse ega peagi jõudma. Tähista integraal tähega I. Võrrand ütleb nüüd, et I = eˣ sin x − eˣ cos x − I, järelikult 2I = eˣ(sin x − cos x) ning I = eˣ(sin x − cos x)/2. Vahemikus 0 kuni 1 annab see 0,9093, mida kinnitab ka Simpsoni valem. Vajuta nüüd Tühista. Esimene samm on sama, ent teisel on u = eˣ. See samm integreerib esimesel sammul tekkinud funktsiooni cos x tagasi. Rajaliige eˣ sin x taandab esimese rajaliikme. Järele jääb võrrand I = I. See on küll tõene, aga ei anna mingit teavet.

∫ln x vajab tegurit 1, mida keegi kirja ei pannud 🖖

Vajuta ln x, dv = 1·dx. Funktsioon ln x näeb välja nagu üksik funktsioon, aga ositi integreerimine nõuab justkui kahte. Kirjuta see kujul 1·ln x, kus u = ln x, millest saab tuletist võttes 1/x. Ülejäänu on dv = 1·dx, mis annab integreerides tulemuseks x. Seega ∫ln x dx = x ln x − ∫x·(1/x) dx = x ln x − x kõigest ühe sammuga. Pindala vahemikus 1 kuni 2 on seega mõlemal viisil 2 ln 2 − 1 = 0,3863. Teine valik u = 1 ja dv = ln x dx vajaks v = ∫ln x dx leidmist. See on aga seesama integraal, mida alles otsime. Seetõttu peatubki tuhmim lahenduskäik enne algust. Harjutuses on sisestatud x ln x, mille tuletis on ln x + 1. See on igal pool täpselt ühe võrra suurem kui integreeritav: puudu on seesama unustatud −∫1 dx. Sama nipp lahendab integraali ∫arctan x. Näide x arctan x näitab ositi integreerimise piire. Valikuga u = arctan x jätab esimene samm järele ratsionaalfunktsiooni x²/(2(1 + x²)), mille lahendamine kuulub juba järgmise teema juurde.

Õpitee

Integreerimismeetodid

Allikad (2)

The formula from the product rule (Theorem 3.1, ∫u dv = uv − ∫v du), the LIATE order (“Logarithmic Functions, Inverse Trigonometric Functions, Algebraic Functions, Trigonometric Functions, and Exponential Functions”) with the reason given for it, the reduction formula ∫xⁿeˣ dx = xⁿeˣ − n∫xⁿ⁻¹eˣ dx (exercise 48), and the device of taking the constant function 1 as the second factor (Example 3.5): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 2, OpenStax (2016), section 3.1, “Integration by Parts”.
Two of the page's cases worked as a teacher works them: ∫ln x dx, where u = 1 with dv = ln x dx “would need to know the answer ahead of time” (Example 6), and ∫e^θ cos θ dθ, where two rounds give “the same integral on both sides … with a minus sign in front of it”, so the integral is added to both sides and the equation divided by 2 (Example 8): P. Dawkins, “Integration by Parts”, Paul's Online Notes, Calculus II, Lamar University (page last modified 31 July 2026).

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.