Kondensaatorid ja salvestatud energia

Määra kondensaatori mahtuvus, allika pinge ja takisti takistus ning vali, mitme astmena allika pinge tõuseb. Jälgi laadimist sammhaaval: kui palju allika energiast salvestub kondensaatoris ja kui palju muutub soojuseks? Allpool saad kondensaatori plaate teineteisest eemale viia nii lahti ühendatud kui ka ühendatud patareiga.

Näidisarvutus — Kondensaatorid ja salvestatud energia

Kondensaatori laeng	1,200 mC
Salvestatud energia	7,200 mJ
Allikast saadud energia	14,40 mJ
Takistis eraldunud soojus	7,200 mJ
Salvestunud osa allika energiast	50,00%
Voolutugevus iga hüppe hetkel	12,00 mA
Algne mahtuvus	354,2 pF
Algne salvestatud energia	1,771 µJ

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Kondensaatorid ja salvestatud energia

Kondensaator koosneb kahest juhist, mida eraldab isolaator. Kui anda ühele laeng +Q ja teisele −Q, tekib nende vahel pinge V. Suhe C = Q/V on kondensaatori mahtuvus, mida mõõdetakse faradites. Kahe tasase plaadi korral, mille pindala on A ja vahekaugus d, kehtib C = ε₀εᵣA/d. Laetud kondensaatoris salvestub energia U = ½CV² = Q²/2C. Muutumatu pingega V allikas annab laengu Q liigutamiseks energiat QV, kaks korda rohkem kui kondensaatorisse salvestub.

Mida iga sümbol tähendab

C: mahtuvus faradites: laeng pingeühiku kohta. Farad on väga suur ühik; siinsete kondensaatorite mahtuvust mõõdetakse mikrofaradites ja pikofaradites
Q: kummagi plaadi laeng kulonites. Plaatide laengud on suuruselt võrdsed ja vastasmärgilised
V: plaatidevaheline pinge. Allika puhul pinge, mida see hoiab sõltumata voolutugevusest
U: plaatidevahelises elektriväljas salvestatud energia džaulides
εᵣ: plaatide vahet täitva aine suhteline dielektriline läbitavus: vaakumis 1, õhus väga lähedal väärtusele 1. Näitab, mitu korda suurendab dielektrik mahtuvust
d: plaatide vahekaugus. Mahtuvus on võrdeline suurusega 1/d, seega vahekauguse vähendamisel poole võrra mahtuvus kahekordistub
N: võrdsete astmete arv, millega allika pinge tõuseb. Iga hüppe suurus on V/N

Eeldab: Kõik komponendid on ideaalsed. Kondensaatoril puuduvad lekkevool ja sisetakistus, allikas hoiab pinget täpselt ning takisti allub Ohmi seadusele. Igal pingeastmel oodatakse enne järgmist viisteist ajakonstanti; selleks ajaks jääb laadimisest puudu 3 osa 10 miljonist. Ka plaadid on ideaalsed: nendevahelist elektrivälja käsitletakse ühtlasena ning servadest väljapoole ulatuvat välja ei arvestata. See lähendus sobib, kui plaatide vahekaugus on nende laiusega võrreldes väike. Plaati liigutatakse aeglaselt, nii et patareisse või sealt välja kulgev vool ei tekita soojuskadu.

Kümne astmega on kadu kümme korda väiksem 🖖

Vajuta Kümme astet. Kondensaator jõuab samasse lõppseisu kui ühe hüppega: pinge on 12 V ja salvestatud energia 7,200 mJ. Takistis on aga 7,200 mJ asemel eraldunud vaid 720,0 µJ soojust. Iga hüppega eraldub soojust ½C(ΔV)². Võit tuleb ruudust: kümne 1,2 V hüppe korral on soojushulk kümme korda ½C(1,2 V)², mis annab kümnendiku väärtusest ½C(12 V)². Allika energiast salvestuv osa kasvab väärtuselt 1/2 väärtuseni N/(N+1). Kümne astmega on see 90,91 %, saja astmega 99,01 %. Kui allika pinge tõuseb sujuvalt ja piisavalt aeglaselt, jääb energiakadu kaduvväikeseks. Elektroonikas nimetatakse seda astmeliseks laadimiseks. See kuulub adiabaatiliste võtete hulka, millega juhitakse mahtuvuslikke koormusi, näiteks suurte võimsustransistoride paisusid, taktsignaali liine ja puuteandureid.

Takistist sõltub laadimise kiirus, soojushulk jääb samaks 🖖

Vajuta Takistiga 10 Ω, seejärel Takistiga 1 MΩ. Hüppe hetkel on voolutugevus esimesel juhul 1,200 A ja teisel 12,00 µA: erinevus on 100 000 korda. Sama suur on erinevus hetkelises soojusvõimsuses. Soojushulga reas seisab mõlemal korral 7,200 mJ. Väikese takistusega eraldub energia lühikese võimsa impulsina, suure takistusega aeglaselt pikema aja jooksul. I²R graafiku alune pindala tuleb sama. Põhjus peitub laengu liikumises. Iga kulon väljub allikast pingel 12 V, kuid jõuab kondensaatorisse, mille pinge on laadimise jooksul keskmiselt 6 V. Sellele vahele vastav energia peab eralduma allika ja kondensaatori vahel. Takistuse väärtusest see energiavahe ei sõltu.

Plaatide eemaldamisel võib salvestatud energia väheneda 🖖

Vajuta Vahe kolmekordseks. Vasakul ühendati patarei enne lahti, seega jääb laeng plaatidele. Plaatidevaheline väljatugevus sõltub ainult laengust ja püsib väärtusel 100 kV/m. Pinge on väljatugevuse ja vahekauguse korrutis ning kolmekordistub väärtuseni 300,0 V. Ka salvestatud energia kolmekordistub. Selle suurenemise katab sinu tehtud töö: 3,542 µJ. Paremal hoiab patarei pinget 100 V. Mahtuvus väheneb kolmandikuni, kaks kolmandikku laengust liigub tagasi patareisse ning salvestatud energia kahaneb väärtuseni 590,3 nJ. Plaadid tõmbuvad endiselt teineteise poole, nii et nende eemaldamiseks tuleb teha tööd. Seda on 1,181 µJ, täpselt sama palju kui kondensaatorist kadunud energiat. Patareisse jõuavad mõlemad: 2,361 µJ, kaks korda sinu tehtud töö. See suhe kehtib iga pindala, pinge ning algse ja lõpliku vahekauguse korral.

Ülesanne täielikult lahendatud

Milline vahepinge valida 6 sammu
100 µF kondensaator tuleb laadida läbi 1 kΩ takisti pingeni 12 V. Toiteallikal on üks vaba väljund, millega saad kondensaatori esmalt ühendada. Kui palju soojust eraldub ühe hüppega pingeni 12 V? Kui palju siis, kui vaba väljundi pinge on 4 V, ja kui palju 6 V korral? Milline vahepinge oleks parim? Mitme võrdse astmega laadides jääks soojushulk 1 % piiresse salvestatud energiast?

Ava see ülesanne tööriistas
1. Alustame ühest hüppest. Allikas liigutab laengu 1,2 mC läbi pinge 12 V ja annab energiat 14,40 mJ. Kondensaatorisse salvestub ½CV² = 7,200 mJ, seega eraldub takistis 7,200 mJ soojust. Tööriistas vastab sellele N = 1.
  
  $Q = C V = 1.2 mC, Q V = 14.40 mJ, \frac{1}{2} C V^{2} = 7.200 mJ$
2. Kui allika pinge hüppab kondensaatori pingest ΔV võrra kõrgemale, eraldub laadimisel soojust ½C(ΔV)². See ei sõltu takistist ega kondensaatori algpingest. Vahepinge x volti tähendab seega kahte hüpet, mille soojushulk kokku on ½C[x² + (12 − x)²].
  
  $E_{heat} = \frac{1}{2} C [x^{2} + (12 - x)^{2}]$
3. Vahepingel 4 V: ½ × 100 µF × (16 + 64) V² = 4,000 mJ. Vahepinge 8 V annab sama tulemuse, sest hüpped vahetavad lihtsalt järjekorra.
  
  $x = 4 V : \frac{1}{2} \cdot 100 μ F \cdot (16 + 64) V^{2} = 4.000 mJ$
4. Vahepingel 6 V: ½ × 100 µF × (36 + 36) V² = 3,600 mJ, pool ühe hüppe soojushulgast. Vali tööriistas N = 2 ja soojushulga rida kinnitab tulemust.
  
  $x = 6 V : \frac{1}{2} \cdot 100 μ F \cdot (36 + 36) V^{2} = 3.600 mJ$
5. Parima vahepinge leidmiseks minimeerime avaldise x² + (12 − x)². Selle tuletis 2x − 2(12 − x) on null, kui x = 6 V, täpselt keskel. Sama põhjendus kehtib iga hüpete arvu korral: kui hüpete summa on V, on nende ruutude summa vähim võrdsete hüpete puhul. Siis on see N(V/N)² = V²/N.
  
  $\frac{d}{d x} [x^{2} + (12 - x)^{2}] = 2 x - 2 (12 - x) = 0 \Rightarrow x = 6 V$
6. Võrdsed astmed annavad seega vähima võimaliku soojushulga. Seepärast pakubki tööriist ainult võrdseid astmeid. Soojushulk võrdub salvestatud energia ja N jagatisega. Et see oleks 1 % väärtusest 7,200 mJ, peab N olema vähemalt 100.
  
  $N (\frac{V}{N})^{2} = \frac{V ^{2}}{N}, \frac{7 . 200 mJ}{N} \leq 0.072 mJ \Rightarrow N \geq 100$
Vastus

Ühe hüppega 7,200 mJ, vahepingega 4 V 4,000 mJ ja vahepingega 6 V 3,600 mJ. Üks vahepinge tasub valida täpselt keskele. Mitme vahepinge korral on parimad võrdsed astmed, mille puhul soojushulk = ½CV²/N. Et soojushulk jääks 1 % piiresse salvestatud energiast, on vaja 100 astet. Astmete tabeli viimases reas näed vastavat soojushulka 72,00 µJ. Tööriistas saab valida ainult võrdseid astmeid. Ebavõrdsed astmed, näiteks vahepingega 4 V, annavad alati suurema kao; sammu 2 ruutude summa näitab, kui palju suurema.

$4.000 mJ (4 V) > 3.600 mJ (6 V), N = 100 : 72.00 μ J$

Õpitee

Mis ei ole takisti

Allikad (2)

The parallel-plate capacitance and the three forms of the stored energy in the definition and the results table: S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2. OpenStax. §8.1 "Capacitors and Capacitance" (Equation 8.3) and §8.3 "Energy Stored in a Capacitor" (Equation 8.10).
Stepwise charging as a real circuit technique, for the last sentence of the first insight: E. J. Carlson and J. R. Smith, "An Analytical Model for Stepwise Adiabatic Driver Energy Consumption." arXiv:2210.16680, 29 October 2022. §1.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.