RLC-resonantsanalüsaator

Määra R, L ja C väärtused, et näha resonantssagedust, hüvetegurit ja impedantsikõverat.

Algväärtused — RLC-resonantsanalüsaator

Takistus R (Ω)	100
Induktiivsus L (H)	0.01
Mahtuvus C (F)	0.00000253

Muuda ülal mõnda juhtelementi ja tulemused arvutatakse uuesti.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — RLC-resonantsanalüsaator

Järjestik-RLC-ahel on resonantsis sellel ainusal sagedusel, kus pooli reaktiivtakistus ja kondensaatori reaktiivtakistus on suuruselt võrdsed ning vastasmärgilised, tühistades seega teineteise täielikult. Sellel sagedusel käitub ahel nii, nagu oleks seal vaid takisti.

Mida iga sümbol tähendab

R: takistus oomides. Ainus element, mis hajutab energiat, ja seega ainus asi, mis piirab suurust Q.
L: induktiivsus henrides. Selle reaktiivtakistus X_L = 2πfL kasvab sageduse tõustes.
C: mahtuvus faradites. Selle reaktiivtakistus X_C = 1/(2πfC) kahaneb sageduse tõustes — nii et need kaks kõverat lõikuvad täpselt ühes punktis.
Q: hüvetegur — näitab resonantsi teravust. See määrab ära ka ribalaiuse, BW = f₀/Q.

Kust valem tuleb

Resonants on definitsiooni kohaselt sagedus, mille juures need kaks reaktiivtakistust kattuvad: X_L = X_C, see tähendab 2πf₀L = 1/(2πf₀C).
Korrutades mõlemat poolt avaldisega 2πf₀C ja jagades suurusega L, saadakse (2πf₀)² = 1/(LC).
Võttes ruutjuure ja jagades arvuga 2π: f₀ = 1/(2π√(LC)). Pane tähele, mis puudub — R ei ilmu siin üldse, seega muudab takistus seda, kui terav on tipp, kuid mitte kunagi selle asukohta.

Kuidas nähtut lugeda

Kaheksa rida, igaüks kuvatud koos avaldisega, mis selle andis, et arvutusi saaks kontrollida, mitte ei peaks pimesi usaldama. Esimesed neli on need, milleni ülalolev tuletus jõuab: resonantssagedus f₀, nurksagedus ω₀, hüvetegur Q = (1/R)√(L/C) ja ribalaius BW = f₀/Q. Komponentide vaikeväärtuste korral — R = 100 Ω, L = 10 mH, C = 2.53 µF — näitavad need 1.00 kHz, 6287 rad/s, 0.6287 ja 1.59 kHz. Neli järgmist kirjeldavad sedasama ahelat teistest külgedest: kaks 3 dB sagedust, 483 Hz ja 2.07 kHz, sumbuvustegur ζ = 0.7953 ning minimaalne jadatakistus — 100 Ω ehk R ise, sest resonantsis reaktiivtakistused taanduvad ja muud ei jäägi. Skeem näitab, kust väljund võetakse: üle R.

Eeldab: Ideaalsed komponendid siinuselises püsiolekus — puhas takistus, puhas induktiivsus ja puhas mahtuvus, mida on ergastatud piisavalt kaua, et siirdeprotsessid on vaibunud. Miski siin ei kirjelda seda, mida ahel teeb esimestel perioodidel pärast sisselülitamist.
Ei kehti, kui: Vaikeväärtuste korral on ahel vaevalt resonantsis ja näit kinnitab seda, kui lugeda kahte sagedust koos: Q = 0.6287 annab ribalaiuseks 1.59 kHz, mis on laiem kui kesksagedus 1,00 kHz ise — siin pole ühtegi mainimisväärset tippu. Teravuse saavutamiseks peab R olema väike võrreldes avaldisega √(L/C). Reaalsetel poolidel on ka oma mähise takistus, mis liitub suurusele R ja piirab hüvetegurit Q, mida ükski füüsiline teostus saab saavutada.

Q loeb, mitu korda energia edasi-tagasi loksub, enne kui muutub soojuseks 🖖

Q on üldine mõõt, mis näitab salvestatud energia suhet ühe tsükli jooksul kaotatud energiasse. Jadamisi RLC-vooluringis lubab madal takistus energial mitu korda kulgeda mähise magnetvälja ja kondensaatori elektrivälja vahel, enne kui see muutub soojuseks. Sama idee esineb aatomikellades: kitsas spektrijoon tähendab tohutut Q-väärtust, mistõttu ostsillaator suudab eristada äärmiselt väikseid sageduskõrvalekaldeid.

Mida resonants tegelikult tähendab 🖖

Igal pooli–kondensaatori paaril on omasagedus f₀ = 1/(2π√(LC)), mille juures energia loksub edasi-tagasi nagu kiigele hoogu andev laps. Kui juhtida ahelat sagedusel f₀, kustutavad L-i ja C reaktantsid teineteist ning alles jääb ainult takistus — vool saavutab terava maksimumi. Pane tähele: f₀ sõltub üksnes L-ist ja C-st; takistuse nupp teravdab või laiendab tippu, kuid ei nihuta seda kunagi.

Pinge, mis ületab oma allika 🖖

Resonantsis "näeb" allikas ainult takistust, ent pinged pooli ja kondensaatori otstel tõusevad kumbki Q korda sisendist suuremaks ning kuna need on 180° faasinihkes, kustutavad nad teineteist täpselt. Juhi Q = 50 ahelat 10 V-ga ja kondensaatori otstes on 500 V. Selline pingevõimendus võimaldab sädesaatjatel ja Tesla poolidel saavutada tohutuid pingeid ning võib vaikselt hävitada kondensaatori, mis on mõeldud vaid sisendpingele.

Harjutus

Kontrolli ennast

Ennusta vastust esmalt ise ja kasuta siis ülal olevaid juhtelemente. Ava lahendus alles siis, kui oled otsustanud — just see teebki sellest harjutuse.

Vaikeväärtused on L = 10 mH ja C = 2.53 µF, mis annavad f₀ = 1.00 kHz ja Q = 0.6287. Kahekordista induktiivsus väärtuseni 0.02 ja poolita mahtuvus väärtuseni 1.265e-6. Ennusta, mida kumbki teeb.

Näita vastust

f₀ ei liigu — ikka 1.00 kHz —, samal ajal kui Q kahekordistub väärtuseni 1.257 ja ribalaius poolitub 1.59 kHz pealt 796 Hz peale. f₀ sõltub korrutisest LC, mille jätsid puutumata; Q = (1/R)√(L/C) sõltub suhtest, mille neljakordistasid. Üks komponendipaar, kaks sõltumatut nuppu: vaheta L ja C omavahel, et piiki teravdada seda nihutamata, või muuda mõlemat koos, et seda nihutada kuju muutmata.
Pane komponendid tagasi ja langeta takistus 100 pealt 10 peale. Kuus rida kaheksast muutuvad. Millised kaks ei muutu?

Näita vastust

f₀ ja ω₀ — R ei esine valemis f₀ = 1/(2π√(LC)) kusagil. Kõik muu liigub: Q 0.6287 pealt 6.287 peale, ribalaius 1.59 kHz pealt 159 Hz peale, sumbuvustegur 0.7953 pealt 0.07953 peale, ja kaks 3 dB sagedust tõmbuvad liikumatu piigi ümber kokku — 924 Hz ja 1.08 kHz senise 483 Hz ja 2.07 kHz asemel. Minimaalne jadatakistus järgib täpselt R-i, 100 pealt 10.0 peale, sest resonantsis reaktiivtakistused taanduvad ja alles jääb ainult takisti.

Ülesanne täielikult lahendatud

100 Ω, 10 mH, 2,53 µF jadaühenduse resonantssagedus 6 sammu
R = 100 Ω, L = 10 mH, C = 2,53 µF jadamisi. Leia resonantssagedus ja hüvetegur Q — ning seejärel ütle, mida alla 1 jääv Q selle vooluringi jaoks tegelikult tähendab.
1. Induktiivsuse ja mahtuvuse reaktiivtakistustel on vastupidised märgid, mistõttu ühel sagedusel need tasakaalustavad teineteist täielikult ning impedants on puhtalt aktiivne. See sagedus ongi resonantsi definitsioon.
  
  $Z (ω) = R + j (ω L - \frac{1}{ω C}); ℑ Z = 0 ⟹ ω_{0} = \frac{1}{L C}$
2. Asenda väärtused. Korrutis LC on 2,53 × 10⁻⁸ ja selle ruutjuurest sõltub kõik ülejäänu.
  
  $ω_{0} = \frac{1}{0.01 \times 2.53 \times 1 0 ^{- 6}} = \frac{1}{1.5906 \times 1 0 ^{- 4}} = 6287 rad/s, f_{0} = \frac{ω _{0}}{2 π} = 1001 Hz$
3. Q võrdleb reaktiivtakistust resonantsil aktiivtakistusega. Mugav kuju √(L/C)/R ei vaja üldse sagedust ning ζ on lihtsalt selle pooleks jagatud pöördväärtus.
  
  $Q = \frac{ω _{0} L}{R} = \frac{1}{R} \frac{L}{C} = \frac{1}{100} 3953 = 0.6287, ζ = \frac{1}{2 Q} = 0.7953$
4. Ribalaius on kesksagedus jagatuna Q-ga ning kaks −3 dB murdepunkti ei ole selle suhtes sümmeetrilised — need on sümmeetrilised logaritmiliselt, mistõttu nende geomeetriline keskmine on f₀.
  
  $BW = \frac{f _{0}}{Q} = 1592 Hz; f_{1, 2} = f_{0} (1 + \frac{1}{4 Q ^{2}} \mp \frac{1}{2 Q}) = 483 and 2074 Hz$
5. Nüüd käsitle Q-d energia, mitte ribalaiusena. Need kaks definitsiooni kattuvad ning just energiapõhine definitsioon ütleb, kas miski üldse võngub.
  
  $Q = 2 π \frac{energy stored}{energy lost per cycle} < 1 ⟹ it loses more each cycle than it holds$
6. Lõpuks liigu tegelikust nõudest tagasi takistuseni, mida see eeldab.
  
  $AM at 1 MHz, 9 kHz spacing : Q = \frac{f _{0}}{BW} = 111 ⟹ R = \frac{1}{Q} \frac{L}{C} = 0.57 Ω$
Vastus

Q = 0,63, mis tähendab, et vooluring kaotab tsükli kohta rohkem energiat kui salvestab. See on Q füüsikaline tõlgendus: 2π korda salvestatud energia jagatuna tsüklis kaotatuga. Alla 1 ei ole enam midagi võnkumiseks, ja 1,59 kHz ribalaius 1,00 kHz kesksageduse ümber ütleb sageduspiirkonnas sama asja — läbilaskeriba on laiem kui sagedus, mille ümber see asub. See on filter, mitte resonaator, ja põhjus on takistis. Jättes samaks L-i ja C ning 1 kHz kesksageduse, nõuab 9 kHz vahega AM-jaamade eraldamiseks vajalik Q ≈ 111 jadalülituse kogutakistuse viimist 0,57 Ω-ni, mis on väiksem kui pooli enda traadi takistus. See on tegelik põhjus, miks raadiote sisendahelates kasutatakse häälestatud trafosid, mitte takistit, pooli ja kondensaatorit ühes reas.

$f_{0} = 1.00 kHz, Q = 0.6287, BW = 1.59 kHz ⟹ a filter, not a resonator$

Õpitee

Takistus, seejärel reaktiivtakistus

Allikad (1)

Series resonance, the quality factor and bandwidth as set out in a standard circuits text: J. W. Nilsson & S. A. Riedel, Electric Circuits, 10th ed. Pearson/Prentice Hall, 2015. ISBN 978-0-13-376003-3.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-07-13

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Füüsika õppetunnid →

Näiteülesanded

AM-raadio - Q = 31,62 tundub terav, kuni vaatad kõrval toodud ribalaiust: 31,8 kHz sagedusel 1,01 MHz töötaval kandjal. Ameerika AM-jaamade sagedusvahe on 10 kHz ja Euroopas 9 kHz. Seega laseb selline ahel läbi tervelt kolm naabrit korraga. Üksik häälestatud võnkering ei ole veel raadio. Seepärast segustavadki vastuvõtjad signaali kindlale vahesagedusele ja teevad tegeliku filtreerimise alles seal.
Helifilter - Poolvõimsuse punktid asuvad sagedustel 483 Hz ja 2,07 kHz, kuid 1,00 kHz ei jää nende keskele. Keskpunkt on hoopis 1277 Hz. Tegu on geomeetrilise keskmisega: √(483 × 2070) = 999,9 ehk seesama paneelile kuvatav 1,00 kHz. Resonantstipp asub alati oma pääsuriba geomeetrilises keskmes. Sel põhjusel joonistataksegi filtrite sageduskarakteristikud logaritmilisele teljele. Samuti on siin loomulikuks mõõtühikuks oktav, mitte herts.
Kõrge Q (terav) - Kõrge Q-teguriga ahel: terav resonantstipp sagedusel ~5 kHz
Üledampitud - Q = 0,01000 ja sumbumisaste on 50,00. Süsteemi sumbumine ületab kriitilise piiri viiskümmend korda. Ribalaiuseks kujuneb 159 kHz keskse sageduse 1,59 kHz ümber. Pääsuriba on seega sada korda laiem kui selle nimeline kesksagedus ja alumine poolvõimsuse punkt langeb väärtusele 15,9 Hz. Siin ei resoneeri enam miski. Takistus R on ahela täielikult lämmatanud.