Esimest järku astmevastuse labor

muuda võimendust, astme suurust ja ajakonstanti, et näha eksponentsiaalse vastuse kujunemist

Näidisarvutus — Esimest järku astmevastuse labor

Väljund y(t)	0,6321
Püsiseisundi väärtus	1,0000
Edenemine püsiseisundi suunas	63,21%
Möödunud aeg ajakonstantides	1,000 τ
Tõusuaeg, 10% → 90%	2,197
Seadeaeg, 2% täpsusega	3,912
Teie väärtused asetatuna	0,6321
lõppväärtus K·A	0

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Esimest järku astmevastuse labor

Esimest järku süsteem on selline, mille muutumiskiirus on võrdeline sellega, kui palju tal veel minna on. Lükake teda äkilise püsiva sisendiga — astmega — ja ta ei hüppa kaasa: ta sulgeb allesjäänud vahe ühtlase osakaaluga ajaühikus, joonistades eksponentsiaalse lähenemise uuele puhkeväärtusele. Ajakonstant τ on aeg, mille jooksul see vahe kahaneb 1/e-ni oma esialgsest suurusest.

Mida iga sümbol tähendab

K: võimendus: kui palju väljundit süsteem lõpuks iga sisendiühiku kohta annab.
A: hetkel t = 0 rakendatud astme suurus.
τ: ajakonstant, samades ühikutes kui t. See on siin ainus sümbol, mis ajastust mõjutab.
K·A: lõppväärtus, millele väljund settib, kui eksponent on otsa saanud.

Kust valem tuleb

Alustage füüsikalisest eeldusest, mitte valemist. Esimest järku süsteem muutub kiirusega, mis on võrdeline tema järelejäänud kaugusega sihtmärgist: mida rohkem on minna, seda kiiremini ta liigub. Kirja pandult dy/dt = (K·A − y)/τ, mis teiseneb kujule τ·dy/dt + y = K·A.
Eraldage muutujad ja integreerige: dy/(K·A − y) = dt/τ annab −ln(K·A − y) = t/τ + c.
Rakendage algtingimus. Enne astet on süsteem paigal, seega y(0) = 0, mis määrab konstandi ja jätab alles K·A − y = K·A·e^(−t/τ). Lugege seda rida omaette: eksponentsiaalselt kahaneb vahe, ja lihtne asi ongi vahe, mitte väljund.
Seega y(t) = K·A(1 − e^(−t/τ)). Veel läbimata osa on e^(−t/τ), mis sõltub t-st ja τ-st ainult nende suhte kaudu. Just see üks tõsiasi tekitab kogu verstapostide tabeli: ühe τ juures on vahe 1/e, seega on tehtud 63,21%; kolme τ juures 95,02%; viie τ juures 99,33%. Neid arve ei suuda muuta ei võimendus ega astme suurus.

Kuidas nähtut lugeda

Roheline kõver on y(t) ja hall katkendjoon on lõppväärtus K·A, milleni ta päris ei jõua. Püstjooned tähistavad 1τ kuni 5τ, nii et verstapostide protsendid saab kõveralt otse maha lugeda. Oranž katkendjoon teeb 4. sammu nähtavaks: see lahkub nullpunktist algtõusuga K·A/τ ja kohtab halli joont täpselt ühe ajakonstandi juures, ristumiskohal on punkt. Sinine riba on ±2% lõppväärtusest — tavapärane inseneri määratlus sõnale „kohal“ —, ja püstmärgis on ajakastis valitud hetk. Allolev tabel tõstab esile selle τ-rea, millel te parajasti seisate.

Eeldab: Üksainus salvesti, enne astet paigal olev süsteem ja hetkeliselt saabuv aste. Eeldatakse ka lineaarsust: kahekordistage aste ja iga kõverapunkt kahekordistub — just seepärast on verstapostide protsendid paigas. Küllastust siin ei modelleerita, nii et võimendus 10 ja aste 10 ennustavad rõõmsalt väljundit 100, mida päris täitur ei suudaks anda.
Ei kehti, kui: Esimest järku vastus on monotoonne — ta ei saa kunagi oma lõppväärtusest üle võnkuda ega võnkuda üldse. Kui päris süsteem seega heliseb või ületab sihtmärgi, enne kui settib, siis pole ta esimest järku ja ükski τ väärtus talle ei sobi. Selleks on vaja vähemalt kaht salvestit, millest tulebki summutatud võnkuri teist järku käitumine. Surnud aeg lõhub mudeli teisiti: transpordiviivitus nihutab kogu kõverat paremale, muutmata selle kuju, ja seda ei saa samuti τ sisse peita.

Ajakonstant kuulub süsteemile, astme suurus aga mitte 🖖

Muuda sisendit ja kogu kõver skaalautub, kuid kell ei liigu paigast. Väärtusega τ = 3 on reaktsioon läbinud 63.21% oma teekonnast kolme sekundi järel — ning see näitab ikka 63.21%, olgu aste 1 või 5 ja võimendus 1 või 4. Vaid τ mõjutab ajastust: suurenda see väärtuseni 10 ja need samad kolm sekundit annavad vaid 25.92%. Seepärast esitataksegi ajakonstant mootori, termomeetri või RC-ahela omadusena, ilma et keegi mainiks, mida sellega tehti. Võimendus ja aste otsustavad, kuhu väljund jõuab; vaid τ määrab, kui kaua sinna jõudmine aega võtab.

Esimene hetk teab juba, kuhu ta lõpuks jõuab 🖖

Vastus lahkub nullpunktist tõusuga K·A/τ. Pikendage seda sirget — ülalolevat oranži katkendjoont — ja see lõikab lõppväärtust täpselt kohas t = τ. Alati: iga võimenduse, iga astme suuruse ja iga ajakonstandi korral, samuti negatiivsete astmete puhul. Nii loetaksegi ajakonstant ostsilloskoobi jäljelt joonlaua abil ja ilma igasuguse arvutuseta: tõmmake alguses puutuja, vaadake, kus ta lõppnivood kohtab, ja lugege aeg maha. Kõver ise pole sel hetkel kaugeltki valmis — ta on läbinud 63,21% —, sest ta on esimesest hetkest saati aeglustunud, ja puutuja on liikumise ainus osa, mis kunagi ei aeglustunud.

Termomeeter, mootor ja kondensaator on üks ja seesama võrrand 🖖

Selle lehe telgedel pole ühikuid, ja see on tahtlik. τ·dy/dt + y = K·A kirjeldab kõike, millel on üks koht millegi hoidmiseks ja üks tee selle kaotamiseks, ning τ on igal juhul hoidla suurus jagatud sellega, kui kiiresti hoidla tühjeneb. Takisti kaudu laadival kondensaatoril on see R·C. Liikuvas õhus termomeetril soojusmahtuvus jagatud soojusülekandeteguri ja pindala korrutisega. Kiirust koguval mootoril inerts jagatud summutusega. Hästi segatud paagil ruumala jagatud vooluhulgaga. Neli eri teadust, üks kõver, üks arv — seepärast saabki juhtimistehnika rääkida „esimest järku viivitusest“, ütlemata kunagi, millest see asi tehtud on.

Ülesanne täielikult lahendatud

63,21% saavutanud väljund ühe ajakonstandi möödumisel astmesisendist 5 sammu
Esimest järku süsteem on ühe ajakonstandi jagu astmelises sisendis ja väljund on jõudnud 63,21%-ni. Näita, et 63,21% — samuti tõusuaeg ja seadumisaeg — ei ole üldse selle süsteemi omadused.
1. Süsteemi määrav võrrand ütleb, et väljund püüdleb sisendi poole kiirusega, mis on võrdeline sellega, kui kaugel see maas on. Selle lahendamine annab eksponentsiaalse lähenemise, kusjuures võimendus ja astme suurus ilmuvad vaid kordajana avaldise ees.
  
  $τ \frac{d y}{d t} + y = K A, y (0) = 0 ⟹ y (t) = K A (1 - e^{- t / τ})$
2. Seega kohas t = τ on saavutatud osakaal 1 − e⁻¹. Võimendus ja aste taanduvad välja: 63,21% on fakt arvu e kohta, mitte selle süsteemi kohta.
  
  $t = τ : \frac{y}{K A} = 1 - e^{- 1} = 0.6321 = 63.21%$
3. Sama taandumine annab tõusuaja. Pööra reaktsioon ümber ajahetke jaoks mis tahes osakaalu juures, seejärel lahuta 10% ja 90% ajad. Vahe on τ ln 9, ja ln 9 = 2,197 on puhtalt arvuline konstant.
  
  $t_{p} = - τ ln (1 - p) : t_{r} = t_{90} - t_{10} = τ ln 9 = 2.197 τ$
4. Seadumine 2% piiridesse küsib, millal järelejäänud eksponent langeb väärtuseni 0,02, mis on τ ln 50 = 3,912τ. Jällegi ei ole mängus võimendust ega astme suurust.
  
  $1 - e^{- t / τ} = 0.98 ⟹ t_{s} = τ ln 50 = 3.912 τ$
5. Mis tähendab, et kogu asi toimib ka vastupidi. Mõõda tegelikul riistvaral tõusuaeg ja τ = tᵣ/2,197 — üks stopperinäit iseloomustab dünaamikat täielikult.
  
  $2 τ : 86.47%, 3 τ : 95.02%, 5 τ : 99.33% τ = \frac{t _{r}}{2.197}$
Vastus

Tööriist kuvab 0,6321, 63,21%, tõusuajaks 2,197 ja seadumisajaks 3,912. Igaüks neist on τ korrutatud konstandiga, mis pärineb arvust e, ning mitte ükski neist ei sõltu võimendusest ega astmest. Klõpsa kordamööda eelseadistusi kiire ja aeglane ning näed lahknemist: väljund, stabiilse oleku väärtus ja 63,21% ei liigu üldse, kui samal ajal iga aeg paneelil korrutub täpselt kümnega — 2,197-st saab 21,972 ja 3,912-st saab 39,120. Maailmas on vaid üks esimest järku astereaktsioon ning τ määrab pelgalt selle, kui kiiresti sa seda jälgid. Kahe ajakonstandiga jõutakse 86,47%-ni, kolmega 95,02%-ni, viiega 99,33%-ni — kust ongi pärit inseneriteaduse reegel „viis ajakonstanti ja see on seadunud“.

$y = K A (1 - e^{- t / τ}) : 0.6321, ln 9, ln 50 are constants, not settings$

Õpitee

Takistus, seejärel reaktiivtakistus

Viib edasi RLC-resonants

Allikad (1)

The standard treatment of the first-order lag, including the rise and settling times this page reports and why they are pure multiples of τ: K. J. Åström & R. M. Murray, Feedback Systems: An Introduction for Scientists and Engineers. Princeton University Press, 2008.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-05-21

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Füüsika õppetunnid →

Näiteülesanded

kiire vastus - τ = 1, loetuna hetkel t = 1 → 63.21% teest püsiseisundi väärtuseni 1
aeglane vastus - τ = 10, loetuna hetkel t = 10 → jälle 63.21%: kümme korda aeglasem, sama edenemine, sest kell käib τ ühikutes
neli ajakonstanti - τ = 1, loetuna hetkel t = 4 → 98,17%, mida tavaliselt loetakse „valmis“
kahekordne võimendus - K = 2 nihutab sihi väärtusele 2 ja t = 5 korral, kui τ = 3, jõuab see 1.6222 juurde — 81.11% teest
negatiivne aste - aste −1 viib väljundi hetkel t = τ väärtusele −0,6321 — seesama 63,21% ümberpööratud teekonnast