Osaarvud

Igal ratsionaalfunktsioonil on algfunktsioon, mis koosneb ratsionaalosast, logaritmidest ja arkustangensidest, kui vaid nimetaja on tegurdatud. Uuri esmalt üht näidislahendust ja seejärel sisesta oma vastused. See leht leiab sinu sisestatud avaldisest tuletise ja näitab täpselt, kus see integreeritavast funktsioonist erineb.

Iga lineaartegur	$\int \frac{A d x}{x - a} = A ln ∣ x - a ∣ + C$
Iga ruuttegur	$\int \frac{d x}{( x - h ) ^{2} + k ^{2}} = \frac{1}{k} arctan \frac{x - h}{k} + C$
Selle kordaja lihtjuure a korral	$A = \frac{P ( a )}{Q ^{'} ( a )}$

Näidisarvutus — Osaarvud

(x − 2) kordaja	3
f reaalpoolused lõigul [−5, 5]	2
Sõltumatud integreerimiskonstandid	3
Logaritmid (c on negatiivne)	−1/x (c = 0)

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Osaarvud

Osamurdudeks lahutamine tähendab ratsionaalfunktsiooni P(x)/Q(x) (kus P aste on madalam kui Q) esitamist lihtsamate murdude summana. Iga Q teguri jaoks reaalarvude hulgas tekib oma rühm: murd A/(x − a)^k lineaarteguri iga astme jaoks kuni selle kordsuseni ja (Bx + C)/(x² + px + q)^k reaalarvuliste juurteta ruutteguri iga astme jaoks. Kui P aste ei ole madalam, jaga esmalt. Iga osamurd integreerub ratsionaalfunktsiooniks, logaritmiks või arkustangensiks.

Mida iga sümbol tähendab

P/Q: integreeritav funktsioon, lugeja jagatud nimetajaga. Q reaaljuured on funktsiooni f poolused
C: integreerimiskonstant, mis võib igal poolustevahelisel vahemikul olla erinev

Kust valem tuleb

Lihtne tegur: kata kinni. Korruta samasust teguriga x − a ning võta x = a. Kõik teised murrud kaovad ja A on P(a) jagatuna nimetaja ülejäänud osaga kohal a.
$\frac{P ( x )}{( x - a ) R ( x )} = \frac{A}{x - a} + \dots \Rightarrow A = \frac{P ( a )}{R ( a )}$
Kordne tegur vajab ühte murdu iga astme kohta. Teguri (x − a)² korral kirjuta A/(x − a) + B/(x − a)². Kinnikatmine annab B; kordaja A leidmiseks võrdle x-i ühe astme kordajaid või vali x-ile mis tahes teine väärtus.
$\frac{P ( x )}{( x - a ) ^{2} R ( x )} = \frac{A}{x - a} + \frac{B}{( x - a ) ^{2}} + \dots, B = \frac{P ( a )}{R ( a )}$
Reaaljuurteta ruuttegur. Jaota selle lugeja ruutteguri tuletise kordseks ja konstandiks. Esimene osa integreerub logaritmiks; teine annab pärast täisruudu eraldamist arkustangensi.
$\frac{B x + C}{x ^{2} + p x + q} = \frac{B}{2} \cdot \frac{2 x + p}{x ^{2} + p x + q} + \frac{C - \frac{B p}{2}}{( x + \frac{p}{2} ) ^{2} + q - \frac{p ^{2}}{4}}$

Ei kehti, kui: Lahutamine vajab polünoomi Q juuri. Neljandast astmest kõrgemate puhul ei pruugi nende jaoks aga juurvalemit eksisteerida. Kordajad on endiselt täpsed arvud, kuid needki võivad olla juurtega väljendamatud. Näiteks ülesande x⁵ − x − 1 puhul on esimene kordaja täpselt 1/(5r⁴ − 1), kus r on reaaljuur. Nii nagu ka r, pole see juurtega esitatav. See leht töötab nende arvuliste lähenditega. Vastuse ratsionaalosa ei vaja aga kunagi juuri: Charles Hermite näitas, et selle leiab pelgalt polünoomide aritmeetika abil, ja Hardy §4 kirjeldab seda meetodit.

Ülesanded täielikult lahendatud

Kaks lineaartegurit: varjamismeetod 3 sammu
Leia ∫(x + 7)/((x − 1)(x + 3)) dx.
1. Kummalegi lineaartegurile oma osamurd:
  
  $\frac{x + 7}{( x - 1 ) ( x + 3 )} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 3}$
2. Kata kordamööda kumbki tegur kinni ja asenda sellesse tema nullkoht:
  
  $x = 1 : A = \frac{8}{4} = 2; x = - 3 : B = \frac{4}{- 4} = - 1$
3. Kumbki osamurd integreerub logaritmiks:
  
  $\int (\frac{2}{x - 1} - \frac{1}{x + 3}) d x = 2 ln ∣ x - 1∣ - ln ∣ x + 3∣ + C$
Vastus

2 ln|x − 1| − ln|x + 3| + C. Kaks rida rehkendust ja ei mingit võrrandisüsteemi. Varjamismeetod toimib, sest korrutades läbi teguriga x − 1 ning võttes x = 1, muutuvad kõik teised murrud nulliks.

$\int \frac{x + 7}{( x - 1 ) ( x + 3 )} d x = 2 ln ∣ x - 1∣ - ln ∣ x + 3∣ + C$
Kordne tegur 3 sammu
Leia ∫dx/(x²(x + 1)).
Näita lahendust
1. x² on kordne tegur, mistõttu läheb vaja kahte murdu: ühte x ja teist x² jaoks:
  
  $\frac{1}{x ^{2} ( x + 1 )} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x ^{2}} + \frac{C}{x + 1}$
2. Varjamisega saame kordajad B ja C; x² kordaja määrab A:
  
  $x = 0 : B = 1; x = - 1 : C = 1; x^{2} : A + C = 0 \Rightarrow A = - 1$
3. Integreeri iga liige. B/x² on aste, mitte logaritm:
  
  $\int (- \frac{1}{x} + \frac{1}{x ^{2}} + \frac{1}{x + 1}) d x = - ln ∣ x ∣ - \frac{1}{x} + ln ∣ x + 1∣ + C$
Vastus

ln|(x + 1)/x| − 1/x + C. Eksitav on piirduda murdudega B/x² ja C/(x + 1): kaks murdu ei saa kokku anda esialgset avaldist ja kordajate võrdlemisel poleks lahendit.

$\int \frac{d x}{x ^{2} ( x + 1 )} = ln \frac{x + 1}{x} - \frac{1}{x} + C$
Reaaljuurteta ruuttegur 2 sammu
Leia ∫(3x + 1)/(x² + 1) dx.
Näita lahendust
1. Avaldis x² + 1 ei tegurdu, seega jaotame lugeja nimetaja tuletise 2x kordseks ja konstandiks:
  
  $\frac{3 x + 1}{x ^{2} + 1} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{x ^{2} + 1} + \frac{1}{x ^{2} + 1}$
2. Esimene osa on kujul f′/f, teine annab arkustangensi:
  
  $\int \frac{2 x}{x ^{2} + 1} d x = ln (x^{2} + 1), \int \frac{d x}{x ^{2} + 1} = arctan x$
Vastus

(3/2) ln(x² + 1) + arctan x + C. Logaritm ei vaja moodulimärke, sest x² + 1 pole kunagi negatiivne.

$\int \frac{3 x + 1}{x ^{2} + 1} d x = \frac{3}{2} ln (x^{2} + 1) + arctan x + C$
Lineaarteguri ja ruutteguri korrutis 3 sammu
Leia ∫dx/(x(x² + 1)).
Näita lahendust
1. Ruutteguri lugejaks tuleb lineaarne avaldis Bx + C:
  
  $\frac{1}{x ( x ^{2} + 1 )} = \frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x ^{2} + 1}$
2. Varjamisega saame A; ülejäänud liikmete võrdsustamine määrab B ja C:
  
  $x = 0 : A = 1; 1 = (x^{2} + 1) + (B x + C) x \Rightarrow B = - 1, C = 0$
3. Üks logaritm ning ruutteguri logaritm:
  
  $\int (\frac{1}{x} - \frac{x}{x ^{2} + 1}) d x = ln ∣ x ∣ - \frac{1}{2} ln (x^{2} + 1) + C$
Vastus

ln|x| − ½ ln(x² + 1) + C. Ainult konstandist nimetaja x² + 1 kohal ei piisa: ruutteguri lugeja võib alati olla lineaarne.

$\int \frac{d x}{x ( x ^{2} + 1 )} = ln ∣ x ∣ - \frac{1}{2} ln (x^{2} + 1) + C$
Liigmurd: esmalt jagame 3 sammu
Leia ∫(x³ + x)/(x − 1) dx.
Näita lahendust
1. Lugeja aste on kõrgem, seega jagame esmalt läbi:
  
  $x^{3} + x = (x - 1) (x^{2} + x + 2) + 2$
2. Hulkliige ja lihtmurd:
  
  $\frac{x ^{3} + x}{x - 1} = x^{2} + x + 2 + \frac{2}{x - 1}$
3. Integreerime liikmeti:
  
  $\int (x^{2} + x + 2 + \frac{2}{x - 1}) d x = \frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{2}}{2} + 2 x + 2 ln ∣ x - 1∣ + C$
Vastus

x³/3 + x²/2 + 2x + 2 ln|x − 1| + C. Osamurdudeks saab lahutada alles siis, kui lugeja aste on nimetaja omast madalam.

$\int \frac{x ^{3} + x}{x - 1} d x = \frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{2}}{2} + 2 x + 2 ln ∣ x - 1∣ + C$
Täisruudu eraldamine 2 sammu
Leia ∫dx/(x² + 4x + 13).
Näita lahendust
1. Diskriminant on 16 − 52 < 0, seega reaaljuured puuduvad. Eraldame täisruudu:
  
  $x^{2} + 4 x + 13 = (x + 2)^{2} + 9 = (x + 2)^{2} + 3^{2}$
2. See on arkustangensi kuju, kus h = −2 ja k = 3:
  
  $\int \frac{d x}{( x + 2 ) ^{2} + 3 ^{2}} = \frac{1}{3} arctan \frac{x + 2}{3} + C$
Vastus

(1/3) arctan((x + 2)/3) + C. Kordaja 1/3 unustamine on tavaline komistuskivi: arctan((x + 2)/3) tuletis on 3/(x² + 4x + 13) ehk kolmekordne integreeritav funktsioon.

$\int \frac{d x}{x ^{2} + 4 x + 13} = \frac{1}{3} arctan \frac{x + 2}{3} + C$
Määratud integraal pooluste vahel 2 sammu
Arvuta ∫₀¹ dx/(x² − 4).
Näita lahendust
1. x² − 4 = (x − 2)(x + 2) ning katmismeetod annab ±1/4:
  
  $\frac{1}{x ^{2} - 4} = \frac{1}{4} (\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2})$
2. Mõlemad poolused (±2) jäävad väljapoole lõiku [0, 1], seega tohib valemit rajade vahel kasutada:
  
  $\int_{0}^{1} \frac{d x}{x ^{2} - 4} = \frac{1}{4} [ln \frac{x - 2}{x + 2}]_{0}^{1} = \frac{1}{4} (ln \frac{1}{3} - ln 1)$
Vastus

−(ln 3)/4 ≈ −0,2747. Tulemus on negatiivne, sest 1/(x² − 4) jääb lõigul [0, 1] alla nulli. Kui lõik sisaldaks poolust, annaks sama lahutustehe arvu integraalile, mida pole olemas. Just selle eest hoiatab integreerimiskonstantide selgitusplokk.

$\int_{0}^{1} \frac{d x}{x ^{2} - 4} = - \frac{ln 3}{4} \approx - 0.2747$
∫ dx/(x⁴ + 1): reaalsed juured puuduvad, kaks reaalset ruutpolünoomi 5 sammu
Leia ∫₀^∞ dx/(x⁴ + 1). Nimetajal puuduvad reaalsed juured, seega pole seal pooluseid ega lineaartegureid. Ükski selle lehe ülesanne ei näe selle moodi välja. Vajuta nuppu Arkustangens, et näha sobivat lahendusvõtet.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Polünoomil x⁴ + 1 puuduvad reaalsed juured. Kui aga liita ja lahutada 2x², tekib kahe ruudu vahe. Nii jaotub see kaheks reaalseks ruutpolünoomiks:
  
  $x^{4} + 1 = (x^{2} + 1)^{2} - 2 x^{2} = (x^{2} + 2 x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)$
2. Kummalgi ruutpolünoomil pole reaalseid juuri (mõlemad diskriminandid on 2 − 4 = −2), seega saab kumbki lineaaravaldise kujulise lugeja. Kordajate võrdlemine annab:
  
  $\frac{1}{x ^{4} + 1} = \frac{\frac{x}{2 2} + \frac{1}{2}}{x ^{2} + 2 x + 1} + \frac{- \frac{x}{2 2} + \frac{1}{2}}{x ^{2} - 2 x + 1}$
3. Iga ruutmurru saab jaotada kaheks: üks on nimetaja tuletise kordne ja annab logaritmi. Teine on konstant täisruudu kohal, millest tekib arkustangens:
  
  $\frac{\frac{x}{2 2} + \frac{1}{2}}{x ^{2} + 2 x + 1} = \frac{1}{4 2} \cdot \frac{2 x + 2}{x ^{2} + 2 x + 1} + \frac{\frac{1}{4}}{( x + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{1}{2}}$
4. Seega on kogu arvsirgel kehtiv algfunktsioon:
  
  $F (x) = \frac{1}{4 2} ln \frac{x ^{2} + 2 x + 1}{x ^{2} - 2 x + 1} + \frac{1}{2 2} (arctan (2 x + 1) + arctan (2 x - 1))$
5. Kohal x = 0 on logaritm ln 1 = 0 ja arkustangensid taandavad üksteist. Kui x kasvab, läheneb logaritm taas väärtusele ln 1 = 0 ja kumbki arkustangens väärtusele π/2:
  
  $\int_{0}^{\infty} \frac{d x}{x ^{4} + 1} = \frac{1}{2 2} (\frac{π}{2} + \frac{π}{2}) - 0 = \frac{π}{2 2} = 1.1107$
Vastus

π/(2√2) ≈ 1,1107. Selle lehe uurija peatub avaldisel x² + c. Ilma reaalsete juurteta neljanda astme polünoomi puhul tuleb teha samu kahte sammu – leida logaritm ja arkustangens –, kuid kaks korda järjest ja nii, et iga kordaja sisaldab tegurit √2.

$\int_{0}^{\infty} \frac{d x}{x ^{4} + 1} = \frac{π}{2 2} \approx 1.1107$

Arkustangens on logaritm, mille juured muutusid kompleksseks 🖖

Vajuta nuppu Kaks logaritmi ja vaata harjutuste all olevat uurijat. Kui c = −1, on integreeritav funktsioon 1/(x² − 1). Selle nimetajal on reaalsed juured ±1, mistõttu jaotub see kaheks osamurruks ja integreerub logaritmideks: pindala vahemikus 2 kuni 3 on ½ ln(3/2) = 0,2027. Vajuta nuppu Arkustangens. Kui c = 1, puuduvad nimetajal x² + 1 reaalsed juured, miski ei jagune reaalarvude hulgas ning vastus on arctan 3 − arctan 2 = 0,1419. Nüüd liiguta c väärtust läbi nulli. Valem muutub kaks korda: logaritmidest saab täpselt kohal c = 0 valem −1/x, kus pindala on 1/6 = 0,1667, ning seejärel arkustangens. Paremal olev kõver aga ei muutu – seal pole hüppeid ega murdekohti. Need on üks ja seesama funktsioon, mis on kirja pandud kolmel erineval viisil. Luba kompleksarvud ja x² + 1 = (x − i)(x + i) jaotub osadeks nagu iga teine ruutpolünoom. Arkustangens on seega samuti logaritm. Brian Conradi märkmed Liouville'i teoreemi kohta tõestavad tuletise abil, et 2i·arctan x koos konstandiga on logaritm avaldisest (x − i)/(x + i). „Logaritmid ja arkustangensid“ on see, kuidas reaalarvud ütlevad „logaritmid“.

Ühest +C konstandist ei piisa 🖖

Vajuta Kaks poolust ja seejärel Näita üht vastust. Leht kirjutab funktsioonile f = 9/((x − 2)(x + 1)) vastuseks 3 ln|x − 2| − 3 ln|x + 1|. Nüüd vajuta Nihuta konstante. Poolused kohal −1 ja 2 jaotavad arvtelje kolmeks vahemikuks ning leht lisab neist igaühele erineva konstandi. Seejärel joonistab ta uued harud vanade peale ja küsib uuesti kontrollija arvamust. Vastus on endiselt õige: igas vahemikus on konstandi tuletis null ja miski ei seo üht vahemikku teisega. Siinsel üldisel algfunktsioonil on kolm sõltumatut konstanti. Tähistus „+ C“ märgib vaid seda osa, kus nad kõik on võrdsed. Loe kokku reaalsed poolused ja liida üks. Igasugune hüpe mujal on vale ja seda ütleb ka kontrollija. Lisa vastusele + sign(x), mis teeb hüppe kohal 0, kus f on tegelikult sile, ja see lükatakse tagasi. Siin maksavadki konstandid kätte. Funktsiooni f integraali 0-st 3-ni pole olemas, sest lõik läbib poolust kohal 2, kuid valemi väärtuste lahutamine punktides 0 ja 3 annab täiesti enesekindla arvu, −3 ln 8.

Teoreem lubab vastuse kuju, mitte arvude valemit 🖖

Vajuta nuppu x⁵ − x − 1. Reaalarvude vallas saab iga polünoomi tegurdada lineaar- ja ruutosadeks, seega integreerub iga ratsionaalfunktsioon ratsionaalosaks, logaritmideks ja arkustangensiteks. Ka see siin: logaritm reaaljuure jaoks väärtuse 1,1673 lähedal ning iga kompleksse paari jaoks ruutpolünoomi logaritm ja arkustangens. Uuri näidislahendust, et näha kõiki viit liidetavat. Mida teoreem aga ei paku, on valem juurte jaoks, ja selle nimetaja puhul seda ei eksisteerigi. Mooduli 5 järgi see üldse ei tegurdu ja mooduli 2 järgi on tegurduvuseks (x² + x + 1)(x³ + x² + 1). Need koos sunnivad Galois' rühmaks S₅, mistõttu ei saa ühtegi juurt kirja panna tehete +, −, ×, ÷ ja juurte abil. Seepärast leiab programm juured arvutuslikult, umbes viieteistkümne tüvenumbri täpsusega, ja kontrollija aktsepteerib neist koostatud algfunktsiooni. Kui aga kopeerida viimase sammu neljakohalised kordajad vastusekasti, lükkab kontrollija need tagasi, sest see nõuab täpsust vähemalt üks miljondik. G. H. Hardy ütles seda selgelt aastal 1916: juuri „ei saa reeglina määrata ühelgi ilmutatud kujul. Osamurdude meetod on seetõttu tõsiselt piiratud.“

Õpitee

Integreerimismeetodid

Allikad (3)

The integral of a rational function as a rational part plus Σ A log(x − a), with the coefficient over a simple root a given by P(a)/Q′(a) (§1, pp. 12–13), and the page's third claim in his words: “The roots of Q(x) = 0 are not in general explicit algebraical functions of the coefficients, and cannot as a rule be determined in any explicit form. The method of partial fractions is therefore subject to serious limitations” (§3, p. 15). §4 credits Hermite with finding the rational part without the roots: G. H. Hardy, The Integration of Functions of a Single Variable, 2nd ed., Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics no. 2, Cambridge University Press (1916), Chapter IV, §§1–4.
The arctangent as a logarithm: Example 2.1 (p. 4) checks by differentiation that 2i tan⁻¹(x), plus a constant, is a logarithm of the non-vanishing function (x − i)/(x + i), and why that matters: allowing only real exponentials and logarithms, 1/(1 + x²) would not be elementarily integrable at all (p. 7): B. Conrad, “Impossibility theorems for elementary integration”, Clay Mathematics Institute Academy Colloquium lecture notes (2005), §2, Example 2.1, and §3, p. 7.
Why x⁵ − x − 1 has Galois group S₅: Dedekind's theorem turns a factorisation mod p into distinct irreducibles of degrees d₁, …, dₘ into a permutation of cycle type (d₁, …, dₘ) in the Galois group, and Theorem 2.1 says “a transitive subgroup of Sₙ that contains a transposition and a p-cycle for some prime p > n/2 is Sₙ”. The page supplies the factorisations (irreducible mod 5; (x² + x + 1)(x³ + x² + 1) mod 2) and its check verifies them: K. Conrad, “Recognizing Galois groups Sₙ and Aₙ”, expository note, University of Connecticut, §1 and Theorem 2.1.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.