Kahekordsed integraalid polaarkoordinaatides

Lõika piirkond tükkideks ringjoontega, mille keskpunkt on alguspunktis, ja sealt lähtuvate kiirtega. Iga lahter on siis rõngatükk ja selle pindala on keskmine raadius korda Δr korda Δθ. See keskmine raadius ongi r avaldises r dr dθ. Märgi lahter ükskõik kummal joonisel ja võrdle selle pindala kahes tasandis.

Kahekordne integraal polaarkoordinaatides	$\iint_{R} f d A = \int_{α}^{β} \int_{r_{1} (θ)}^{r_{2} (θ)} f r d r d θ$
Gaussi integraal	$\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = π$

Näidisarvutus — Kahekordsed integraalid polaarkoordinaatides

Märgitud lahter rθ-tasandil	0,1745
Märgitud lahter xy-tasandil	0,16
Kahekordne integraal	3,1416
Sama ilma r-ita (vale)	6,2832

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Kahekordsed integraalid polaarkoordinaatides

Kahekordne integraal polaarkoordinaatides integreerib üle piirkonna, mida kirjeldavad nurk θ ja kaugus r alguspunktist, ning pindalaelement on dA = r dr dθ.

Mida iga sümbol tähendab

r, θ: kaugus alguspunktist ja nurk positiivsest x-teljest: x = r cos θ, y = r sin θ
r̄, Δr, Δθ: lahtri keskmine raadius, selle laius r-i suunas ja laius θ suunas

Kust valem tuleb

Lõika piirkond polaarlahtriteks. Lahter raadiuste r₁ ja r₂ ning nurkade θ ja θ + Δθ vahel on kahe sektori vahe ja selle pindala lahutub teguriteks: keskmine raadius korda Δr korda Δθ.
$Δ A = \frac{1}{2} (r_{2}^{2} - r_{1}^{2}) Δ θ = \frac{r _{1} + r _{2}}{2} (r_{2} - r_{1}) Δ θ = \overset{r}{ˉ} Δ r Δ θ$
Summeeri ja mine üle piirväärtusele. Kui korrutada f väärtus igas lahtris lahtri pindalaga ja need kokku liita, läheneb summa korduvintegraalile, milles r̄-st on saanud r. r-i rajad võivad sõltuda θ-st.
$\iint_{R} f d A x = \int_{α}^{β} \int_{r_{1} (θ)}^{r_{2} (θ)} f r d r d θ, = r cos θ, y = r sin θ$
Tõsta Gaussi integraal ruutu. Kahe ühe muutuja integraali korrutis on kahekordne integraal üle tasandi ja polaarkujul annab r funktsioonile e^(−r²) valemiga algfunktsiooni.
$I^{2} I = \iint_{R^{2}} e^{- (x^{2} + y^{2})} d A = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\infty} e^{- r^{2}} r d r d θ = 2 π [- \frac{1}{2} e^{- r^{2}}]_{0}^{\infty} = π = \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = π$

Eeldab: Piirkonnas muutub θ kahe nurga vahel ja igal kiirel r kahe kõvera vahel, r₁(θ) ≤ r₂(θ). Integraal üle kogu tasandi on päratu; kasvavad ringid ja kasvavad ruudud annavad sama π, sest iga ruut jääb kahe ringi vahele.

Ülesanded täielikult lahendatud

Ringi pindala 2 sammu
Leia raadiusega R ringi pindala kahekordse integraalina polaarkoordinaatides ja vaata, mis tuleb välja, kui r unustada.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Ring on 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ θ ≤ 2π ja dA = r dr dθ:
  
  $A = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{R} r d r d θ = \int_{0}^{2 π} \frac{R ^{2}}{2} d θ = π R^{2}$
2. Ilma r-ita:
  
  $\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{R} d r d θ = 2 π R$
Vastus

πR², mis R = 1 korral on 3,1416. Ilma r-ita 2πR ehk ringjoone pikkus, mis on pikkus, mitte pindala.

$A = π R^{2}, R = 1 : A \approx 3.1416$
Kardioidi sees 2 sammu
Leia kardioidi r = 1 + cos θ sisse jääv pindala.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Iga θ korral lõigust [0, 2π] muutub r 0-st kuni 1 + cos θ-ni ja sisemine integraal on pool selle raja ruudust:
  
  $A = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1 + c o s θ} r d r d θ = \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} (1 + cos θ)^{2} d θ$
2. Täispöörde ulatuses on cos θ integraal 0 ja cos² θ integraal π:
  
  $A = \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} (1 + 2 cos θ + cos^{2} θ) d θ = \frac{1}{2} (2 π + 0 + π) = \frac{3 π}{2}$
Vastus

3π/2 ≈ 4,7124.

$A = \frac{3 π}{2} \approx 4.7124$
Ristkoordinaatidest polaarkoordinaatidesse 2 sammu
Arvuta ∫₀¹ ∫₀^√(1−x²) (x² + y²) dy dx.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. y muutub 0-st ringjooneni x² + y² = 1 ja x 0-st 1-ni: see on ühikringi veerand esimeses koordinaatveerandis ehk 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ π/2. Ning x² + y² = r²:
  
  $\int_{0}^{1} \int_{0}^{1 - x^{2}} (x^{2} + y^{2}) d y d x = \int_{0}^{π /2} \int_{0}^{1} r^{2} \cdot r d r d θ$
2. Integreeri:
  
  $\int_{0}^{π /2} [\frac{r ^{4}}{4}]_{0}^{1} d θ = \int_{0}^{π /2} \frac{1}{4} d θ = \frac{π}{8}$
Vastus

π/8 ≈ 0,3927.

$\frac{π}{8} \approx 0.3927$
Ring, mille keskpunkt pole alguspunktis 3 sammu
Leia ∬ x dA üle ringi x² + y² ≤ 2x ja selle abil ringi raskuskeskme x-koordinaat.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Polaarkoordinaatides on serv r² = 2r cos θ, seega r = 2 cos θ, ja tingimus r ≥ 0 nõuab, et cos θ ≥ 0. θ muutub −π/2-st π/2-ni, mis teeb ümber ringjoone ühe tiiru; täispööre läbiks ringjoone kaks korda ja kahekordistaks vastuse.
  
  $x^{2} + y^{2} \leq 2 x ⟺ r \leq 2 cos θ, - \frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{π}{2}$
2. Kui x = r cos θ:
  
  $\iint x d A = \int_{- π /2}^{π /2} \int_{0}^{2 c o s θ} r cos θ \cdot r d r d θ = \int_{- π /2}^{π /2} \frac{8}{3} cos^{4} θ d θ = \frac{8}{3} \cdot \frac{3 π}{8} = π$
3. Ringi raadius on 1 ja pindala π:
  
  $\overset{x}{ˉ} = \frac{\iint x d A}{A} = \frac{π}{π} = 1$
Vastus

∬ x dA = π ≈ 3,1416, seega on raskuskese punktis x = 1, ringi keskpunktis.

$\iint x d A = π \approx 3.1416, \overset{x}{ˉ} = 1$
Kera ruumala 2 sammu
Leia raadiusega R kera ruumala kahekordse integraalina polaarkoordinaatides.
Näita lahendust
1. Ülemine pool on pinna z = √(R² − x² − y²) alune ruumala üle ringi r ≤ R:
  
  $V = 2 \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{R} R^{2} - r^{2} r d r d θ$
2. Asenda u = R² − r², siis du = −2r dr; asendus õnnestub just tänu pindalaelemendist tulnud r-ile:
  
  $V = 2 \cdot 2 π \int_{0}^{R^{2}} \frac{1}{2} u d u = 2 π \cdot \frac{2}{3} R^{3} = \frac{4 π R ^{3}}{3}$
Vastus

4πR³/3, sama ruumala, mis peatükis varem lõigete abil saadi.

$V = \frac{4 π R ^{3}}{3}$
Gaussi funktsioon ringil 2 sammu
Arvuta ∬ e^(−(x²+y²)) dA üle raadiusega R ringi ja leia selle piirväärtus, kui R → ∞.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Polaarkujul on integreeritav funktsioon e^(−r²) ja selle kõrval olev r annab valemiga algfunktsiooni:
  
  $\int_{0}^{R} e^{- r^{2}} r d r = [- \frac{1}{2} e^{- r^{2}}]_{0}^{R} = \frac{1}{2} (1 - e^{- R^{2}})$
2. Integreerimine θ järgi korrutab 2π-ga:
  
  $\int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} (1 - e^{- R^{2}}) d θ = π (1 - e^{- R^{2}})$
Vastus

π(1 − e^(−R²)), mis R = 2 korral on 3,0841 ja läheneb π-le.

$π (1 - e^{- R^{2}}) R \to \infty π, R = 2 : \approx 3.0841$
∫e^(−x²) dx = √π 3 sammu
Näita, et funktsiooni e^(−x²) integraal üle kogu arvtelje on √π.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Olgu I(b) integraal rajades −b kuni b. Selle ruut on kahekordne integraal üle ruudu |x|, |y| ≤ b:
  
  $I (b)^{2} = \int_{- b}^{b} e^{- x^{2}} d x \int_{- b}^{b} e^{- y^{2}} d y = \iint_{∣ x ∣, ∣ y ∣ \leq b} e^{- (x^{2} + y^{2})} d A$
2. Ruut sisaldab raadiusega b ringi ja jääb raadiusega b√2 ringi sisse. Integreeritav funktsioon on positiivne, nii et ülesande 6 põhjal:
  
  $π (1 - e^{- b^{2}}) \leq I (b)^{2} \leq π (1 - e^{- 2 b^{2}})$
3. Mõlemad tõkked lähenevad π-le, kui b → ∞, seega ka I(b)², ning I(b) on positiivne:
  
  $\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = b \to \infty lim I (b) = π$
Vastus

√π ≈ 1,7725. Kui b = 2, on tõkked 3,0841 ja 3,1405 ning I(2)² ≈ 3,1123 jääb nende vahele.

$\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = π \approx 1.7725$
Normaaljaotuse konstant 2 sammu
Leia funktsiooni e^(−x²/2) integraal üle kogu arvtelje ja selgita tegurit 1/√(2π) standardse normaaljaotuse tihedusfunktsioonis.
Näita lahendust
1. Asenda x = √2 u, siis dx = √2 du:
  
  $\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2} /2} d x = 2 \int_{- \infty}^{\infty} e^{- u^{2}} d u = 2 \cdot π = 2 π$
2. Jaga √(2π)-ga ja kogupindala on 1:
  
  $\int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{2 π} e^{- x^{2} /2} d x = \frac{2 π}{2 π} = 1$
Vastus

√(2π). Seega on funktsiooni (1/√(2π)) e^(−x²/2) graafiku alune kogupindala 1, nagu tõenäosustihedusel peab olema.

$\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2} /2} d x = 2 π$

Jäta r ära, ja ringi pindalaks tuleb ringjoone pikkus 🖖

Vajuta Ühikring. Koos r-iga on integraal π ≈ 3,1416, ilma selleta annavad samad rajad 2π ≈ 6,2832 ehk ringjoone pikkuse, aga pikkus pole pindala. ∫∫ dr dθ mõõdab ristkülikut 1 korda 2π, milleks ring rθ-tasandil muutub. Seal on igal lahtril sama pindala Δr Δθ, ringis aga on keskpunkti lähedal lahtrid kitsad killud ja serva ääres laiad. Raadiuste r₁ ja r₂ vaheline lahter on kahe sektori vahe, ½(r₂² − r₁²)Δθ, mis teguriteks lahutatult on ½(r₁ + r₂) · (r₂ − r₁) · Δθ: keskmine raadius korda Δr korda Δθ, täpselt. Märgi üks lahter serva ääres ja siis üks keskel ning võrdle tulemuste kaht lahtririda. Kuna midagi ei lähendatud, näitab summa üle võrgu selle ringi puhul π-d isegi siis, kui n = 1 ehk lahtreid on ainult üks.

Just see r, mis kipub ununema, teeb ∫e^(−x²) dx arvutatavaks 🖖

Funktsioonil e^(−x²) pole elementaarset algfunktsiooni, sellist, mille saaks kokku panna astmetest, juurtest, eksponent- ja logaritmfunktsioonidest ning trigonomeetrilistest funktsioonidest. Selle tõestas Liouville 1830. aastatel ja mitteelementaarsete integraalide leht rakendab tema tunnust. Kogu arvteljel on integraal sellegipoolest täpselt √π. Tähistame selle I-ga. Siis I² on ∫e^(−x²) dx korda ∫e^(−y²) dy ehk funktsiooni e^(−(x²+y²)) integraal üle kogu tasandi, ja polaarkoordinaatides ilmub integreeritava funktsiooni e^(−r²) kõrvale r. Funktsioonil r e^(−r²) on algfunktsioon olemas: −½e^(−r²). Sisemine integraal on seega ½, θ järgi integreerimine korrutab selle 2π-ga ja I² = π. Vajuta Gaussi funktsioon ringil: sisemise integraali rida näitab just selle nurksulgudes avaldise väärtust. Silvanus Thompsoni Kelvini-elulugu (1910) jutustab, kuidas Kelvin kirjutas kord selle tulemuse tahvlile ja ütles oma üliõpilastele: „Matemaatik on see, kellele on see sama ilmne kui teile, et kaks korda kaks on neli. Liouville oli matemaatik.“

Kogu tasand on ruutude piirväärtus, ja ringid annavad ikkagi õige vastuse 🖖

I² defineeriti ruutude |x|, |y| ≤ b kaudu, aga arvutati ringidel. Vajuta Gaussi funktsioon ruudul. Ruut sisaldab raadiusega b ringi ja mahub ise raadiusega b√2 ringi sisse ning e^(−(x²+y²)) on positiivne, nii et integraal üle ruudu jääb π(1 − e^(−b²)) ja π(1 − e^(−2b²)) vahele. Mõlemad tõkked lähenevad π-le, järelikult ka ruudu väärtus. Kui b = 2, on kolm arvu 3,0841, 3,1123 ja 3,1405. Vajuta Gaussi funktsioon, b = 1: 1,9859, 2,231 ja 2,7164, ning siseringist välja jäävad nurgatükid annavad 11% ruudu väärtusest. Seepärast annab see arutlus integraali kogu arvteljel, lõplikul lõigul aga ainult hinnangu: ∫e^(−x²) dx rajades −1 kuni 1 on 1,4936 ja ringid paigutavad selle √1,9859 ≈ 1,4092 ja √2,7164 ≈ 1,6482 vahele.

Õpitee

Integraali rakendused

Allikad (2)

The double integral over a polar region as the iterated integral of f(r, θ) r dr dθ (equation 5.8 and Theorem 5.8), the polar subrectangle's area r*ΔrΔθ with r* the middle radius, and the improper integral of e^(−10(x²+y²)) over the plane in polar coordinates (Example 5.35): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 3, OpenStax (2016), section 5.3, “Double Integrals in Polar Coordinates”.
Insight block 2: Kelvin wrote ∫e^(−x²) dx = √π on the blackboard and told his class “A mathematician is one to whom that is as obvious as that twice two makes four is to you. Liouville was a mathematician.” (vol. 2, chapter XXV, p. 1139, footnote 1): S. P. Thompson, The Life of William Thomson, Baron Kelvin of Largs, vol. 2, Macmillan, London (1910).

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.