Kahe keha kombineerimine

Lõika kahte keha sama horisontaaltasandiga: kehade ühisosa ristlõige on nende ristlõigete ühisosa, ja sama kehtib ühendi ning vahe korral. Iga kombinatsiooni ruumala taandub seega lõikepindalade integraaliks. See leht arvutab tulemuse nelja tuntud kehapaari jaoks, millel kõigil on kuulus lahendus.

Ühend	$V (A \cup B) = V (A) + V (B) - V (A \cap B)$
Kahe ristuva silindri ühisosa	$V = \frac{16 r ^{3}}{3}$
Rõngas kõrgusega h	$V = \frac{π h ^{3}}{6}$

Näidisarvutus — Kahe keha kombineerimine

Keha A ristlõige kõrgusel z	3,4641
Keha B ristlõige kõrgusel z	3,4641
Lõige A ∩ B kõrgusel z	3
Kombinatsiooni lõige z-l	3
Keha A ruumala	6,2832
Keha B ruumala	6,2832
Ühisosa A ∩ B ruumala	5,3333
Kombinatsiooni ruumala	5,3333

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Kahe keha kombineerimine

Kahe keha kombinatsiooni ruumala (olgu tegemist ühisosa A ∩ B, ühendi A ∪ B või vahega A ∖ B) on selle ristlõigete pindalade integraal, kusjuures igal kõrgusel saadakse kombinatsiooni ristlõige algsete kehade ristlõigete samast tehtest.

Mida iga sümbol tähendab

A(z), B(z): kehade ristlõigete pindalad kõrgusel z
S(z): kombinatsiooni ristlõike pindala kõrgusel z

Kust valem tuleb

Lõika mõlemat keha samal kõrgusel. Punkt kõrgusel z kuulub hulka A ∩ B parajasti siis, kui see asub mõlemas ristlõikes; seega on ühisosa ristlõige nende ristlõigete ühisosa. Ühendi ristlõikes võetakse ühine osa arvesse üks kord.
$(A \cap B)_{z} S_{A \cup B} (z) = A_{z} \cap B_{z} = A (z) + B (z) - (A \cap B) (z)$
Integreeri. Ruumala on funktsiooni S(z) integraal. Ühendi ristlõike liikmeti integreerimine viib ruumalade puhul sama reeglini.
$V (A \cup B) = \int (A + B - (A \cap B)) d z = V (A) + V (B) - V (A \cap B)$

Eeldab: Iga ristlõike pindala kohta kehtib kindel valem. Kui see valem muutub (näiteks läbipuuritud kera ühisosal kõrgusel z = ±h/2), jaotatakse integraal sellest kohast osadeks.

Ülesanded täielikult lahendatud

Kaks ristuvat silindrit 2 sammu
Kaks raadiusega r silindrit ristuvad täisnurga all nii, et nende teljed lõikuvad. Leia mõlema silindri sisse jääva keha ruumala.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Kõrgusel z on kumbki silinder riba poollaiusega √(r² − z²) ja need kaks riba lõikuvad ruuduks:
  
  $s S (z) = 2 r^{2} - z^{2} = s^{2} = 4 (r^{2} - z^{2})$
2. Integreeri rajades z = −r kuni z = r:
  
  $V = \int_{- r}^{r} 4 (r^{2} - z^{2}) d z = 4 (2 r^{3} - \frac{2 r ^{3}}{3}) = \frac{16 r ^{3}}{3}$
Vastus

16r³/3, mis väärtusel r = 1 on 5,3333.

$V = \frac{16 r ^{3}}{3}, r = 1 : V \approx 5.3333$
Läbipuuritud kera 3 sammu
Läbi 5-raadiusega kera keskpunkti puuritakse ava, millest jääb järele 6 ühiku kõrgune rõngas. Leia selle rõnga ruumala.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Rõnga poolkõrgus on 3, seega on ava raadius
  
  $a = 5^{2} - 3^{2} = 4$
2. Vahemikus −3 ≤ z ≤ 3 on ristlõikeks ringrõngas siseraadiusega 4 ja välisraadiusega √(25 − z²):
  
  $S (z) = π (25 - z^{2}) - π \cdot 4^{2} = π (9 - z^{2})$
3. Integreeri:
  
  $V = \int_{- 3}^{3} π (9 - z^{2}) d z = π (54 - 18) = 36 π$
Vastus

36π ≈ 113,0973.

$V = 36 π \approx 113.0973$
Miks kera suurus välja taandub 3 sammu
Näita, et mis tahes vähemalt h-läbimõõduga kerast puuritud h-kõrguse rõnga ruumala on πh³/6, ja võrdle tulemust 6-diameetrise täiskeraga.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Kuna a² = R² − (h/2)², on ringrõnga pindala kõrgusel z
  
  $S (z) = π (R^{2} - z^{2}) - π a^{2} = π (\frac{h ^{2}}{4} - z^{2})$
2. Integreeri rajades z = −h/2 kuni z = h/2:
  
  $V = \int_{- h /2}^{h /2} π (\frac{h ^{2}}{4} - z^{2}) d z = π (\frac{h ^{3}}{4} - \frac{h ^{3}}{12}) = \frac{π h ^{3}}{6}$
3. Kui h = 6, annab see 36π ehk 3-raadiusega kera ruumala — just selliseks keha muutubki, kui R = 3 ja ava sulgub:
  
  $\frac{π \cdot 6 ^{3}}{6} = 36 π = \frac{4 π \cdot 3 ^{3}}{3}$
Vastus

V = πh³/6 mis tahes raadiuse R korral, kui vaid R ≥ h/2.

$V = \frac{π h ^{3}}{6}$
Kera ja silindri vaheline ruum 3 sammu
Kera raadiusega r asub silindris raadiusega r ja kõrgusega 2r. Leia nende vahele jääva ruumi maht ja selle abil kera ruumala.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Kõrgusel z kujutab vaheruum endast silindri ja kera raadiuste vahelist ringrõngast:
  
  $S (z) = π r^{2} - π (r^{2} - z^{2}) = π z^{2}$
2. Integreeri rajades z = −r kuni z = r:
  
  $\int_{- r}^{r} π z^{2} d z = \frac{2 π r ^{3}}{3}$
3. Lahuta see silindri ruumalast:
  
  $V (B) = 2 π r^{3} - \frac{2 π r ^{3}}{3} = \frac{4 π r ^{3}}{3}$
Vastus

Nende vahele jääb 2πr³/3, mis väärtusel r = 1 on 2,0944; seega on kera ruumala 4πr³/3 ehk kaks kolmandikku silindrist.

$V (A ∖ B) V (B) = \frac{2 π r ^{3}}{3} = \frac{4 π r ^{3}}{3}$
Kahe silindri ühend 3 sammu
1. ülesande silindreid on mõlemat piiratud pikkuseni 2r. Leia vähemalt ühe silindri sisse jääva keha ruumala.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Kummagi silindri ristlõige on riba pikkusega 2r ja laiusega 2√(r² − z²). Ühendi ristlõikes arvestatakse ühist ruutu vaid korra:
  
  $S (z) = 2 \cdot 4 r r^{2} - z^{2} - 4 (r^{2} - z^{2})$
2. Esimene liige integreerub poolringi pindala ja 8r korrutiseks:
  
  $\int_{- r}^{r} 8 r r^{2} - z^{2} d z = 8 r \cdot \frac{π r ^{2}}{2} = 4 π r^{3}$
3. Niisiis
  
  $V = 4 π r^{3} - \frac{16 r ^{3}}{3}$
Vastus

4πr³ − 16r³/3, mis väärtusel r = 1 on 7,233.

$V r = 1 : V = 4 π r^{3} - \frac{16 r ^{3}}{3} \approx 7.233$
Väljapuuritud osa 3 sammu
Leia 2. ülesande kerast eemaldatud osa ruumala.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Eemaldati see osa kerast, mis jäi puuri sisse. Kui |z| ≤ 3, on ristlõikeks kogu ava ehk ring raadiusega 4; kui 3 ≤ |z| ≤ 5, on väiksemaks kujundiks kera enda lõikering:
  
  $S (z) = {16 π, π (25 - z^{2}), ∣ z ∣ \leq 3 3 \leq ∣ z ∣ \leq 5$
2. Jaota integraal kohal, kus lõike valem muutub:
  
  $V = \int_{- 3}^{3} 16 π d z + 2 \int_{3}^{5} π (25 - z^{2}) d z = 96 π + \frac{104 π}{3} = \frac{392 π}{3}$
3. Kontroll: kera ruumala miinus 2. ülesande rõngas.
  
  $\frac{4 π \cdot 5 ^{3}}{3} - 36 π = \frac{500 π - 108 π}{3} = \frac{392 π}{3}$
Vastus

392π/3 ≈ 410,5014.

$V = \frac{392 π}{3} \approx 410.5014$
Rõnga ruumala silindriliste kihtide abil 2 sammu
Leia 2. ülesande rõnga ruumala ava telje suhtes võetud silindriliste kihtide abil.
Näita lahendust
1. Kiht kaugusel x teljest, kus 4 ≤ x ≤ 5, ulatub kera põhjast tipuni kõrgusega 2√(25 − x²):
  
  $V = 2 π \int_{4}^{5} x \cdot 2 25 - x^{2} d x$
2. Tee asendus u = 25 − x²:
  
  $V = 2 π \int_{0}^{9} u d u = 2 π \cdot \frac{2}{3} \cdot 9^{3/2} = 36 π$
Vastus

36π, täpselt nagu ristlõigete kaudu.

$V = 36 π$

Ristuvate silindrite ühisosa ruumalas puudub π 🖖

Vali Ristuvad silindrid. Mõlema silindri sisse jääva keha iga horisontaallõige on ruut küljepikkusega 2√(r² − z²). Ristlõike pindala 4(r² − z²) on polünoom ja selle integraal annab 16r³/3: ei mingit pii-d. Raadiusega r kera mahub täpselt sellesse kehasse ja selle lõige samal kõrgusel on ruudu sisering. Ringi pindala moodustab igal kõrgusel täpselt π/4 ruudu pindalast, seega on ka kera ruumala π/4 kogu kehast: 16r³/3 · π/4 = 4πr³/3. Archimedes märkas seda ootamatut tõsiasja Eratosthenesele kirjutades. Varasemates kirjades oli ta võrrelnud konoide ja sferoide koonuste ning silindritega, kuid ükski neist polnud osutunud võrdseks tasapinnaliste tahkudega kehaga. See keha aga osutus: täpselt kaks kolmandikku teda ümbritsevast kuubist. Heathi 1912. aasta väljaanne märgib tema tõestuse paraku kadunuks.

Puuritud rõnga ruumala sõltub vaid kõrgusest 🖖

Vajuta Läbipuuritud kera. Kui kera raadius on 5 ja ava raadius 4, jääb järele rõngas kõrgusega 6 ning ruumalaga 36π ≈ 113,0973. Enne kui lohistad R-i, otsusta: kas suuremast kerast peaks jääma mahukam rõngas? Suurenda kera ja ava peab kõrguse 6 säilitamiseks laienema, kuid ruumala ei liigu paigastki. Kõrgusel z on ristlõikeks seib raadiusest a kuni √(R² − z²), pindalaga π(R² − z² − a²), ning ava valiti nii, et R² − a² = (h/2)². Järele jäävas avaldises π((h/2)² − z²) pole raadiusest R jälgegi. See on diameetriga h kera ristlõige, mida näitab ka Sama rõngas, R = 3: ava sulgub ning rõngas ongi terve kera. Maa suurusest kerast välja lõigatud 6 cm kõrgune rõngas mahutab täpselt sama palju kui 6 cm läbimõõduga kera.

Võta ümar keha kastist välja ja järele jääb koonuste ruumala 🖖

Vali Kera silindrist välja. Silindri ristlõige on igal kõrgusel ring pindalaga πr² ja kera lõige π(r² − z²). Nende vahe on πz² ehk kahe keskpunktis kokku puutuva koonuse ristlõike pindala. Võrdsed lõikepinnad igal kõrgusel annavad võrdsed ruumalad, seega on silindri ja kera vahe võrdne kahe koonuse ruumalaga 2πr³/3. Kerale jääb 2πr³ − 2πr³/3 = 4πr³/3 ehk kaks kolmandikku silindrist. Täpselt samamoodi töötab Kuup miinus ühisosa: selle ristlõige on ruutraam pindalaga 4r² − 4(r² − z²) = 4z², mis vastab kahe nelinurkse püramiidi ristlõikele. Nende ruumala on 8r³/3, mis jätab silindrite ühisosale 16r³/3 ilma midagi keerukamat kui z² integreerimata. Archimedes soovis oma hauakivile kera ja silindri kujutist. Aastal 75 eKr leidis Cicero Sitsiilias kibuvitsapõõsaste alla mattunud haua üles just väikesele sambale raiutud kujundi järgi. Hiinas leidis Zu Geng (umbes 450 kuni 520) kera ruumala samuti, lõigates kuupi silindritega ja võrreldes kehi kiht-kihilt.

Õpitee

Integraali rakendused

Allikad (4)

The slicing method the page applies to each combination, V = ∫ A(x) dx, and the washer as the difference of two discs: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 6.2, “Determining Volumes by Slicing”.
Insight block 1: Archimedes' letter to Eratosthenes announcing that the solid inside two cylinders inscribed in one cube “is two-thirds of the whole cube”, and that, unlike the solids compared before with cones and cylinders, it “is found to be equal to one of the solid figures which are bounded by planes” (pp. 12–13); “One of the two geometrical proofs is lost” (Introductory Note, p. 7), and Proposition 15, the mechanical investigation of the same solid, “is lost” (p. 48): T. L. Heath (ed.), The Method of Archimedes, Recently Discovered by Heiberg: A Supplement to The Works of Archimedes, 1897, Cambridge University Press (1912).
Insight blocks 1 and 3: the sphere two thirds of its circumscribed cylinder (On the Sphere and Cylinder, Book 1); the tomb carrying a sphere and a cylinder, found by Cicero in Sicily in 75 BC under brambles and thickets; Heiberg's discovery in 1906 of the tenth-century manuscript containing the Method: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Archimedes of Syracuse”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated January 1999).
Insight block 3: Zu Geng (about 450 to about 520) cut a circumscribed cube into eight small cubes and these by cylindrical cuts, and found the sphere's volume by comparing the pieces through the principle that solids of the same height with sections in a constant ratio have volumes in that ratio: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Zu Geng”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated December 2003).

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.