Kaare pikkus ja pöördkeha

Kaare pikkuse ja x-telje ümber pöörlemise valemid, arvutatud numbriliselt Simpsoni integreerimisega.

Näidisarvutus — Kaare pikkus ja pöördkeha

Meetod	500

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Kaare pikkus ja pöördkeha

Kõverat ei saa otse mõõta, mistõttu defineeritakse kaare pikkus valemi asemel piirväärtusena: asenda kõver sirgete kõõlude ahelaga, liida kokku nende pikkused ja lase kõõludel kahaneda nulli suunas. Kõik alljärgnev ongi see üks mõte pluss Pythagorase teoreem.

Mida iga sümbol tähendab

f(x): kõver, mis on antud x funktsioonina — üks y iga x kohta. Selle piirangu tõttu pakuvad eelseadistused poolringjoont, mitte kunagi tervet ringjoont: ringjoonel on suuremal osal oma laiusest kaks y-väärtust, mistõttu ükski f ei saa seda kirjeldada.
f'(x): tõus ja ainus asi, mida integraalialune funktsioon arvesse võtab. See, kui kõrgel kõver asub, ei oma tähtsust — konstantse funktsiooni 1 tõus on lõigul [0, 2] igal pool 0 ja pikkus täpselt 2, mis ongi vaid lõigu laius ja ei midagi muud.
[a, b]: lõik, mis on vastuse olemuslik osa, mitte pelk detail. Parabooli pikkus lõigul [0, 2] on 4.646784 ja lõigul [0, 1] on 1.478943 — mitte poole vähem, sest kõvera järsem osa mahutab samasse laiusesse rohkem pikkust.
n: Simpsoni valemile antav osalõikude arv. Ainsana neist ei ütle see kõvera kohta midagi: see määrab vaid selle, kui hästi integraali lähendatakse, ning rida Vea hinnang näitab, kas sellest piisas.

Kust valem tuleb

Võta kõveral kaks punkti, mille vahekaugus on väike samm Δx. Nendevahelise sirglõigu pikkus on √(Δx² + Δy²). See ongi Pythagorase teoreem ja ei midagi muud.
Too Δx juure alt välja: √(Δx² + Δy²) = Δx·√(1 + (Δy/Δx)²). Lõpliku vastuse kuju on juba näha.
Nüüd lase Δx-l kahaneda. Jagatisest Δy/Δx saab tuletis f′(x), seega iga hääbuv kõõl annab panuse √(1 + f′(x)²) dx.
Liida need kõik kokku: L = ∫ₐᵦ √(1 + f′(x)²) dx, mida näit kuvabki. Samm 1 on samuti ekraanil rea Kõõlu pikkus näol — ning sirgjoone puhul langevad need kaks täpselt kokku. Vali funktsiooniks x lõigul [0, 1] ja mõlemad näitavad 1.414214, sest seal ongi üks kõõl juba terve kõver.

Kuidas nähtut lugeda

Rida Kõõlu pikkus on 1. samm üheainsa lõiguga, seega ei saa see kunagi olla neist kahest suurem: 4.472136 parabooli 4.646784 vastu ning nendevaheline erinevus näitab, kui palju kõver paindub. Loe rida Vea hinnang tähelepanelikult, sest see ei ole kaugus tõest — see kuvab |L₂ₙ − Lₙ| ehk erinevust n osalõigu ja 2n vahel, näidates seega, kas meetod on koondunud, mitte seda, kas see jõudis õige tulemuseni.

Eeldab: Et f on lõigul [a, b] diferentseeruv ja et see on üldse x funktsioon. Simpsoni valem eeldab enamat kui kaare pikkuse valem: et integraalialune funktsioon on piisavalt sile, et seda saaks igal osalõikude paaril sobitada paraboolidega.
Ei kehti, kui: Vali frac(x) lõigul [0, 3] ja sea integreerimissammude arvuks 400. Graafik koosneb kolmest tõusvast lõigust, mida eraldavad kolm vertikaalset hüpet, ja igas hüppepunktis puudub tuletis, mida valem saaks kasutada. Näit annab sellegipoolest vastuse: 29.23057, mis ei ole ei 4.242641 (mille saaksid hüppeid eirates) ega 7.242641 (mille saaksid neid arvesse võttes) — see on integreerija diferentsimine üle hüppe. Ainus asi, mis selle reedab, on selle all asuv rida Vea hinnang näiduga 12.49396, mis on peaaegu pool vastusest, mida see väljastab. Üksik murdepunkt ei maksa seevastu peaaegu midagi: |x| lõigul [−1, 1] tagastab 2.827046 täpse 2√2 = 2.828427 vastu, sest üks halb punkt integraali sees on liiga vähe, et omada tähtsust.

Sama kõver, sama n — ja üks vastus on üksteist korda parem 🖖

Eelseaded semicircle ja sphere kasutavad sama funktsiooni samal lõigul samade 800 ribaga. Ometi tuleb kaare pikkus 3,1705 võrreldes π = 3,1416-ga, eksides 0,9 %, samal ajal kui pindala tuleb 12,5559 võrreldes 4π = 12,5664-ga, eksides vaid 0,08 %. Erinevus on integreeritavas: √(1 + f′²) hüppab punktis x = ±1 umbes 71-ni, kus poolring muutub püstiseks, ja kaarepikkuse integraalil ei ole midagi, mis seda summutaks. Pindala integraal kannab tegurit |f(x)|, mis on täpselt neis otspunktides 0 — see korrutab kõvera halvima osa nulliga.

Kõvera keerutamine kehaks 🖖

Selle tööriista teine režiim toimib nagu treipink või pottsepakeder: võtad kõvera y=f(x) ja pöörad seda ümber x-telje, et tekiks ruumiline pöördkeha. Ruumala leidmiseks lõikab tööriist keha õhukesteks ketasteks, igaüks raadiusega f(x) ring, ja liidab need kokku. Pööra sirget y=x vahemikus 0 kuni 3 ja saad täiusliku koonuse ruumalaga 9π — ilma ühegi geomeetriavalemita, vaid integraaliga.

Pasun, mille saab täita, kuid mitte värvida 🖖

Pööra y=1/x vahemikus x=1 kuni lõpmatuseni ümber x-telje ja saad Gabrieli sarve (Torricelli trompeti). Selle ruumala koondub täpselt väärtusele π, kuid pindala on lõpmatu. See „maalija paradoks" tähendab, et sarve mahub π ühikut värvi, ent ükski lõplik kogus ei suudaks kunagi katta selle sisepinda. Evangelista Torricelli avastas selle 1640. aastatel, enne kui matemaatiline analüüs ametlikult olemas oli, ja pidas seda isegi ise absurdseks.

Harjutus

Kontrolli ennast

Ennusta vastust esmalt ise ja kasuta siis ülal olevaid juhtelemente. Ava lahendus alles siis, kui oled otsustanud — just see teebki sellest harjutuse.

Lae eelseade kera ja sea vahemikuks a = 0, b = 0.5 — vööt, mis on lõigatud kera ekvaatorilt kuni poole raadiuseni. Pindala näitab 3.141593. Nihuta vööt nüüd asendisse a = 0.4, b = 0.9, jättes kõrguseks 0.5. Ennusta uut pindala, enne kui midagi vajutad.

Näita vastust

Ikka 3.141593. Iga 0.5 kõrgune vööt hõlmab täpselt π pindala, ükskõik kust sa lõikad — [−0.25, 0.25] ja [−0.9, −0.4] näitavad sama arvu. Ruumala ei käitu üldse nii: need vöödid mahutavad 1.439897, 0.87441 ja 1.538071. Pooluse lähedal on iga pinnariba ümbermõõt lühem, kuid kalle järsem, ning need kaks mõju taanduvad täpselt, nii et alles jääb ainult kõrgus. Archimedes tõestas selle ja soovis oma hauakivile kera silindri sees — vööt vöödi haaval on keral sama pindala kui silindril, mis teda napilt ümbritseb.
Kolmas ülalolev tähelepanek väidab, et Gabrieli sarvel on lõplik ruumala ja lõpmatu pindala, kuid ei anna ühtki arvu. Too need ise: vali f(x) = 1/x, sea a = 1 ja režiim pöördkeha ning loe mõlemad väärtused väärtustel b = 10, siis 100, siis 1000.

Näita vastust

Ruumala liigub 2.827433 → 3.110179 → 3.153626, läheneb π-le ja võidab iga kümnekordistamisega üha vähem. Pindala liigub 15.1775 → 29.6451 → 44.1739 — ligikaudu 14.5 juurde iga kord, kui korrutad b kümnega, ja nii jääb see igavesti. Kaugel sarve sees on pindala integraalialune sisuliselt 2π/x, mille integraal on 2π ln b, ja 2π ln 10 = 14.47. Millel lisandub iga kümnekordistamisega kindel kogus, sellel piirväärtust ei ole; millel lisandub üha vähem, sellel on. Viimast ruumala tasub siiski kahtlustada: 3.153626 on suurem kui π, mis on võimatu, sest 2000 ühtlast sammu ei suuda nii pikal vahemikul eristada järsku osa x = 1 lähedal. Ületus tuleb võrgust, mitte sarvest.

Ülesanded täielikult lahendatud

y = x² kaarepikkus 0-st 2-ni suletud kujul 5 sammu
Funktsiooni y = x² kaare pikkus 0-st 2-ni on 4,646784. Tuletage see kinnisel kujul — ning selgitage seejärel, miks teil vedas. See on olek paraboolikaar.
1. Püstitage integraal. Funktsiooni x² tuletis on 2x, seega sisaldab integraalialune funktsioon avaldist 4x² ega midagi keerulisemat.
  
  $L = \int_{0}^{2} 1 + (f^{'} (x))^{2} d x = \int_{0}^{2} 1 + 4 x^{2} d x$
2. Avaldise √(1 + 4x²) algfunktsioon on standardne — üks algebrailine liige ja üks hüperboolne arkussiinus (arsinh), mis ongi see, mida ruutavaldis juure all alati annab.
  
  $\int 1 + 4 x^{2} d x = \frac{x}{2} 1 + 4 x^{2} + \frac{1}{4} arsinh (2 x) + C$
3. Arvutage väärtused rajadel. Alumine raja ei anna midagi ning kaks osa kohal x = 2 annavad tulemuseks 4,1231 ja 0,5237.
  
  $L = [\frac{x}{2} 1 + 4 x^{2} + \frac{1}{4} arsinh 2 x]_{0}^{2} = 17 + \frac{1}{4} arsinh 4 = 4.1231 + 0.5237 = 4.646784$
4. Võrrelge seda otspunkte ühendava sirgega. Kõver on selles vahemikus vaid 3,9% pikem kui kõõl, mistõttu kaare pikkuse numbriline arvutamine tundub lihtne seni, kuni see seda enam pole.
  
  $chord = (2 - 0)^{2} + (4 - 0)^{2} = 20 = 4.472136; \frac{L}{chord} = 1.0391$
5. Nüüd proovige sama trikki korrata ühe astme võrra kõrgemal. Integraalialuseks funktsiooniks saab neljanda astme polünoomi ruutjuur ning see ongi piir elementaarse ja elliptilise vahel.
  
  $f = x^{3} : \int 1 + 9 x^{4} d x — elliptic, not elementary$
Vastus

√17 + ¼ arsinh 4 ning vedamine seisneb selles, et parabool on üks väheseid erandeid, mis üldse toimib. Kaare pikkuse leidmine nõuab avaldise √(1 + f′²) integreerimist ning polünoomi ruutjuur on elementaarfunktsioonina avaldatav vaid vähestel juhtudel. Liikudes ühe astme võrra kõrgemale funktsioonini y = x³, on integraalialuseks funktsiooniks √(1 + 9x⁴), mis on elliptiline ega ole avaldatav elementaarfunktsioonide kaudu. Samamoodi on lugu ellipsi kaare pikkusega — sealt on elliptilised integraalid oma nime saanud ning seepärast ei ole ellipsi ümbermõõdule valemit, kuigi selle pindala valem on triviaalne. Parabool pääseb sellest tänu sellele, et tema tuletis on lineaarne, mistõttu 1 + f′² on ruutavaldis, ning ruutavaldis ruutjuure all on täpselt see, mille jaoks arsinh-asendus leiutati.

$L = 17 + \frac{1}{4} arsinh 4 = 4.646784$
Ühikpoolringi pindala 12,55591 ja ruumala 4,18879 6 sammu
Pöörake ühikpoolringi ja paneel annab pindalaks 12,55591 ning ruumalaks 4,18879. Üks neist on täpne kuue tüvenumbrini ja teine eksib 0,083%. Tehke kindlaks, kumb ja miks. See on olek pöördkera.
1. Kirjutage välja funktsioon ja selle tuletis. Tuletis ongi see, kust probleemid alguse saavad, ja see on näha juba praegu: nimetaja võrdub mõlemas otsas nulliga.
  
  $f (x) = 1 - x^{2}, f^{'} (x) = \frac{- x}{1 - x ^{2}}, 1 + (f^{'})^{2} = \frac{1}{1 - x ^{2}}$
2. Nüüd moodustage pindala integraalialune funktsioon. Lõpmatusse kasvav tegur ja nulliks muutuv tegur on teineteise pöördarvud ning need taanduvad täielikult välja.
  
  $2 π f 1 + (f^{'})^{2} = 2 π 1 - x^{2} \cdot \frac{1}{1 - x ^{2}} = 2 π — a constant$
3. Konstandi integreerimine üle lõigu pikkusega 2 ei vaja integraalarvutust. Vastus on 4π ega sõltu sellest, kuidas kera viilutati — mis ongi Archimedese tulemuse sisu.
  
  $S = \int_{- 1}^{1} 2 π d x = 4 π = 12.566371 (Archimedes: sphere = its cylinder’s side)$
4. Ruumala on tavaline polünoomi integraal ning see ongi see, mille Simpsoni valem saab täpselt õigesti kuni viimase väljatrükitava numbrini.
  
  $V = \int_{- 1}^{1} π (1 - x^{2}) d x = π [x - \frac{x ^{3}}{3}]_{- 1}^{1} = \frac{4 π}{3} = 4.18879$
5. Võrrelge ekraanile kuvatud pindalat väärtusega 4π. Puudujääk on väike, kuid see pole ümardamisviga — see on süstemaatiline viga, mis on koondunud kahte poolusesse.
  
  $printed S = 12.55591 : \frac{4 π - 12.55591}{4 π} = 0.083% low, while V is exact to 6 figures$
6. Põhjus peitub 1. sammus. Täpne taandumine ei ole kättesaadav rutiinile, mis vaid mõõdab funktsiooni väärtusi punktides.
  
  $f^{'} (\pm 1) \to \infty : the integrand is constant only in exact arithmetic; sampled, the poles misbehave$
Vastus

Ruumala on täpne ja pindala on 0,083% võrra väiksem, sest pindala integraalialune funktsioon on konstant, mida integreerija ei näe. Arvutage see käsitsi läbi ja juhtub midagi tähelepanuväärset: √(1 + f′²) on 1/√(1 − x²) ning see taandab selle ees oleva avaldise √(1 − x²) täpselt välja, jättes järele 2π. Integraalialune funktsioon on konstantne, integraal on 4π ja see ongi Archimedese teoreem — kera pindala on sama mis teda täpselt ümbritseva silindri külgpindala, mille ta laskis raiuma oma hauakivile. Numbriliselt aga kasvab f′ kohal x = ±1 lõpmatusse ning Simpsoni valem mõõdab funktsiooni, mis on igal pool 2π, välja arvatud kahes punktis, kus arvutus kokku variseb. Ruumala integraalialune funktsioon on π(1 − x²), korralik polünoom, ning Simpsoni valem integreerib polünoome täpselt. Paneeli enda veahinnang 0,005 ütleb teile, kumbat kahest vastusest usaldada.

$S = 4 π exactly, because the integrand is 2 π; V = \frac{4 π}{3}$

Allikad (1)

Insight block 3 — Gabriel's Horn, and how strange it looked at the time: P. Mancosu and E. Vailati, "Torricelli's Infinitely Long Solid and Its Philosophical Reception in the Seventeenth Century." Isis 82(1), 50–70, 1991.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-07-15

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Matemaatika õppetunnid →

Näiteülesanded

parabooli kaar - Kõvera y=x^2 kaare pikkus lõigul [0,2] on pikem kui sirge kõõlu pikkus.
poolringi kaar - Poolringi kaar lõigul [-1,1] läheneb ootuspäraselt arvule pi.
kera pöörlemisel - Poolringi pööramine ümber x-telje annab kera puhul tuttavad väärtused 4pi ja 4pi/3.
koonus pöörlemisel - Sirge y=x pööramine lõigul [0,3] annab koonuse, mille analüütiline ruumala on 9pi.