Kaare pikkus ja pöördkeha
Kaare pikkuse ja x-telje ümber pöörlemise valemid, arvutatud numbriliselt Simpsoni integreerimisega.
Kõverjoonelise kauguse integreerimine 🖖
Kaare pikkus arvutab täpse 1D kauguse piki kõverdunud 2D rada. Tuletatuna infinitesimaalsest Pythagorase teoreemist, integreerib see tuletise ruudu ruutjuure, tõlkides kõverad trajektoorid lineaarseteks meetrikateks.
Kõvera keerutamine kehaks 🖖
Selle tööriista teine režiim toimib nagu treipink või pottsepakeder: võtad kõvera y=f(x) ja pöörad seda ümber x-telje, et tekiks ruumiline pöördkeha. Ruumala leidmiseks lõikab tööriist keha õhukesteks ketasteks, igaüks raadiusega f(x) ring, ja liidab need kokku. Pööra sirget y=x vahemikus 0 kuni 3 ja saad täiusliku koonuse ruumalaga 9π — ilma ühegi geomeetriavalemita, vaid integraaliga.
Pasun, mille saab täita, kuid mitte värvida 🖖
Pööra y=1/x vahemikus x=1 kuni lõpmatuseni ümber x-telje ja saad Gabrieli sarve (Torricelli trompeti). Selle ruumala koondub täpselt väärtusele π, kuid pindala on lõpmatu. See „maalija paradoks" tähendab, et sarve mahub π ühikut värvi, ent ükski lõplik kogus ei suudaks kunagi katta selle sisepinda. Evangelista Torricelli avastas selle 1640. aastatel, enne kui matemaatiline analüüs ametlikult olemas oli, ja pidas seda isegi ise absurdseks.
Näiteülesanded
- parabooli kaar - Kõvera y=x^2 kaare pikkus lõigul [0,2] on pikem kui sirge kõõlu pikkus.
- poolringi kaar - Poolringi kaar lõigul [-1,1] läheneb ootuspäraselt arvule pi.
- kera pöörlemisel - Poolringi pööramine ümber x-telje annab kera puhul tuttavad väärtused 4pi ja 4pi/3.
- koonus pöörlemisel - Sirge y=x pööramine lõigul [0,3] annab koonuse, mille analüütiline ruumala on 9pi.