Püramiidi geomeetria

Vana-Egiptuse stiilis geomeetria ruudukujuliste püramiidide jaoks

Algväärtused — Püramiidi geomeetria

Aluse küljepikkus (s)	230.4
Vertikaalne kõrgus (h)	146.6

Muuda ülal mõnda juhtelementi ja tulemused arvutatakse uuesti.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Kolmandik on täpne, kuid seda ei saa tõestada lõikamisega 🖖

Püramiid mahutab täpselt kolmandiku prismast, millel on sama põhi ja kõrgus — mitte ligikaudu, vaid täpselt. Kahes mõõtmes on vastav fakt kergesti nähtav: kolmnurk on pool oma ristkülikust ja seda saab näidata, lõigates ristküliku tükkideks ja need ümber paigutades. Kolmes mõõtmes on see tee suletud. Hilbert küsis 1900. aastal, kas kaks võrdse ruumalaga keha saab alati lõigata lõplikuks arvuks tükkideks ja teineteiseks ümber laduda, ning Max Dehn tõestas 1901. aastal, et ei saa — korrapärane tetraeeder ja sama ruumalaga kuup ei ole ükskõik millise lõpliku lõigete hulgaga teineteisest saavutatavad. Tegur 1/3 on seega tõepoolest piirväärtusi puudutav tulemus ja just seepärast saabub see koos analüüsiga, mitte kääridega.

Kaks arvu määravad kogu püramiidi 🖖

Ruutpüramiid on täielikult määratud vaid kahe mõõduga: aluskülje pikkus s ja kõrgus h. Kõik ülejäänu tuleneb ühest täisnurksest kolmnurgast, mis kulgeb aluse keskpunktist serva keskele. Apoteem on selle hüpotenuus, l = √(h² + (s/2)²), ja kui l on teada, tulevad pindala ja ruumala iseenesest. Muuda ühte sisendit ja iga tulemus arvutatakse uuesti.

Kuidas egiptlased kallet tagurpidi mõõtsid 🖖

Vana-Egiptlased nurki ei kasutanud. Rhindi papüüruses märkisid nad püramiidi kallet selle sekedina: horisontaalne nihe palmides iga kuningliku küünra (7 palmi) vertikaalse tõusu kohta — sisuliselt kotangens, meie tänapäevase tõusu pöördväärtus. Suure püramiidi seked on umbes 5½ palmi, mis annab tahu nurgaks ligikaudu 51,84°. Selle tööriista seked-väljund taaselustab tolle 3600 aasta vanuse tava.

Ülesanne täielikult lahendatud

Kaks Suure püramiidi kokkusattumust, lahendatud ühe arvuga 6 sammu
Suur püramiid: alus 230,4 m, kõrgus 146,6 m. Leia apoteem, pindalad, ruumala ja tahunurk — ning lahenda kaks kuulsat kokkulangevust üheainsa arvuga.
1. Apoteem on selle kolmnurga hüpotenuus, mis kulgeb aluse keskpunktist serva keskpunkti ja sealt tipuni — arvesse läheb pool alust, mitte terve alus, mis on siin kõige sagedam eksimus.
  
  $ℓ = h^{2} + (\frac{s}{2})^{2} = 146. 6^{2} + 115. 2^{2} = 34 760.2 = 186.4473 m$
2. Külgpindala moodustavad neli kolmnurka, millest igaühe alus on s ja kõrgus ℓ, seega 4 × ½sℓ taandub kujule 2sℓ. Kogupindala saamiseks liida aluse pindala.
  
  $A_{b} = s^{2} = 53 084.16, A_{l} = 2 s ℓ = 85 914.92, A = 138 999.08 m^{2}$
3. Ruumala on üks kolmandik prisma ruumalast ja see kolmandik pole ligikaudne väärtus — see on täpne mis tahes alusega mis tahes püramiidi puhul.
  
  $V = \frac{1}{3} s^{2} h = \frac{1}{3} (53 084.16) (146.6) = 2594 045.95 m^{3}$
4. Tahunurk saadakse tõusu ja poole sammu suhtest. Seked on selle pöördväärtus ning just see on arv, mida ehitajad tegelikult kasutasid.
  
  $θ = arctan \frac{2 h}{s} = arctan \frac{293.2}{230.4} = 51.839 3^{\circ}, k = \frac{s /2}{h} = 0.7858$
5. Võrdle mõõdetud sekedit selle lähedal asuva lihtsaima murruga. Viis ja pool palmi seitsmepalmise küünra kohta on 11/14 ja see klapib täpsusega üks osa kaheksast tuhandest.
  
  $k = \frac{5 \frac{1}{2} palms}{7 palms} = \frac{11}{14} = 0.785714 (measured 0.785812)$
6. Nüüd tuleta sellest ühest murrust π suhe. See ei ole püramiidi sõltumatu omadus; see on 8k ning 8 × 11/14 asub juhuslikult vaid 0,04% kaugusel väärtusest 2π.
  
  $k = \frac{s /2}{h} \Rightarrow h = \frac{s}{2 k} \Rightarrow \frac{4 s}{h} = 8 k = 8 \cdot \frac{11}{14} = 6.28571 against 2 π = 6.28319$
Vastus

Mõlemad kokkulangevused on üks ja seesama kokkulangevus ning see on ehitajate murd: seked 11/14. Egiptlased ei määranud kallet nurgana; nad määrasid, mitu palmi horisontaalset sammu tuleb ühe küünra tõusu kohta, ja küünras on seitse palmi. Vali 5½ palmi ja seked on 11/14 = 0,785714 — võrreldes väärtusega 0,785812, mis on püramiidi tegelik mõõt. Kõik muu tuleneb sellest. Aluse ümbermõõdu ja kõrguse suhe on täpselt 8 korda seked, seega 8 × 11/14 = 6,28571 võrreldes väärtusega 2π = 6,28319, ning apoteemi ja poole aluseserva suhe tuleb 1,6185 võrreldes väärtusega φ = 1,618034. Ei π ega φ polnud sisse pandud. Üks ratsionaalne kalle, mis valiti sellepärast, et seda oli nööri ja loodiga lihtne maha märkida, annab mõlemad nelja tüvenumbrini.

$k = \frac{11}{14} ⟹ \frac{4 s}{h} = 6.2857 \approx 2 π and \frac{ℓ}{s /2} = 1.6185 \approx φ$

Allikad (2)

Insight block 1 — why the factor of 1/3 cannot be shown with scissors: M. Dehn, "Ueber den Rauminhalt." Mathematische Annalen 55(3), 465–478, 1901 — the negative answer to Hilbert's third problem.
Insight block 3 — the seked, and the 5½ palms of the Great Pyramid: A. B. Chace, The Rhind Mathematical Papyrus, problems 56–60. Mathematical Association of America, 1927–29.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-05-12

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Matemaatika õppetunnid →

Näiteülesanded

koolinäide - Kooli näide: arvuta kaldkõrgus, pindala ja ruumala.
Giza suur püramiid - Cheopsi püramiidi mõõtkava lähendus tegelike mõõtmetega.
järsk külgtahk - Järsem püramiid suurema tahunurgaga.
lauge külgtahk - Madalam püramiid väiksema tahunurgaga.