Ruumiliste kehade labor: kera, koonus ja silinder

Archimedes valis selle suhte oma tunnuseks 🖖

Kera ja selle tihe silinder annavad suhte 2:3 kaks korda: ruumalas ja kogupindalas. See kokkulangevus on geomeetriline sõrmejälg.

Üks kolmandik käib ruumala, mitte iga mõõdu kohta 🖖

Sama põhja ja kõrguse korral on ruumalade suhe 1:3. Pindalade suhe muutub kõrgusega, sest koonuse moodustaja muutub.

Skaleerimine näitab ruut-kuupseadust 🖖

Pind kasutab kaht pikkustegurit, ruumala kolme. Kahekordistamine annab neli korda rohkem pinda, kuid kaheksa korda rohkem mahtu.

Püramiidid jäävad omaette laborisse 🖖

Püramiid jagab koonuse ühe kolmandiku ehitust, kuid külgkõrgus, tahunurgad ja hulknurksed tahud vajavad oma juhtnuppe. Jätka Püramiidi geomeetrias.

Ülesanded täielikult lahendatud

Miks kera ja seda täpselt mahutav silinder annavad kahel korral suhte 2:3 ning mitte juhuslikult 6 sammu
Aseta raadiusega 3 kera vähimasse silindrisse, mis seda mahutab. Näita, et ruumalad on suhtes 2:3, et kogupindalad on samas suhtes 2:3, ning selgita seejärel, miks sama arv ilmub kahel korral.
1. Seda täpselt mahutav silinder on kera poolt määratud: selle raadius on r ja kõrgus 2r, sest kera peab puudutama külgpinda ja mõlemat tasast põhja. Midagi ei saa vabalt valida.
  
  $V_{sph} = \frac{4}{3} π r^{3}, V_{cyl} = π r^{2} \cdot 2 r = 2 π r^{3}$
2. Ruumalad. Kera ruumala on ⁴⁄₃πr³ ja silindril πr² × 2r = 2πr³. Jaga: (⁴⁄₃) ÷ 2 = ²⁄₃, ning r taandub välja, seega kehtib see suhe iga kera puhul, mis kunagi on olnud. Kui r = 3, on see 113,10 võrrelduna 169,65-ga.
  
  $\frac{V _{sph}}{V _{cyl}} = \frac{4/3}{2} = \frac{2}{3}$
3. Pindalad. Kera pindala on 4πr². Silinder koosneb kolmest osast: kaks tasast põhja pindalaga πr² kumbki ja külgpind, mis rullub lahti ristkülikuks laiusega 2πr ja kõrgusega 2r — seega 4πr². Kokku 2πr² + 4πr² = 6πr².
  
  $A_{cyl} = caps 2 π r^{2} + wall 2 π r \cdot 2 r = 6 π r^{2}$
4. Jaga uuesti: 4πr² ÷ 6πr² = ²⁄₃. Sama suhe, mis saadi täiesti teisest arvutusest. Kui r = 3, on see taas 113,10 võrrelduna 169,65-ga.
  
  $\frac{A _{sph}}{A _{cyl}} = \frac{4 π r ^{2}}{6 π r ^{2}} = \frac{2}{3}$
5. See pole juhus. Vaata silindri külgpinda eraldi: selle pindala on 4πr², täpselt sama mis kera kogu pindala. See on Archimedese tulemus. Kui lõigata kera ja silindrit mis tahes kahe silindri teljega risti oleva tasandiga, on nende vahele jäävate vööndite pindalad võrdsed, sest keral ülespoole liikudes kahanevad ringjooned täpselt selles tempos, milles pinna kasvav kalle seda korvab. Lisa kaks põhja, 2πr², ning 4-st saab 6.
  
  $A_{sph} = 4 π r^{2} = A_{wall} (Archimedes)$
6. Üks hoiatus paneeli kohta nende seadistuste juures. See kuvab kera ruumalaks 113,0973 ja selle pindalaks 113,0973, ning need ei ole sama tüüpi suurused — üks on kuupühikutes ja teine ruutühikutes. Need langevad kokku vaid seetõttu, et ⁴⁄₃πr³ = 4πr² nõuab r = 3. Sea r väärtusele 4 ja need lahknevad kohe.
  
  $\frac{4}{3} π r^{3} = 4 π r^{2} ⟺ r = 3 (why the panel prints 113.0973 twice)$
Vastus

Ruumalade suhe on kaks kolmandikku ja pindalade suhe samuti; viimane tuleneb sellest, et kera pindala võrdub täpselt silindri külgpindalaga. Archimedes pidas seda oma parimaks tööks ning palus raiuda oma hauakivile kera ja silindri. Cicero kirjutas, et leidis 75. aastal eKr Sitsiilias kvestorina teenides haua Sürakuusa lähistelt mahajäetuna võsast ning tundis selle raidkuju järgi ära. Archimedese surmast oli möödunud 137 aastat, kuid kujutis oli põldmarjaväätide all endiselt äratuntav. Sellele tasub mõelda, kui mõnd tulemust nimetatakse elegantseks. Ta oli tõestanud kera ruumala, kera pindala ja seose silindriga, ent kivile soovis ta just suhte, sest see ei sõltu kera suurusest.
Üks arv kujundi kohta, nelja paneeli protsendi taga 7 sammu
Võrdse ruumala juures nõuab paneel silindrilt 14,5% ja koonuselt 26,0% rohkem pinda kui keralt. Arvuta, kust need kaks arvu tulevad, ja otsusta, kas eelseadistus sama materjal on teine fakt või seesama.
1. Alusta kerast. Kui r = 3, on ruumala (4/3)π × 27 = 113,10 ja pindala 4π × 9 = 113,10, mis ongi siht, millele iga teine kujund peab vastama.
  
  $V = \frac{4}{3} π r^{3} = \frac{4}{3} π \cdot 27 = 113.10, A_{sph} = 4 π r^{2} = 113.10$
2. Odavaim seda ruumala mahutav suletud silinder on h = 2r, mis on pinda minimeeriv suhe. Siis V = 2πr³ ja A = 6πr², seega r = ∛18 = 2,6207 ja pindalaks tuleb 129,46.
  
  $Best cylinder: h = 2 r_{c} \Rightarrow V = 2 π r_{c}^{3}, A = 6 π r_{c}^{2}; r_{c} = 318 = 2.6207, A = 129.46$
3. Tee võrdlus ilma arvudeta ja r kukub välja. Ruumalade sobitamine sunnib peale r_kera³ = (3/2)r_sil³, ja pindalade suhe taandub kuupjuureks väärtusest 3/2, mis on 1,1447. See ongi see 14,5%, ja ta kehtib igas mõõdus.
  
  $r_{s}^{3} = \frac{3}{2} r_{c}^{3} ⟹ \frac{A _{cyl}}{A _{sph}} = \frac{6 π r _{c}^{2}}{4 π ( \frac{3}{2} ) ^{2/3} r _{c}^{2}} = 3 \frac{3}{2} = 1.1447 \Rightarrow + 14.5%$
4. Odavaimal koonusel on h = √8 r, mis teeb tema moodustaja täpselt 3r ja pindala 4πr². Sama taandumine jätab alles kuupjuure kahest, mis on 1,2599, seega 26,0%.
  
  $Best cone: h = 8 r_{n} \Rightarrow ℓ = 3 r_{n}, A = 4 π r_{n}^{2}, V = \frac{2 2}{3} π r_{n}^{3}; \frac{A _{cone}}{A _{sph}} = 32 = 1.2599 \Rightarrow + 26.0%$
5. Kaks väikeste murdude kuupjuurt on tugev vihje, et tööd teeb üks suurus, ja see on Q = 36πV²/A³. Ta ei kanna ühikuid ega liigu kujundi skaleerimisel. Kera annab 1, parim silinder ⅔ ja parim koonus täpselt ½.
  
  $Q = \frac{36 π V ^{2}}{A ^{3}} : Q_{sph} = 1, Q_{cyl} = \frac{2}{3}, Q_{cone} = \frac{1}{2}$
6. Q lahendab mõlemad eelseadistused korraga. Kinnisel ruumalal käib pind nagu Q astmes −⅓, mis annab tagasi 1,1447 ja 1,2599. Kinnisel pinnal käib ruumala nagu √Q, seega mahutab kera √(3/2) = 1,2247 korda silindri oma ja √2 = 1,4142 korda koonuse oma. Need ongi 22,5% ja 41,4% sama materjali kaartidel.
  
  $fixed V : A \propto Q^{- 1/3} \Rightarrow 1.1447, 1.2599; fixed A : V \propto Q^{1/2} \Rightarrow \frac{3}{2} = 1.2247, 2 = 1.4142$
7. Ja silindri ⅔ on seesama suhe, millega see leht algas. Pinda minimeeriv silinder on h = 2r, mis on Archimedese ümberjoonistatud silinder, ja seal mahutab kera kaks kolmandikku nii ruumalast kui ka pinnast. Pane see Q sisse ja ruudud ning kuubid jätavad alles (3/2)² ÷ (3/2)³ = ⅔.
  
  $\frac{V _{sph}}{V _{cyl}} = \frac{A _{sph}}{A _{cyl}} = \frac{2}{3} ⟹ Q_{cyl} = \frac{( 3/2 ) ^{2}}{( 3/2 ) ^{3}} = \frac{2}{3}$
Vastus

Sama fakt kaks korda. Q on isoperimeetriline jagatis — 1 kera puhul, kõigi teiste puhul vähem — ja neli protsenti on Q^(−1/3) − 1, kui ruumala on kinni, ja Q^(−1/2) − 1, kui materjal on. Üks arv kujundi kohta, loetuna sellel astendajal, mida eelarve parajasti küsib. Koonuse ½ ja silindri ⅔ on täpsed, mitte ümardatud, ja silindri oma on Archimedese suhe, mis saabub teist teed pidi: proportsioon, mis mähib kera kõige tihedamalt, on ka see, mis raiskab kõige vähem materjali.

$Q_{sph} = 1, Q_{cyl} = \frac{2}{3}, Q_{cone} = \frac{1}{2} : 14.5%, 26.0% = Q^{- 1/3} - 1 and 22.5%, 41.4% = Q^{- 1/2} - 1$

Allikad (2)

the sphere-to-circumscribing-cylinder volume and surface-area result Archimedes. On the Sphere and Cylinder, Book I, Propositions 33–34.
the sphere as the maximum-volume enclosure for a fixed surface area Burago, Y. D. and Zalgaller, V. A. (1988). Geometric Inequalities. Springer.

Ruumiliste kehade labor: kera, koonus ja silinder

Archimedes valis selle suhte oma tunnuseks 🖖

Üks kolmandik käib ruumala, mitte iga mõõdu kohta 🖖

Skaleerimine näitab ruut-kuupseadust 🖖

Püramiidid jäävad omaette laborisse 🖖

Näiteülesanded