Mitteelementaarsed integraalid

Mõnel integraalil puudub valem täielikult ning Joseph Liouville suutis seda tõestada. Proovi tema testi e^−x² ja polünoomi korrutise peal, vaata, miks vastus sõltub vaid ühest arvust, ning harjuta seejärel funktsioonidega, kus õige vastus võib olla Ei leidu.

Hulkliikme g korral	$\int g (x) e^{- x^{2}} d x = R (x) e^{- x^{2}} + C ⟺ \int_{- \infty}^{\infty} g (x) e^{- x^{2}} d x = 0$
Puuduva valemi nimi	$\int e^{- x^{2}} d x = \frac{π}{2} erf x + C$

Näidisarvutus — Mitteelementaarsed integraalid

g(x)·e⁻ˣ² pindala kogu reaalteljel	1,7725
g(x)·e⁻ˣ² elementaarne algfunktsioon	puudub

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Mitteelementaarsed integraalid

Funktsioon on elementaarne, kui selle saab moodustada muutujast x ja konstantidest lõpliku arvu liitmiste, korrutamiste, jagamiste, polünoomvõrrandite juurte, eksponentfunktsioonide ning logaritmide abil. Ka kompleksarvud on lubatud, mis toob sisse trigonomeetrilised funktsioonid ja nende pöördfunktsioonid. Integrandil on elementaarne algfunktsioon, kui leidub selline elementaarne F, et F′ = f. Liouville'i teoreem seab piirangud kujule, mis sellisel funktsioonil F olla saab. Funktsiooni f·e^g korral, kus f ja g on ratsionaalsed ning g ei ole konstant, taandub see üheks testiks. Elementaarne algfunktsioon leidub täpselt siis, kui seosel R′ + g′R = f on ratsionaalne lahend R, ja sel juhul on otsitav algfunktsioon R·e^g.

Mida iga sümbol tähendab

R: ratsionaalfunktsioon, mida Liouville'i test otsib; avaldise g(x)e^−x² puhul peab see olema polünoom
K: g₀ + g₂/2 + 3g₄/4 + 15g₆/8 + …, integraali ∫e^−x² dx kordne, mis jääb järele pärast ositi integreerimist: arvtelje pindala jagatud suurusega √π

Kust valem tuleb

Vastuse ainuvõimalik kuju. Liouville’i teoreem taandab otsingu üheleainsale kujule: kui integraalil ∫g(x)e^−x² dx leidub valem, on see mingi hulkliikme R korral R(x)e^−x². Võta sellest tuletis ja nõua, et tulemus võrduks g-ga.
$\int g (x) e^{- x^{2}} d x = R (x) e^{- x^{2}} \Rightarrow g = R^{'} - 2 x R$
Sobita astmed. Kui g on kolmanda astme hulkliige, on R ruuthulkliige. Liikmed x³ ja x saab alati sobitada. Liige x² ja vabaliige määravad aga mõlemad kordaja r₁: üks annab −g₂/2 ja teine g₀. Need langevad kokku vaid siis, kui g₀ + g₂/2 = 0.
$R = r_{2} x^{2} + r_{1} x + r_{0} : R^{'} - 2 x R = - 2 r_{2} x^{3} - 2 r_{1} x^{2} + (2 r_{2} - 2 r_{0}) x + r_{1} \Rightarrow r_{1} = g_{0} = - \frac{g _{2}}{2}$

Ei kehti, kui: Sellel lehel olev test hõlmab avaldisi kujul f·e^g, kus f ja g on ratsionaalsed, ning asenduse x = e^u kaudu ka integrande kujul x^m/ln x. Polünoomide ruutjuured nõuavad teistsugust lähenemist. Conradi 4.3 näide selgitab, miks ∫dx/√P(x) ei ole elementaarne ilma kordsete juurteta 3. või kõrgema astme polünoomi P korral. Hardy on omistanud Liouville'ile ka standardsed elliptilised integraalid, sealhulgas ellipsi kaare pikkuse.

Ülesanded täielikult lahendatud

Elementaarne naaber 2 sammu
Leia ∫x e^−x² dx.
1. Kuna x on −½ astendaja −x² tuletisest, teeme muutujavahetuse:
  
  $u = - x^{2}, d u = - 2 x d x, x d x = - \frac{1}{2} d u$
2. Üksainus eksponentfunktsioon:
  
  $\int x e^{- x^{2}} d x = - \frac{1}{2} \int e^{u} d u = - \frac{1}{2} e^{- x^{2}} + C$
Vastus

−½e^−x² + C. Üksainus x-tegur teebki kogu vahe siinse integraali ja integraali ∫e^−x² dx vahel, millele pole üldse mingit valemit.

$\int x e^{- x^{2}} d x = - \frac{1}{2} e^{- x^{2}} + C$
Neli komakohta astmereast 3 sammu
Arvuta ∫₀¹ e^−x² dx nelja komakohani.
Näita lahendust
1. Algfunktsiooni siin ei leidu, kuid funktsioonil e^−x² on astmerida, mida saab integreerida liikmeti:
  
  $e^{- x^{2}} = k \geq 0 \sum \frac{( - 1 ) ^{k} x ^{2 k}}{k !} \Rightarrow \int_{0}^{1} e^{- x^{2}} d x = k \geq 0 \sum \frac{( - 1 ) ^{k}}{k ! ( 2 k + 1 )}$
2. Liikmed on vahelduvate märkidega ja kahanevad. Liidame neid seni, kuni järgmine on tulemuse jaoks juba liiga väike:
  
  $1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{10} - \frac{1}{42} + \frac{1}{216} - \frac{1}{1320} + \frac{1}{9360} = 0.74684$
3. Vahelduvate märkidega rea viga on väiksem kui esimene välja jäetud liige:
  
  $∣ R ∣ < \frac{1}{7 ! \cdot 15} = \frac{1}{75600} \approx 1.3 \times 1 0^{- 5}$
Vastus

0,7468. Kui peatuda ühe liikme võrra varem, liikme 1/1320 juures, on veahinnang 1/9360 ≈ 1,1×10⁻⁴. See ei taga veel neljandat komakohta.

$\int_{0}^{1} e^{- x^{2}} d x \approx 0.7468$
Sama meetod funktsioonil sin(x²) 2 sammu
Arvuta ∫₀¹ sin(x²) dx nelja komakohani.
Näita lahendust
1. Ka funktsioonil sin(x²) puudub elementaarne algfunktsioon. Integreerime selle astmerea liikmeti:
  
  $sin x^{2} = k \geq 0 \sum \frac{( - 1 ) ^{k} x ^{4 k + 2}}{( 2 k + 1 )!} \Rightarrow \int_{0}^{1} sin x^{2} d x = k \geq 0 \sum \frac{( - 1 ) ^{k}}{( 2 k + 1 )! ( 4 k + 3 )}$
2. Kolm liiget ja neljas tõkestab vea:
  
  $\frac{1}{3} - \frac{1}{42} + \frac{1}{1320} = 0.31028, ∣ R ∣ < \frac{1}{75600}$
Vastus

0,3103. See on Fresneli integraal: Augustin Fresnel vajas seda 1818. aastal valguse difraktsiooniteooria jaoks.

$\int_{0}^{1} sin x^{2} d x \approx 0.3103$
Ositi integreerimine integraalini, millel pole valemit 3 sammu
Leia ∫x² e^−x² dx ning selle väärtus rajades 0 kuni ∞, kui on teada, et ∫₀^∞ e^−x² dx = √π/2.
Näita lahendust
1. Kirjutame x² e^−x² kujul x · x e^−x²; teise teguri algfunktsioon on esimesest ülesandest juba teada:
  
  $u = x, d v = x e^{- x^{2}} d x, v = - \frac{1}{2} e^{- x^{2}}$
2. Üks ositi integreerimise samm jätab alles integraali ∫e^−x² dx; sellel pole valemit, seega jätame ta praegusele kujule:
  
  $\int x^{2} e^{- x^{2}} d x = - \frac{1}{2} x e^{- x^{2}} + \frac{1}{2} \int e^{- x^{2}} d x$
3. Poollõigul [0, ∞) on rajaliige mõlemas otsas 0 ning järelejäänud integraal on juba teada:
  
  $\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{- x^{2}} d x = [- \frac{1}{2} x e^{- x^{2}}]_{0}^{\infty} + \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2} = \frac{π}{4}$
Vastus

−½x e^−x² + (√π/4) erf x + C ning poollõigul [0, ∞) saame √π/4 ≈ 0,4431. erf on nimi integraalile, millel pole valemit ja mida on skaleeritud nii, et see läheneb väärtusele 1.

$\int x^{2} e^{- x^{2}} d x = - \frac{1}{2} x e^{- x^{2}} + \frac{π}{4} erf x + C, \int_{0}^{\infty} x^{2} e^{- x^{2}} d x = \frac{π}{4} \approx 0.4431$
Kaks valemita osa, mis liituvad üheks 1 sammu
Leia ∫e^x(1/x − 1/x²) dx, kui x > 0.
Näita lahendust
1. Kumbki integraalidest ∫eˣ/x dx ja ∫eˣ/x² dx ei ole elementaarne. Diferentseerime aga jagatise reegli abil avaldist eˣ/x:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{e ^{x}}{x} = \frac{e ^{x} x - e ^{x}}{x ^{2}} = e^{x} (\frac{1}{x} - \frac{1}{x ^{2}})$
Vastus

eˣ/x + C. Liouville'i teoreem käib kogu integraalialuse funktsiooni kohta: summal võib leiduda valem ka siis, kui kummalgi liidetaval seda pole.

$\int e^{x} (\frac{1}{x} - \frac{1}{x ^{2}}) d x = \frac{e ^{x}}{x} + C$
Millise c korral leidub funktsioonile (4x⁴ + c)e^(−x²) algfunktsioon? 4 sammu
Millise c väärtuse korral on integrandil (4x⁴ + c)e^−x² elementaarne algfunktsioon ja mis see on? Selle lehe sisestuskastid lõppevad liikmega x³. Vajuta nupule Tasakaalus, et näha sama küsimust ühe astme võrra madalamana.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Ositi integreerides jätab iga x^2m järele teguri (2m − 1)!!/2^m korda ∫e^−x² dx. Liikme x⁴ puhul on see kordaja 3/4. Liidame ülejäägid kokku:
  
  $K = c + 4 \cdot \frac{3 \cdot 1}{2 ^{2}} = c + 3$
2. Valemi leidumiseks peab see ülejääk nullistuma:
  
  $K = 0 \Rightarrow c = - 3$
3. Seega R on astmega 3. Võrdsustades võrrandi R′ − 2xR = 4x⁴ − 3 astmeid kõrgeimast madalaimani:
  
  $- 2 r_{3} = 4, - 2 r_{2} = 0, 3 r_{3} - 2 r_{1} = 0, 2 r_{2} - 2 r_{0} = 0 \Rightarrow R = - 2 x^{3} - 3 x; r_{1} = - 3 = g_{0}$
4. Kontrollime tulemust tuletise võtmisega:
  
  $\frac{d}{d x} (- (2 x^{3} + 3 x) e^{- x^{2}}) = (- 6 x^{2} - 3 + 4 x^{4} + 6 x^{2}) e^{- x^{2}} = (4 x^{4} - 3) e^{- x^{2}}$
Vastus

c = −3 ja ∫(4x⁴ − 3)e^−x² dx = −(2x³ + 3x)e^−x² + C. Mistahes muu c väärtus jätab alles liidetava (c + 3)∫e^−x² dx, millel puudub valem, ning pindala üle kogu arvtelje on sel juhul nulli asemel (c + 3)√π.

$c = - 3 : \int (4 x^{4} - 3) e^{- x^{2}} d x = - (2 x^{3} + 3 x) e^{- x^{2}} + C$

e⁻ˣ² „valemi puudumine“ on teoreem 🖖

Vajuta nupule Kellukõver. Harjutusülesanne küsib integraali ∫3e^−x² dx ja sellele on õige vastus Ei leidu. Keegi ei oota enam nutikamat muutujate vahetust. Joseph Liouville tõestas 1830. aastatel, et ükski astmetest, juurtest, eksponentfunktsioonidest, logaritmidest ja trigonomeetrilistest funktsioonidest koosnev kombinatsioon ei anna tuletiseks funktsiooni e^−x², olenemata avaldise pikkusest. Liouville'i teoreemist lähtuvalt mahub viimane samm ühte lõiku, nagu on kirjas Brian Conradi märkmetes: kui leiduks elementaarne algfunktsioon, oleks see kujul R(x)e^−x², kus R on ratsionaalfunktsioon ning kehtiks seos R′ − 2xR = 1. Polünoom R muudaks vasaku poole astme liiga kõrgeks. Funktsiooni R poolus tekitaks tuletises R′ ühe võrra kõrgemat järku pooluse, mida kumbki pool ei saa taandada. Ometi algfunktsioon eksisteerib. Alumine paneel joonistab selle Simpsoni valemi abil sujuvalt tõusva kõverana ja tulemuseks on ∫₀¹ 3e^−x² dx = 2,2405. Puudu on vaid valem, mitte funktsioon ise. Matemaatikud on andnud selle skaleeritud versioonile nimeks veafunktsioon erf(x) = (2/√π)∫₀ˣ e^−t² dt. Seega on harjutusülesande algfunktsiooniks (3√π/2)·erf(x) + C. Vajuta valikut 1/ln x: sama teoreem välistab asenduse x = e^u kaudu valemi ka logaritmintegraalile ∫dx/ln x, kuid leht joonistab selle algfunktsiooni sellegipoolest välja.

Polünoomiga korrutatud funktsioonil e⁻ˣ² leidub valem parajasti siis, kui selle pindala kogu reaalteljel on null 🖖

Liouville'i testi saab lisaks tsiteerimisele ka reaalselt läbi teha. Sisesta lahtritesse kuuppolünoom g ja lahenda samm-sammult. Integraali ∫g(x)e^−x² dx valem peaks olema kujul R(x)e^−x², kus R on polünoom. Seega R′ − 2xR peab võrduma g-ga. Võrdsustades muutuja astmeid ülevalt alla leiame otsitava R-i või jõuame vabaliikme juures vastuoluni. Vajuta nupule x²·e⁻ˣ². Nende sammudega saame esmalt R = −½x ning järgnevalt nõude, et −½ peab võrduma 0-ga. Kuna see on võimatu, siis valem puudub ja pindala üle kogu arvtelje on √π/2 = 0,8862. Vajuta valikut Tasakaalus, mis uurib avaldist (2x² − 1)e^−x². Sammude tulemusel leiame R = −x, mistõttu integraal on −xe^−x² + C ning pindala 0,0000. Need kaks fakti on tegelikult üks ja sama asi. Valem R(x)e^−x² hääbub mõlemas lõpmatuses, mistõttu nendevaheline pindala F(∞) − F(−∞) on null. Ositi integreerides taandub iga avaldis x^2me^−x² valemiks, millele on liidetud integraali ∫e^−x² dx kindel kordne. See kordaja on võrdne pindalaga, mis on jagatud teguriga √π. Arvudes väljendatult: valem leidub täpselt siis, kui g₀ + g₂/2 = 0 ning paaritud astmed ei oma siin tähtsust. Roheline ja punane varjutus muudavad selle visuaalselt selgeks, sest need alad peavad teineteist nullima.

Loenda kokku sama perekonna integrandid ja selgub, et valemiga variante peaaegu polegi 🖖

Liouville'i teoreem käib otse sinu ees oleva integrandi kohta. See ei ütle, millisel osal integraalidest puudub valem. Seda polegi võimalik öelda, sest sõna „enamik“ nõuab funktsioonide perekonda ja viisi nende loendamiseks. Loendame siis üht sellist perekonda. Võtame kõik kuuppolünoomid g, mille täisarvulised kordajad on vahemikus −3 kuni 3. Neid on kokku 2401. Pärast e^−x²-ga korrutamist leidub vaid 147 ehk 6,12% juhul elementaarne algfunktsioon. Need on täpselt need integrandid, mille korral g₂ = −2g₀. See vastab kolmele valendavale ruudule 49-st, kusjuures g₁ ja g₃ võivad olla suvalised. Kui laiendada kordajate ulatust vahemikuni −10 … 10, langeb osakaal 2,49% peale. Vahemikus −100 … 100 on see vaid 0,25%. Nagu tabelist näha, jagab iga kümnekordne ulatuse laiendamine osakaalu umbes kümnega. Valemi leidumiseks on vajalik kordajate täpne kokkulangevus. See on võrreldav pidevalt kasvava ruudu sisse tõmmatud joonega. Harjutusülesanne annab sulle valemi ligikaudu pooltel kordadel vaid seetõttu, et see on spetsiaalselt nii koostatud. Kui aga valida juhuslik integrand sellest perekonnast, siis peaaegu ühelgi neist valemit ei leiduks.

Õpitee

Integreerimismeetodid

Allikad (2)

The criterion the page runs: “Choose f, g ∈ ℂ(X) with f ≠ 0 and g nonconstant. The function f(x)e^g(x) can be integrated in elementary terms if and only if there exists a rational function R ∈ ℂ(X) such that R′(X) + g′(X)R(X) = f(X)” (Theorem 4.4, p. 8), deduced from Liouville's theorem (Theorem 4.1) and proved in §5; applied to e^(−x²) in Example 4.6 and to eˣ/x, equivalently dt/log t, in Example 4.7 (pp. 9–10). Example 4.3 gives ∫dx/√P(x) for P of degree 3 or more without repeated roots: B. Conrad, “Impossibility theorems for elementary integration”, Clay Mathematics Institute Academy Colloquium lecture notes (2005), Theorems 4.1 and 4.4, Examples 4.3, 4.6 and 4.7.
Liouville's results and their dates: the theorem that an elementary ∫eˣy dx (y algebraic) must be eˣ times a rational expression in y, from his 1835 memoir in Crelle's Journal (vol. 13, pp. 93–118), with “the ‘logarithm-integral’ … is really a new transcendent” (ch. VI §4, pp. 58–59); the reduction of every ∫eˣR(x) dx to ∫eˣ/x dx (p. 58, the eˣ(1 − 1/x)³ and eˣ(1 − 2/x)² examples); a footnote crediting the general method with “the ‘error function’ integral ∫e^(−x²) dx is not an elementary function” (§5, p. 59); Liouville's proof for the standard elliptic integrals (ch. V §19, p. 47); and the bibliography of his memoirs, 1833–1840: G. H. Hardy, The Integration of Functions of a Single Variable, 2nd ed., Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics no. 2, Cambridge University Press (1916), Chapter V §19, Chapter VI §§4–5, and Appendix I.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.