Numbrilise integreerimise labor

Hinda pindala kõvera all või kahe funktsiooni vahel ning vaata, kuidas arvulised meetodid integraali lähendavad.

Näidisarvutus — Numbrilise integreerimise labor

Määratud väärtus	2.666667
Täpne integraal	2.666667
Vorm	1x+0

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

kahekordista ribade arv ja Simpson paraneb kuusteist korda 🖖

Kõik siinsed meetodid koonduvad; küsimus on vaid kiiruses. Kui kahekordistada lõigul [0; 1] funktsiooni e^x jaoks ribade arv, väheneb vasakpoolse summa viga 2 korda, keskpunkti- ja trapetsmeetodi viga 4 korda ning Simpsoni meetodi viga 16 korda. Simpsoni meetod kasutab igal ribal kolme proovipunkti, vasakpoolne summa vaid üht, seega tuleb teha kolm korda rohkem arvutusi. Selle funktsiooni korral on Simpsoni tulemus juba n = 8 puhul kuue suurusjärgu võrra täpsem.

suumi sisse ja iga kõver sirgub 🖖

Numbrilisel integreerimisel jaotatakse kõvera alune piirkond kitsasteks ribadeks. Iga riba täidetakse lihtsa kujundiga, näiteks ristküliku, trapetsi või väikese parabooliga, ning saadud pindalad liidetakse. Ühe kitsa riba piires näib isegi järsult muutuv kõver peaaegu sirge, mistõttu sobib lihtne kujund sinna üllatavalt hästi. Jälgi tsüaansinist ala: mida õhemad on ribad, seda väiksem saab olla ühe riba viga, olenemata valitud kujundist.

Simpsoni valem on Simpsonist vanem 🖖

Johannes Kepler avaldas 1615. aastal Simpsoni meetodi paneelivalemi, mida kasutab ka see tööriist: S = (Δx/6)(f(x_L) + 4f(x_M) + f(x_R)). Ta rakendas seda veinivaatide ruumala hindamiseks. Saksa keeles nimetatakse valemit tänini Keplersche Fassregel’iks. Thomas Simpson pani selle kirja 1743. aastal, sajand ja veerand hiljem. Kepler vajas valemit, sest vaadi kumerale küljele ei ole lihtsat pindalavalemit.

NUMBRILISE INTEGREERIMISE TEOORIA — VIIS VIISI PINDALA MÕÕTA

Reegli valik: millise kujundi paned kõvera alla?

Iga reegel jagab lõigu [a, b] n ribaks ja asendab kõvera igas ribas millegagi, mida saab täpselt mõõta. Reeglid erinevad ainult selle asenduskujundi poolest — rõhtjoon ribaotsas, rõhtjoon keskel, kaldjoon või parabool — ja just see valik määrab vea ning selle, kui kiiresti see ribade lisamisel kahaneb.

Vasakpoolsed ristkülikud — lame vasakus servas h · Σ f(x_i)

Parempoolsed ristkülikud — lame paremas servas h · Σ f(x_i+1)

Keskpunkti ristkülikud — lame keskel h · Σ f(x_i + h/2)

Trapetsireegel — sirge üle riba (h/2) · Σ [f(x_i) + f(x_i+1)]

Simpsoni reegel — parabool läbi kolme punkti (h/3) · [f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + f_n]

Vasakpoolsed ristkülikud — lame vasakus servas

Kasutatav kujund: Üks ristkülik riba kohta, kõrgus võetud riba vasakust otspunktist.

Reegel: h · Σ f(x_i)

Vea käitumine: Tõusva kõvera korral jääb iga ristkülik selle alla, seega summa alahindab. Riba laiuse poolitamine vähendab vea umbes poole võrra.

Ava see juht: Vasak, 50 riba

Vasakpoolsed ristkülikud — lame vasakus servas. Iga riba on vasakusse serva kinnitatud ristkülik, mistõttu kiil kõverast jääb arvestamata. Üks ristkülik riba kohta, kõrgus võetud riba vasakust otspunktist. — Iga riba on vasakusse serva kinnitatud ristkülik, mistõttu kiil kõverast jääb arvestamata.

Parempoolsed ristkülikud — lame paremas servas

Kasutatav kujund: Üks ristkülik riba kohta, kõrgus võetud hoopis paremast otspunktist.

Reegel: h · Σ f(x_i+1)

Vea käitumine: Samal tõusval kõveral ulatub iga ristkülik nüüd sellest kõrgemale, ületades umbes sama palju, kui vasak reegel kaotas.

Ava see juht: Parem, 8 riba

Parempoolsed ristkülikud — lame paremas servas. Samad ribad, kõrgus paremas servas — nihe muudab märki. Üks ristkülik riba kohta, kõrgus võetud hoopis paremast otspunktist. — Samad ribad, kõrgus paremas servas — nihe muudab märki.

Keskpunkti ristkülikud — lame keskel

Kasutatav kujund: Üks ristkülik riba kohta, kõrgus loetud riba keskelt, mitte kummastki otsast.

Reegel: h · Σ f(x_i + h/2)

Vea käitumine: Ülejääk riba ühel poolel tasakaalustab puudujäägi teisel. h poolitamine vähendab vea umbes neljandikuni.

Ava see juht: Arkustangens

Keskpunkti ristkülikud — lame keskel. Keskelt mõõtmine laseb iga riba kahel veal teineteist tasandada. Üks ristkülik riba kohta, kõrgus loetud riba keskelt, mitte kummastki otsast. — Keskelt mõõtmine laseb iga riba kahel veal teineteist tasandada.

Trapetsireegel — sirge üle riba

Kasutatav kujund: Iga riba muutub trapetsiks, mis ühendab kõvera väärtused riba mõlemas otsas.

Reegel: (h/2) · Σ [f(x_i) + f(x_i+1)]

Vea käitumine: exp(x) lõigul [0, 1] ja n = 8: kõõlud jäävad kumerast kõverast kõrgemale, seega hinnang tuleb liiga suur.

Ava see juht: Eksponentkõver

Trapetsireegel — sirge üle riba. Kõõlud üle iga riba: kumerast kõverast kõrgemal, nõgusast madalamal. Iga riba muutub trapetsiks, mis ühendab kõvera väärtused riba mõlemas otsas. — Kõõlud üle iga riba: kumerast kõverast kõrgemal, nõgusast madalamal.

Simpsoni reegel — parabool läbi kolme punkti

Kasutatav kujund: Ribad võetakse paaridena ja neid hõlmava kolme punkti kaudu sobitatakse parabool. Nõuab paarisarvulist n.

Reegel: (h/3) · [f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + f_n]

Vea käitumine: sin(x) lõigul [0, π] annab juba n = 10 korral täpse väärtuse 2 mitme kümnendkohani.

Ava see juht: Sujuv Simpson

Simpsoni reegel — parabool läbi kolme punkti. Üks parabool iga ribapaari kohta, mis liibub kõverale palju tihedamalt kui kõõl. Ribad võetakse paaridena ja neid hõlmava kolme punkti kaudu sobitatakse parabool. Nõuab paarisarvulist n. — Üks parabool iga ribapaari kohta, mis liibub kõverale palju tihedamalt kui kõõl.

Allikad (1)

Insight block 3 — Simpson's rule, a century before Simpson: J. Kepler, Nova stereometria doliorum vinariorum. Linz, 1615 — the Keplersche Fassregel, derived to gauge the volume of wine barrels.

Ülesanne täielikult lahendatud

Trapetsivalem n = 8 korral e x jaoks 5 sammu
Integreeri e^x rajades 0 kuni 1 kaheksa trapetsiga ning leia täpselt vastuse viga, enne kui seda millegagi võrdled. See on trapetsreegel parameetriga n = 8 funktsioonile e^x lõigul [0, 1] — ainus integreeritav funktsioon, mille korral saab hinnangu kirjutada kinnisel kujul.
1. Trapetsreegel võtab iga riba kahe otsakõrguse keskmise, seega iga sisemist kõrgust võetakse arvesse üks kord ja kahte välimist poole võrra. Funktsiooni e^x korral ühtlase sammuga võrgustikul ei ole need kõrgused kaheksa sõltumatut arvu: igaüks neist on eelmine korrutatuna arvuga e^1/8.
  
  $T = h [\frac{f _{0} + f _{8}}{2} + k = 1 \sum 7 f_{k}], h = \frac{1}{8}, f_{k} = e^{k /8} = r^{k}, r = e^{1/8} = 1.133148$
2. Muutuja r järjestikused astmed summeeruvad geomeetrilise reana, mistõttu seitse sisemist kõrgust taanduvad üheksainsaks jagatiseks. Arvu r kaheksas aste on täpselt e, mis teebki lõigu [0, 1] selle tegemiseks mugavaks.
  
  $k = 1 \sum 7 r^{k} = \frac{r ^{8} - r}{r - 1} = \frac{e - r}{r - 1} = \frac{1.585134}{0.133148} = 11.905008$
3. Sulgudes oleva avaldise korrutamine riba laiusega viib hinnangu lõpule. Seni pole miski ligikaudne, välja arvatud algne otsus asendada kõverate ribade ülaääred sirgetega.
  
  $T = \frac{1}{8} [\frac{1 + e}{2} + 11.905008] = \frac{1}{8} [1.859141 + 11.905008] = 1.720519$
4. Nüüd tee samad kolm rida läbi kümnendmurde kasutamata. Otsapunktide keskmisel ja geomeetrilisel jagatisel on ühine tegur ning pärast taandamist jääb järele e − 1 — täpne integraal —, mida on korrutatud üksnes arvust h sõltuva suurusega. Trapetsreegel ei ligikaudistanud siin funktsiooni e^x; see skaleeris täpset vastust teguriga, mis ei tea kõverast midagi.
  
  $T = h [\frac{1 + e}{2} + \frac{e - r}{r - 1}] = \frac{h ( e - 1 ) ( r + 1 )}{2 ( r - 1 )} = (e - 1) \cdot \frac{h}{2} coth \frac{h}{2}$
5. See tegur on x coth x kohal x = h/2 ja see on x suhtes paaris, mistõttu selle rida algab 1 + x²/3 ega sisalda lineaarliiget, mille pärast muretseda. Kohal x = h/2 on see 1 + h²/12 ning 1/12, mida iga õpik trapetsreegli veahinnangus toob, ongi vaid selle rea kordaja ega midagi muud. Järgmine liige, −h⁴/720, on vaid 3,4 × 10⁻⁷, seega määrab juba pealiige üksi vea kuue tüvenumbri täpsusega.
  
  $x coth x = \frac{x cosh x}{sinh x} = \frac{1 + \frac{x ^{2}}{2} + \dots}{1 + \frac{x ^{2}}{6} + \dots} = 1 + \frac{x ^{2}}{3} + \dots, x = \frac{h}{2} ⟹ T - I = \frac{I h ^{2}}{12} = \frac{1.718282}{768} = 0.0022373$
Vastus

Tööriist kuvab hinnanguks 1,720519 täpse väärtuse 1,718282 vastu, ning erinevus 0,0022368 on see, mida I·h²/12 = 0,0022373 prognoosis üksnes võrgustiku sammu põhjal. Mõlemad arvud olid teada juba enne, kui funktsiooni e^x kuskil arvutati, mis ongi asja tegelik sisu: trapetsreegli viga selle integraali korral on arvu h omadus, mitte integreeritava funktsiooniga seotud saladus. Seaduspäraga h² kaasnev hind on kõrge. Tööriista poolt tõeseina kuvatud kuue kümnendkohani jõudmiseks on vaja 462 riba — 463 funktsiooni e^x kõrgust —, samal ajal kui tööriista Simpsoni reegel, mis kaalub iga paneeli vasakut, keskmist ja paremat kõrgust suhtega 1 : 4 : 1, annab tulemuseks 1,718282 juba kuue paneeli ehk kolmeteistkümne kõrguse juures. See kolmekümne viiekordne vahe ei anna matemaatiliselt midagi uut; see on vaid teistsugune keskmine kõrgustest, mille kõrval trapetsreegel juba seisis.

$T = I \cdot \frac{h}{2} coth \frac{h}{2} = I (1 + \frac{h ^{2}}{12} - \frac{h ^{4}}{720} + \dots)$

Õpitee

Kolm numbrilist meetodit ja kus nad hätta jäävad

Viib edasi Euleri meetod

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-08-17

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Matemaatika õppetunnid →

Näiteülesanded

Vasak, 50 riba - Viiekümne vasakpoolse ristküliku korral jääb x² tulemusest endiselt 0,0795 puudu. Otspunktist tingitud nihe ei kao n-i kasvades, vaid kahaneb sellega pöördvõrdeliselt.
Parem, 8 riba - Kaheksa parempoolset ristkülikut annavad 3,1875, kaheksa vasakpoolset aga 2,1875. Vahe on täpselt 1 ehk h korda f(2) - f(0), sõltumata sellest, kuidas kõver vahepeal kulgeb.
Sujuv Simpson - Funktsioon sin(x) lõigul [0; π] kümne Simpsoni paneeliga: 2,00000678 täpse väärtuse 2 asemel. Kümne ribaga saadakse kuus õiget numbrikohta.
Eksponentkõver - Kaheksa trapetsi annavad funktsiooni e^x korral 1,720519, täpne väärtus on 1,718282. Allpool lahendatud ülesandes esitatakse see lähend kinnisel kujul ja selgitatakse täpselt, miks see on liiga suur.
Arkustangens - 1/(1+x²) on paarisfunktsioon, seega on lõigul [-2; 2] vasak- ja parempoolne summa võrdsed: 2,211342. Kumbki ei piira tegelikku väärtust ühelt poolt. Keskpunktmeetod annab 2,215772, täpne väärtus on 2,214297.
Parabooli ja sirge vahel - x² ja x lõikuvad lõigu [-1; 2] sees kaks korda, mistõttu on märgiga pindala väiksem kui nendevaheline pindala. Simpsoni meetod annab täpselt 1,5, sest funktsioonide vahe on ruutfunktsioon.
Siinuse ja koosinuse vahel - Funktsioon sin(x) - cos(x) lõigul [0; π] kaheksateistkümne trapetsiga: 1,994920 täpse väärtuse 2 asemel.
Kohandatud - Ruutfunktsiooni ja lineaarfunktsiooni vahe on endiselt ruutfunktsioon. Simpsoni meetod on selle puhul täpne, seega kuvatakse paneelil veatu tulemus 9,25.