Numbrilise integreerimise labor
Hinda pindala kõvera all või kahe funktsiooni vahel ning vaata, kuidas arvulised meetodid integraali lähendavad.
miks Simpsoni meetod võib tunduda peaaegu täpne 🖖
Numbriline integreerimine ei tähenda ainult ühe hinnangu saamist, vaid vea käitumise mõistmist. Vasak ja parem summa kannavad otspunkti nihet, keskpunkti ja trapetsi meetod paranevad siledatel funktsioonidel tavaliselt teist järku koondumiskiirusega ning Simpsoni meetod paraneb sageli palju kiiremini. Kui n kahekordistamine muudab hinnangut vaid vähe, on lähendus tõenäoliselt stabiilses režiimis.
suumi sisse ja iga kõver sirgub 🖖
Numbriline integreerimine tükeldab kõvera all oleva ala õhukesteks ribadeks ja täidab iga riba lihtsa kujundiga — ristküliku, trapetsi või väikese parabooliga — ning liidab tükid kokku. Trikk on selles, et kitsa riba sees näib isegi metsik kõver peaaegu sirge, nii et lihtne kujund sobib üllatavalt hästi. Jälgi tsüaanvärvi täidist: mida õhemad ribad, seda vähem loeb kujundi valik, sest järele jääb vähem kõverat, mida mööda lasta.
Simpsoni valem on Simpsonist vanem 🖖
Paneelivalem, mida see tööriist Simpsoni jaoks kasutab, S = (Δx/6)(f(x_L) + 4f(x_M) + f(x_R)), on identne reegliga, mille Johannes Kepler avaldas 1615. aastal veinivaatide ruumala mõõtmiseks — Kepleri vaadivalem — enam kui sajand enne seda, kui Thomas Simpson selle 1743. aastal kirja pani. Klassikaline näide sellest, kuidas meetodi nimi elab üle oma tegeliku leiutaja. Kepler vajas seda, sest vaadi punnis küljel pole lihtsat pindalavalemit.
Näiteülesanded
- Jäme vasak - Isegi suure n korral näitavad vasakpoolsed ristkülikud kumeral kõveral vasaku otspunkti nihet.
- Sujuv Simpson - Sujuval funktsioonil sin(x) koondub Simpsoni meetod kiiresti tegeliku pindalani.
- Eksponentkõver - Funktsiooni exp(x) puhul kipub trapetsimeetod tulemust ülehindama, sest kõver on ülespoole kumer.
- Arkustangens - Keskpunktimeetod tabab tõkestatud kõvera 1/(1+x^2) kuju juba mõõduka jaotuste arvuga.
- Parabooli ja sirge vahel - Vahepindala integreerimine jälgib parabooli ja sirge vahelist märgiga pindala.
- Siinuse ja koosinuse vahel - Kõverate-vahelise pindala režiim integreerib valitud vahemikus avaldise sin(x)-cos(x).
- Kohandatud - Kohandatud eelseadistus ühendab ühes stsenaariumis teisendatud parabooli ja sirge kordajad.