Euleri meetodi visualiseerija

muuda sammu suurust ja jälgi, kuidas globaalne viga koguneb

Näidisarvutus — Euleri meetodi visualiseerija

Euleri y(xn)	7.000266
Täpne y(xn)	7.000671
Absoluutne globaalne viga	0.000405
Viga / sammu suurus	0.002025
Lõpp-punkti viga sammuga h/2	0.000234
Vea suhe	1.731285
Euleri kordaja	0.8

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Sammu poolitamine poolitab vaid vea 🖖

Euler liigub mööda puutujat edasi: y_n+1 = y_n + h · f(x_n, y_n). Ühe sammu viga on ligikaudu h²/2 korda lahendi teine tuletis. See on väike. Ent h vähendamine suurendab ka sammude arvu: fikseeritud pikkusega vahemikus tehakse neid 1/h. Nii kuhjuvad h²-suurused vead koguveaks, mis on võrdeline h-ga, mitte h²-ga. Esimest järku meetod tähendabki üht h astet ning see määrab täpsuse hinna: iga järgmine õige kümnendkoht nõuab kümme korda rohkem arvutusi.

Järgi tõusu samm-sammult 🖖

Euleri meetod on lihtsaim aus lähend: liigu oma praegusest asukohast suunas, kuhu võrrandi järgi kulgeb kõver, tee lühike samm h ning määra siis suund uuesti. Täpne kõver pöördub samal ajal edasi, sirglõik aga ei arvesta selle kõverusega ja kaldub kõrvale. Kõrvalekalle on alati samasuunaline: ülespoole kumera kõvera korral jääb lähend selle alla, allapoole kumera korral selle kohale. Kõik seitse siinset näidet käituvad nii. Paneel näitab lõpp-punkti viga kaks korda, sammupikkustel h ja h/2, et nende vigade suhet saaks kohe võrrelda.

Kus arv e Euleri meetodis peitub 🖖

Rakenda Euleri meetodit võrrandile y' = y algväärtusega y = 1 ja iga samm lihtsalt korrutab teguriga (1 + h). Tee N sammu pikkusega h = 1/N lõigul [0, 1] ja tulemus on täpselt (1 + 1/N)^N — liitintressi valem. N kasvades koondub see arvule e ≈ 2.71828, nii et Euleri toored sirgjoonelised sammud taastavad vaikselt pideva intressiarvestuse ja eksponentfunktsiooni definitsiooni.

EULERI MEETOD — SAMMU PIKKUS OTSUSTAB, KAS VASTUS ÜLDSE MIDAGI TÄHENDAB

Millises sammupikkuse juhtumis sa oled?

Euler võtab tõusu sealt, kus ta parasjagu seisab, ja kõnnib sirgjooneliselt h jagu, enne kui uuesti vaatab: yₙ₊₁ = yₙ + h·f(xₙ, yₙ). Kõik, mis untsu läheb, on seotud h-ga. Piisavalt väike ja viga kahaneb võrdeliselt; liiga suur ja vastus võngub või plahvatab; ja ükski h ei kaitse sind lahendi eest, mis jookseb lõpmatusse, samal ajal kui ekraanil olevad arvud jäävad rahulikuks.

Mõistlik samm — viga on olemas, aga väike y_n+1 = y_n + h f(x_n, y_n)

Samm liiga suur — vastus võngub tõe ümber |1 + hλ| > 1

Peen samm — maksad tööga, mitte täpsusega ε ∝ h

Täpne lahend pageb lõpmatusse — ja Euler ei märka seda y′ = y² ⇒ y → ∞, x < ∞

Mõistlik samm — viga on olemas, aga väike

Mida sa tead: Sile ja stabiilne võrrand sammuga tublisti stabiilsuspiiri sees. Numbriline kõver järgib täpset ja jääb sellest veidi maha.

Samm: y_n+1 = y_n + h f(x_n, y_n)

Näidisarvutus: y′ = x − y algtingimusega y(0) = 1 ja h = 0,2 → x = 2 juures annab Euler 1,2147 täpse 1,2707 asemel, viga 0,056

Ava see juhtum: lineaarne, stabiilne

Mõistlik samm — viga on olemas, aga väike. Sirged sammud püsivad tõelise kõvera lähedal ja kalduvad järjekindlalt ühele poole. Sile ja stabiilne võrrand sammuga tublisti stabiilsuspiiri sees. Numbriline kõver järgib täpset ja jääb sellest veidi maha. — Sirged sammud püsivad tõelise kõvera lähedal ja kalduvad järjekindlalt ühele poole.

Samm liiga suur — vastus võngub tõe ümber

Mida sa tead: Kahanev võrrand, kus h on ületanud punkti, kus üks samm hüppab tasakaalust üle. Täpne lahend ei vaheta kunagi märki, numbriline vahetab.

Samm: |1 + hλ| > 1

Näidisarvutus: y′ = −2y sammuga h = 0,6 → 1, siis −0,2; 0,04; −0,008: juba esimene samm hüppab nullist mööda, kuigi täpne väärtus x = 0,6 juures on 0,301

Ava see juhtum: lagunemine, suur h

Samm liiga suur — vastus võngub tõe ümber. Üks samm hüppab teljest üle, nii et arvud vahetavad märki, kuigi tõeline lahend ei vaheta kunagi. Kahanev võrrand, kus h on ületanud punkti, kus üks samm hüppab tasakaalust üle. Täpne lahend ei vaheta kunagi märki, numbriline vahetab. — Üks samm hüppab teljest üle, nii et arvud vahetavad märki, kuigi tõeline lahend ei vaheta kunagi.

Peen samm — maksad tööga, mitte täpsusega

Mida sa tead: Sama võrrand palju väiksema sammuga. Viga langeb võrdeliselt h-ga ja sammude arv kasvab pöördvõrdeliselt.

Samm: ε ∝ h

Näidisarvutus: y′ = −2y kohal x = 0,6: h = 0,1 korral on viga 0,039, h = 0,05 korral 0,019 — pool sammu, pool viga, kaks korda rohkem samme

Ava see juhtum: lagunemine, väike h

Peen samm — maksad tööga, mitte täpsusega. Sammu poolitamine poolitab vahe täpse kõveraga ja kahekordistab sammude arvu. Sama võrrand palju väiksema sammuga. Viga langeb võrdeliselt h-ga ja sammude arv kasvab pöördvõrdeliselt. — Sammu poolitamine poolitab vahe täpse kõveraga ja kahekordistab sammude arvu.

Täpne lahend pageb lõpmatusse — ja Euler ei märka seda

Mida sa tead: Mittelineaarne võrrand, mille tõelisel lahendil on lõpliku x juures vertikaalne asümptoot. Numbriline lahend purjetab sellest mööda ja tagastab edasi täiesti tavalisi arve.

Samm: y′ = y² ⇒ y → ∞, x < ∞

Näidisarvutus: y′ = y² algtingimusega y(0) = 0,18 plahvatab kohal x = 1/0,18 = 5,56, ometi teatab Euler sammuga h = 0,18 kohal x = 4,32 mõnusa 0,68, kus tõeline väärtus on juba 0,81

Ava see juhtum: ruutkasv

Täpne lahend pageb lõpmatusse — ja Euler ei märka seda. Tõeline kõver muutub lõpliku x juures vertikaalseks, numbriline jalutab rahulikult mööda. Mittelineaarne võrrand, mille tõelisel lahendil on lõpliku x juures vertikaalne asümptoot. Numbriline lahend purjetab sellest mööda ja tagastab edasi täiesti tavalisi arve. — Tõeline kõver muutub lõpliku x juures vertikaalseks, numbriline jalutab rahulikult mööda.

Allikad (1)

The method, as Euler set it out: L. Euler, Institutiones calculi integralis, Volume I. Academia Imperialis Scientiarum, Saint Petersburg, 1768.

Levinud vale arusaam

Rohkem samme ei taga iseenesest täpsust. Kui h on kõverusega võrreldes ikka liiga suur, jääb Euleri meetod kallutatuks.

Ülesanne täielikult lahendatud

Euleri vastus kohal x = 8 võrrandile y′ = x − y 5 sammu
Kirjuta Euleri vastus kohal x = 8 ilmutatud kujul ilma ainustki sammu astumata ning selgita, miks h poolitamine ei vähenda viga poole võrra. See on y′ = x − y algtingimusega (0, 1), kus h = 0,2 ja samme on 40.
1. Alusta tulemusest, mille poole Euler pürgib. Võrrand on lineaarne, x − 1 on erilahend ja algtingimus fikseerib hääbuva osa kordajaks 2.
  
  $y^{'} = x - y, y (0) = 1 ⟹ y = x - 1 + 2 e^{- x}, y (8) = 7 + 2 e^{- 8} = 7.000671$
2. Euleri reegel selle võrrandi puhul ei ole üldine mittelineaarne segadus — see on afiinne rekurentsseos. Ning seesama x − 1, mis lahendas diferentsiaalvõrrandi, lahendab rekurentsseose täpselt, samm-sammult. Euler leiab vastuse lineaarse osa täiesti õigesti.
  
  $y_{n + 1} = y_{n} + h (x_{n} - y_{n}) = (1 - h) y_{n} + h x_{n}, y_{n} = x_{n} - 1 ⟹ y_{n + 1} = x_{n} - 1 + h = x_{n + 1} - 1$
3. Seega peitub kogu viga ülejäägis, ning ülejääk kujutab endast geomeetrilist jada teguriga 1 − h. Nelikümmend tegurit 0,8 annavad paneeli lõpp-punkti ilma ühtegi sammu astumata.
  
  $y_{n} = x_{n} - 1 + 2 (1 - h)^{n} ⟹ y_{40} = 7 + 2 (0.8)^{40} = 7 + 2.658456 \times 1 0^{- 4} = 7.000266$
4. Nüüd pane kaks hääbuvat osa kõrvuti: tegelik on e^−x, Euleri oma on (1 − h)^x/h. Mõlemad on eksponentsiaalsed x-i suhtes ning δ on kogu erinevus nende kahanemiskiiruste vahel. Selle rida algab liikmega xh/2 — see juhtiv h moodustabki väljendi “esimest järku” kogu sisu.
  
  $(1 - h)^{x / h} = e^{- x - δ}, δ = x (\frac{- ln ( 1 - h )}{h} - 1) = \frac{x h}{2} + \frac{x h ^{2}}{3} + \dots = 0.925742$
5. Viga on see, mis jääb järele kahe eksponentsiaalfunktsiooni lahutamisel. Esimest järku täpsus ennustab, et h poolitamine poolitab ka vea, seega peaks suhe olema 2.
  
  $E_{h} = 2 e^{- x} (1 - e^{- δ}) : E_{0.2} = 0.000405, E_{0.1} = 0.000234, \frac{E _{0.2}}{E _{0.1}} = \frac{1 - e ^{- 0.925742}}{1 - e ^{- 0.428841}} = \frac{0.603763}{0.348737} = 1.731285$
Vastus

Euleri tulemus lõpus on 7,000266 täpse 7,000671 vastu, mis annab globaalseks veaks 0,000405; sammu poolitamisel väheneb see vaid väärtuseni 0,000234, mis annab suhteks 1,731285, kuigi esimest järku täpsus lubas arvu 2. Seda lubadust ei ole murtud — see pole veel kehtima hakanudki. Selleks peab δ ≈ xh/2 olema väike, kuid kohal x = 8 sammuga h = 0,2 on see arv 0,8, seega võistleb vea lineaarne liige endiselt kõigi selle taga olevate liikmetega; vaadeldava suhte viimiseks väärtuseni 1,9933 on vaja sammu h = 0,005, mis tähendab 1600 sammu üle sama kaheksa ühiku. Ilmutatud kuju paljastab täpsema tõlgenduse: Euler ei lähenda seda lahendit, vaid lahendab täpselt teist võrrandit, kus geomeetriline hääbumine 0,8ⁿ asendab liikmet e^−x — ning 0,8 on kordaja 1 + hλ, mida paneel juba kuvab. Ainuüksi selle hääbuva osa põhjal mõõdetuna eksib Euler 60%. Globaalne viga näib pisike vaid seetõttu, et osa, milles ta eksib, on selleks ajaks, kui x jõuab väärtuseni 8, peaaegu hääbunud.

$\frac{E _{h}}{E _{h /2}} = \frac{1 - e ^{- δ_{h}}}{1 - e ^{- δ_{h /2}}} ⟶ 2 (δ ≪ 1), δ_{h} \approx \frac{x h}{2} = 0.8$

Õpitee

Kolm numbrilist meetodit ja kus nad hätta jäävad

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-08-17

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Matemaatika õppetunnid →

Näiteülesanded

lineaarne, stabiilne - Ainus siinne võrrand, mille Euleri lähendil on kinnine kuju: 7 + 2(0,8)⁴⁰. Sammhaaval arvutada pole vaja ning viga saab kontrollida viimase numbrikohani.
lagunemine, suur h - Kui h = 0,6, on Euleri kordaja -0,2. Seetõttu vahetab lähend igal sammul märki, kuigi täpne lahend püsib alati positiivne.
logistiline, keskmine h - Logistiline kasv algväärtusest 0,2: tõus kasvab, saavutab maksimumi ja vaibub. Euler annab 0,9993 täpse väärtuse 0,9987 asemel, sest kõver on allapoole kumer, puutuja aga mitte.
lagunemine, väike h - Sama kahanemisvõrrand sammuga h = 0,05: kordaja on 0,9 ja märgivahetus kaob. Kaksteist korda rohkem samme tagab peale täpsuse ka stabiilsuse.
jahtumiskõver - 90-kraadine kohv jahtub 20-kraadise toa temperatuuri poole. Arvutuse lõpus annab Euler 20,06, täpne väärtus on 20,12. Seitsmekümnekraadise languse järel on vahe kuus sajandikku.
siinusergastus - Võrrandi y' = cos(x) paremal poolel y puudub, seega on Euleri lähend siin täpselt koosinuse vasakpoolne Riemanni summa: 1,079, samal ajal kui täpne integraal annab 0,970.
ruutkasv - Võrrandi y' = y² lahend kasvab punktis x = 5,56 lõpmatusse. Paneel peatub väärtusel 4,32 ja näitab 0,68, kuigi täpne väärtus on 0,81. Näiline rahulikkus peidab siin kõige ebausaldusväärsemat piirkonda.