Euleri meetodi visualiseerija
muuda sammu suurust ja jälgi, kuidas globaalne viga koguneb
Esimese järgu arvutusliku integreerimise levikuvead 🖖
Euleri meetod on esimese järgu arvutuslik protseduur harilike diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks antud algväärtusega. See astub edasi puutuja abil: y_{n+1} = y_n + h * f(x_n, y_n). Kuigi lihtne, kogub see kärpimisviga lokaalselt O(h²) ja globaalselt O(h). Liiga suure sammu h korral võib meetod kiiresti hajustuda.
Järgi tõusu samm-sammult 🖖
Euleri meetod on lihtsaim aus oletus: praegusest punktist liigud suunas, mille võrrand kõverale ette annab, läbid lühikese vahemaa h ja sihid siis uuesti. Täpne kõver paindub edasi, kuid sirgjooneline samm eirab seda kõverust ja triivib kõrvale. Praktiline järeldus: kuna meetod on esimest järku, vähendab h poolitamine lõppviga ligikaudu poole võrra — kiire koonduvuskontroll, mille see tööriist nähtavaks teeb.
Kus arv e Euleri meetodis peitub 🖖
Rakenda Euleri meetodit võrrandile y' = y algväärtusega y = 1 ja iga samm lihtsalt korrutab teguriga (1 + h). Tee N sammu pikkusega h = 1/N lõigul [0, 1] ja tulemus on täpselt (1 + 1/N)N — liitintressi valem. N kasvades koondub see arvule e ≈ 2.71828, nii et Euleri toored sirgjoonelised sammud taastavad vaikselt pideva intressiarvestuse ja eksponentfunktsiooni definitsiooni.
Näiteülesanded
- lineaarne, stabiilne - Väike sammu pikkus lineaarse diferentsiaalvõrrandi korral järgib täpset lahendkõverat lähedalt.
- lagunemine, suur h - Suur sammu pikkus kahanemisvõrrandis tekitab nähtava kärpimisvea kuhjumise.
- logistiline, keskmine h - Logistiline kasv näitab mittelineaarsust ja muutuva tõusu mõju.
- lagunemine, väike h - Väike sammu pikkus vähendab globaalset viga märkimisväärselt.
- jahtumiskõver - jahtumiskõver
- siinusergastus - siinuseline sundmõju
- ruutkasv - ruutkasv