Algfunktsioonid

Integreerimisel, nagu ka diferentseerimisel, on astmereegel ja iga tabel toob sellele ühe erandi: n = −1. Libista n väärtus sellest erandist üle ja jälgi, mis juhtub. Seejärel vaata ühe integraali lahendust reegelhaaval ning proovi ka ise. Sisesta algfunktsioon ning leht diferentseerib seda ja võrdleb tulemust integreeritava funktsiooniga.

Astmereegel	$\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C, n \neq = - 1$
Erand, n = −1	$\int \frac{d x}{x} = ln ∣ x ∣ + C$

Näidisarvutus — Algfunktsioonid

Konstant kahe vormi vahel	100,00
Vahe ln x-ga, jagatud n + 1	0,9654

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Algfunktsioonid

Funktsiooni f algfunktsioon mingil vahemikul on funktsioon F, mille puhul kehtib F′(x) = f(x) vahemiku igas punktis x. Kui F on algfunktsioon, siis on seda ka F + C iga konstandi C korral, ja ühel vahemikul teisi algfunktsioone polegi. Kahes osas oleva määramispiirkonna korral, nagu x ≠ 0 funktsioonil 1/x, on kummalgi osal oma konstant. Määramata integraal ∫f(x) dx tähistab tervet funktsioonide peret.

Mida iga sümbol tähendab

F_n: funktsiooni xⁿ algfunktsioon läbi punkti (1, 0): (xⁿ⁺¹ − 1)/(n + 1), mis on ühtlasi ∫₁^x tⁿ dt ning n = −1 korral ln x
C: integreerimiskonstant. Selle tuletis on 0, seega sobib algfunktsiooniks selle mis tahes väärtus

Kust valem tuleb

Miks on just 1/(n + 1) eemaldatav konstant. F_n(x) = ∫₁^x tⁿ dt on pindala funktsiooni tⁿ all alates 1 kuni x. Väike muutus n väärtuses muudab igat kõrgust tⁿ natuke, seega muutub ka pindala vaid natuke. Funktsioonil F_n ei saa olla hüpet, kui n läbib väärtust −1. Seetõttu peab see kohal n = −1 olema pindala funktsiooni 1/t all alates 1 kuni x, mis on ln x. Õpikuvorm on F_n + 1/(n + 1) ja just see konstant kasvabki lõpmatusse.
$F_{n} (x) = \int_{1}^{x} t^{n} d t = \frac{x ^{n + 1} - 1}{n + 1} = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} - \to \pm \infty \frac{1}{n + 1}$
Piirväärtuse arvutus. Võtame h = n + 1 ning arendame xʰ ritta h järgi. Erinevus funktsioonist ln x on ligikaudu h(ln x)²/2, mis kohal x = 4 on 0,9609h: just sellele arvule läheneb tabeli viimane veerg.
$x^{h} = e^{h l n x} = 1 + h ln x + \frac{h ^{2} ( ln x ) ^{2}}{2} + \dots \Rightarrow F_{n} (x) = \frac{x ^{h} - 1}{h} = ln x + \frac{h ( ln x ) ^{2}}{2} + \dots$

Eeldab: Kontroll on numbriline. Leht diferentseerib sinu F-i täpselt nende reeglite järgi, mida kasutaksid ka sina, ning võrdleb seejärel F′-i funktsiooniga f 120 punktis üle kogu vahemiku. Ükski neist pole täisarv. Aktsepteeritakse suhtelist erinevust kuni 10⁻⁶; puuduv tegur või vale märk tähendab suurusjärgus 1 erinevust. Kui f on määratud, aga sinu F mitte, on vastus vale. Kui f on kogu vahemikus pidev, integreerib leht funktsiooni f numbriliselt naaberpunktide vahel ja võrdleb seda sinu F-i muutusega, mis püüab kinni vastuse, mis on osade kaupa õige, kuid teeb hüppe.

Ülesanded täielikult lahendatud

Ava sulud enne integreerimist 3 sammu
Leia ∫(x² + 1)² dx.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Sulule astmereegel ei kehti. Korruta see lahti, et iga liige oleks x-i aste:
  
  $(x^{2} + 1)^{2} = x^{4} + 2 x^{2} + 1$
2. Integreeri liikmeti: suurenda iga astmenäitajat ühe võrra ning jaga uue astmenäitajaga:
  
  $\int (x^{4} + 2 x^{2} + 1) d x = \frac{x ^{5}}{5} + 2 \cdot \frac{x ^{3}}{3} + x + C$
3. Kontrolli diferentseerides:
  
  $\frac{d}{d x} (\frac{x ^{5}}{5} + \frac{2 x ^{3}}{3} + x) = x^{4} + 2 x^{2} + 1$
Vastus

x⁵/5 + 2x³/3 + x + C. Klassikaline eksimus on astendada sulgu ennast ja pakkuda (x² + 1)³/3. Selle tuletis on aga 2x(x² + 1)², kusjuures kordaja 2x tuleb sulu seest, millega astmereegel ei arvesta. Sisesta see vastus tööriista ja vaata, kuidas kaks kõverat teineteisest lahknevad.

$\int (x^{2} + 1)^{2} d x = \frac{x ^{5}}{5} + \frac{2 x ^{3}}{3} + x + C$
Jaga enne integreerimist 3 sammu
Leia ∫(x³ − 2√x + 5)/x dx, kui x > 0.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Jaga iga liige x-ga ning kirjuta astmena:
  
  $\frac{x ^{3} - 2 x + 5}{x} = x^{2} - 2 x^{- 1/2} + 5 x^{- 1}$
2. Kahe esimese liikme puhul kehtib astmereegel:
  
  $\int x^{2} d x = \frac{x ^{3}}{3}, - 2 \int x^{- 1/2} d x = - 2 \cdot \frac{x ^{1/2}}{1/2} = - 4 x$
3. Kolmas on x⁻¹, ainus aste, mille puhul see reegel jagada ei luba:
  
  $5 \int x^{- 1} d x = 5 ln ∣ x ∣ = 5 ln x (x > 0)$
Vastus

x³/3 − 4√x + 5 ln x + C. Absoluutväärtuse märgid avaldise ln|x| ümber võib ära jätta, sest ülesanne on seatud tingimusel x > 0, mida nõuab juba √x niikuinii.

$\int \frac{x ^{3} - 2 x + 5}{x} d x = \frac{x ^{3}}{3} - 4 x + 5 ln x + C$
Tabeli kolm rida 2 sammu
Leia ∫(2 cos x − 3 sin x + 4/(1 + x²)) dx.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Iga liige leidub tabelis:
  
  $\int cos x d x = sin x, \int sin x d x = - cos x, \int \frac{d x}{1 + x ^{2}} = arctan x$
2. Jäta konstandid alles ja asenda iga funktsioon tema algfunktsiooniga:
  
  $2 sin x - 3 (- cos x) + 4 arctan x$
Vastus

2 sin x + 3 cos x + 4 arctan x + C. Viltu kipub minema just keskmine liige. Funktsiooni sin x algfunktsioon on −cos x, mistõttu annab −3 sin x integreerimisel +3 cos x; miinus tuleneb cos x tuletisest, mis on −sin x.

$\int (2 cos x - 3 sin x + \frac{4}{1 + x ^{2}}) d x = 2 sin x + 3 cos x + 4 arctan x + C$
Tingimus määrab konstandi 2 sammu
Leia f, kui f′(x) = 6x² − 4x + 1 ja f(1) = 5.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Integreeri esmalt, jättes alles C:
  
  $f (x) = \int (6 x^{2} - 4 x + 1) d x = 2 x^{3} - 2 x^{2} + x + C$
2. Seejärel asenda x = 1 ning leia C:
  
  $f (1) = 2 - 2 + 1 + C = 1 + C = 5 \Rightarrow C = 4$
Vastus

f(x) = 2x³ − 2x² + x + 4. Tööriist kontrollib nii tingimust kui ka tuletist. Kui jätad C väärtuseks 0, loeb see seose F′ = f õigeks, kuid teatab, et F(1) = 1, mitte 5, ning ütleb, et konstanti tuleb 4 võrra muuta.

$f (x) = 2 x^{3} - 2 x^{2} + x + 4$
Kaks integreerimist, kaks konstanti 2 sammu
Leia f, kui f″(x) = 12x − 6, f′(0) = 2 ja f(0) = −1.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Integreeri üks kord, et saada f′, ning määra selle konstant f′ tingimuse abil:
  
  $f^{'} (x) = \int (12 x - 6) d x = 6 x^{2} - 6 x + C_{1}, f^{'} (0) = C_{1} = 2$
2. Integreeri uuesti ning kasuta f tingimust:
  
  $f (x) = \int (6 x^{2} - 6 x + 2) d x = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + C_{2}, f (0) = C_{2} = - 1$
Vastus

f(x) = 2x³ − 3x² + 2x − 1. Iga integreerimine toob kaasa oma konstandi ning kumbki tingimus määrab neist ühe. Tööriist avaneb teise integreerimise juures, kus integreeritavaks on f′ ja tingimuseks f(0) = −1.

$f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1$
ln|x| negatiivsel poolel 2 sammu
Leia f, kui f′(x) = 2/x, kus x < 0, ja f(−1) = 3.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Negatiivse x korral ei ole ln x määratud, küll aga ln(−x), mille tuletis on 1/x:
  
  $x < 0 : \frac{d}{d x} ln (- x) = \frac{- 1}{- x} = \frac{1}{x}$
2. Seega f(x) = 2 ln|x| + C ning tingimus määrab C:
  
  $f (x) = 2 ln ∣ x ∣ + C, f (- 1) = 2 ln 1 + C = C = 3$
Vastus

f(x) = 2 ln|x| + 3, kui x < 0. Positiivse x kohta ei ütle tingimus midagi. Kuna 1/x pole kohal 0 määratud, sobiks ülesande lahenduseks sama hästi funktsioon, mis on x > 0 korral 2 ln x + 7.

$f (x) = 2 ln ∣ x ∣ + 3 (x < 0)$
Leia ln 4 ruutjuureklahvi abil 4 sammu
Kalkulaatoril on ruutjuureklahv, aga puudub ln klahv. Kasuta lehel olevat piirväärtust, et leida ln 4 nelja komakoha täpsusega. Vajuta esmalt n = −0,99: punkti (1, 0) läbiv kõver näitab kohal x = 4 väärtust 1,3959, mis on endiselt tunduvalt suurem kui ln 4 = 1,3863.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Kümme ruutjuureklahvi vajutust viivad arvu 4 astmesse 1/1024, seega h = n + 1 = 1/1024:
  
  $4^{1/1024} = 1.001354720, h = n + 1 = \frac{1}{1024}$
2. Punkti (1, 0) läbiv kõver selle h väärtuse juures; lehe valem ühe lahutamise ja ühe korrutamisega:
  
  $F (h) = \frac{4 ^{h} - 1}{h} = 1.3872332$
3. Selle vahe väärtusega ln 4 on ligikaudu h(ln 4)²/2 ehk tabeli viimane veerg korrutatud h-ga. See on nelja komakoha jaoks liiga suur:
  
  $\frac{h ( ln 4 ) ^{2}}{2} = \frac{0 . 9609}{1024} = 0.000938$
4. Veel üks ruutjuur poolitab h väärtuse ja koos sellega ka vahe. Kahekordne uus näit miinus vana näit tühistab vahe pealiikme:
  
  $2 F (\frac{h}{2}) - F (h) = 2 \times 1.3867637 - 1.3872332 = 1.386294$
Vastus

ln 4 ≈ 1,3863. Kombinatsioon 2F(h/2) − F(h) eemaldab h-ga võrdelise vea ja jätab järele h²-ga võrdelise vea, mis on siin umbes 2×10⁻⁷. Leht muudab n väärtust sammuga 0,01, seega on h = 1/2048 palju väiksem kui see, mida liugur näidata suudab.

$ln 4 \approx 1.3863$

ln x on astmereegli enda piirväärtus 🖖

Vajuta n = −0,99. Funktsiooni xⁿ õpikust tuntud algfunktsioon on xⁿ⁺¹/(n + 1), mis n = −1 korral jagab nulliga. Seetõttu näitavad tabelid, et ∫x⁻¹ dx = ln|x| on eraldi reegel. Katkendlik kummituskõver näitab, mida valem sinna jõudmiseks teeb: kohal x = 4 on selle väärtus 101,40 ja n-i lähenemisel kasvab see piiramatult. Kogu see kasv on aga konstandis. Lahuta 1/(n + 1), siin 100,00, ja saad punkti (1, 0) läbiva algfunktsiooni, mis on märgitud pideva joonega. Selle väärtus 1,3959 on võrreldav väärtusega ln 4 = 1,3863. Vajuta Muuda n väärtusest −2 nulli ja vaata, kuidas n läbib väärtust −1. Kummituskõver kaob graafikult, pidev joon ei tee aga kordagi hüpet ning n = −1 juures on see ln x. See ei saagi hüpata, sest see on pindala funktsiooni tⁿ all alates 1 kuni x. Väike muutus n väärtuses muudab igat kõrgust tⁿ vaid natuke. Grégoire de Saint-Vincent jõudis sama tõdemuseni teise nurga alt oma 1647. aasta teoses Opus geometricum: pindala hüperbooli all vahemikus a kuni b sõltub ainult suhtest b/a. Tema õpilane Alphonse Antonio de Sarasa nägi, et see teeb pindalast logaritmi.

ln x sobib 1/x algfunktsiooniks vaid poolel teljel 🖖

Vajuta ln x 1/x jaoks. Treeningprogramm küsib funktsiooni 1/x algfunktsiooni lõigul −4 ≤ x ≤ 4 ja vastuseks on sisestatud ln x. Kõikjal, kus ln x on määratud, on selle tuletis 1/x. See tundub õige, aga kontroll lükkab vastuse tagasi: kohal x = −2,75, kus 1/x on −0,364, puudub ln x väärtus. Mõlemal poolel töötab hoopis ln|x|, sest funktsiooni ln(−x) tuletis on −1/(−x) = 1/x. Kirjuta see sisse. Ülemine paneel joonistab kaks haru hallide koopiatega, mis nihutavad kumbagi haru erineva hulga võrra. Ka need vastused loetakse õigeks. Kirjuta ln|x| + 3sgn(x), mis on nullist paremal ln|x| + 3 ja vasakul ln|x| − 3. See läbib kontrolli ning paneel joonistab erinevuse funktsioonist ln|x| kahe sirge osana, väärtustel 3 ja −3. Kuna 1/x ei ole nullis määratud, ei seo miski vasakut ja paremat konstanti omavahel. Tabelites kirjutatakse ln|x| + C ühe konstandiga, kuid üle kogu määramispiirkonna on üldisel algfunktsioonil igal osal oma konstant. Olukorras, kus integreeritav funktsioon on kogu lõigul pidev, nagu näiteks x³, lükkab kontroll hüppega vastuse tagasi isegi siis, kui selle tuletis klapib kõikjal, kus see on määratud.

Kaks täiesti erinevat vastust saavad mõlemad õiged olla 🖖

Vajuta Ühe vastuse kaks kuju. Integreeritav funktsioon on (x + 1)². Suurenda astendajat, jaga uue astendajaga ja saad (x + 1)³/3. Kirjuta esmalt lahti ja saad x³/3 + x² + x. Kõrvuti asetatuna tunduvad need nagu üks õige ja teine vale vastus, kuid treeningprogramm aktsepteerib mõlemat. Rida Sinu F miinus meie F₀ näitab põhjust: igas punktis −1/3, sest (x + 1)³/3 on lahtikirjutatult x³/3 + x² + x + 1/3. Vajuta teravama näite saamiseks 2 sin x cos x. Vastustel sin²x, −cos²x ja −cos(2x)/2 ei ole ühtki nähtavat ühist liidetavat, aga ometi on kõik kolm õiged, asudes teineteisest 1 ja ½ kaugusel. Seega ei tee kontroll kunagi otsust sinu ja lehe vastust võrreldes. See leiab sinu vastusest tuletise, sest diferentseerimine on kindla tulemusega protseduur, ja võrdleb seda integreeritava funktsiooniga. Algfunktsiooni leidmine on otsing ning kaks head otsingut võivad peatuda erinevate konstantide juures.

Õpitee

Integreerimismeetodid

Allikad (2)

The definition the page checks against (“F is an antiderivative of f if F′(x) = f(x) for all x in the domain of f”), the power rule with its exception (Theorem 4.15: for n ≠ −1, ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C), and the derivation of d/dx ln|x| = 1/x from ln(−x) on x < 0: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 4.10, “Antiderivatives”.
Grégoire de Saint-Vincent's Opus geometricum (Antwerp, 1647) showed that the area under a rectangular hyperbola over [a, b] equals the area over [c, d] when a/b = c/d, and his pupil Alphonse Antonio de Sarasa made the connection with logarithms: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Grégoire de Saint-Vincent”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated November 2010).

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.