Tuletise ja puutuja uurija

lohista punkt mööda kõverat, et näha tõusu

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Lauge koht ei ole alati tipp ega nõgu 🖖

Nulliga võrduv tuletis tähendab, et puutuja on horisontaalne — see ei luba maksimumi ega miinimumi. Lülita see tööriist funktsioonile x³ ja lohista punkt kohta x = 0: tõus näitab 0, kuid kõver tõuseb mõlemal pool ja teeb üksnes pausi. See on käänupunkt, ja just seepärast on tuletise nullkohtade leidmine optimeerimisülesande alles esimene pool. Teine pool on kontrollida, mida tõus mõlemal pool teeb, sest tuletis üksi ei suuda eristada tippu trepimademest.

Lähedalt vaadates näib iga kõver sirge 🖖

Võta suvaline sile kõver, suumi piisavalt lähedale ja kõverus kaob — lokaalselt näeb see välja nagu sirgjoon. Tuletis on lihtsalt selle sirge tõus ja punkti siin lohistades loed selle otse välja. Auto spidomeeter töötab samamoodi: see näitab, kui kiiresti su asukoht just praegu muutub, mitte kogu sõidu keskmist kiirust. Lohista punkt parabooli tippu ja tõus jõuab 0-ni — see tasane koht tähistab maksimumi või miinimumi.

Kõver, millel pole kusagil puutujat 🖖

Igal siinsel funktsioonil on selge puutuja, kuid mitte igal funktsioonil pole seda. 1872. aastal koostas Karl Weierstrass funktsiooni, mis on kõikjal pidev, kuid millel pole kusagil määratud tõusu — igal skaalal lõpmatult sakiline, nii et ükski puutuja ei saa kunagi paika loksuda. See rabas matemaatikuid, kes eeldasid, et sujuvana näiv pidev kõver peab peaaegu kõikjal puutujaid omama. Seesama mittediferentseeruv karedus ilmnes hiljem looduses: Browni liikumise trajektoorid ja rannajoonte piirjooned käituvad täpselt nõnda.

TULETISED — MILLINE REEGEL KEHTIB JA MIDA TÕUS TEGELIKULT ÜTLEB

Millise tuletise juhtumiga on tegu?

Tuletis on üksainus mõte — puutuja tõus, piirväärtus (f(x+h) − f(x))/h. Kuidas seda arvutada, sõltub aga sellest, millise funktsiooni sa said, ja kuidas vastust lugeda, sellest, kas see tuli positiivne, negatiivne või null. Kolm standardreeglit katavad enamiku funktsioone; neljas juhtum on see, kus nulltõus ei tähenda seda, mida arvatakse.

Astmereegel — polünoomi liige d/dx xⁿ = n·xⁿ⁻¹

Trigonomeetriline — siinus ja koosinus vahetavad kohad d/dx sin x = cos x

Eksponentsiaalne — funktsioon on iseenda tuletis d/dx e^x = e^x

Nulltõus, mis pole maksimum ega miinimum f′ = 0, f″ = 0

Astmereegel — polünoomi liige

Mida sa tead: Funktsioon on xⁿ või selliste liikmete summa. Too astendaja ette ja vähenda seda ühe võrra.

Reegel: d/dx xⁿ = n·xⁿ⁻¹

Näidisarvutus: f(x) = x², x = 1 → f′(x) = 2x → f′(1) = 2, seega puutuja on y = 2x − 1

Ava see juhtum: x² punktis x=1

Astmereegel — polünoomi liige. Puutuja kohal x = 1 on tõusuga 2 ja puudutab parabooli ühes punktis. Funktsioon on xⁿ või selliste liikmete summa. Too astendaja ette ja vähenda seda ühe võrra. — Puutuja kohal x = 1 on tõusuga 2 ja puudutab parabooli ühes punktis.

Trigonomeetriline — siinus ja koosinus vahetavad kohad

Mida sa tead: Funktsioon on sin x või cos x. Diferentseerimine keerutab sind mööda tsüklit: sin → cos → −sin → −cos → sin.

Reegel: d/dx sin x = cos x

Näidisarvutus: f(x) = sin x, x = 0 → f′(x) = cos x → f′(0) = 1, seega puutuja on y = x

Ava see juhtum: sin punktis x=0

Trigonomeetriline — siinus ja koosinus vahetavad kohad. Nullpunktis on sin x tõus 1, nii et puutuja on sirge y = x. Funktsioon on sin x või cos x. Diferentseerimine keerutab sind mööda tsüklit: sin → cos → −sin → −cos → sin. — Nullpunktis on sin x tõus 1, nii et puutuja on sirge y = x.

Eksponentsiaalne — funktsioon on iseenda tuletis

Mida sa tead: Funktsioon on eˣ. Diferentseerimine ei muuda mitte midagi: f′(x) = f(x) igas punktis.

Reegel: d/dx e^x = e^x

Näidisarvutus: f(x) = eˣ, x = 0 → f′(x) = eˣ → f′(0) = 1, seega puutuja on y = x + 1

Ava see juhtum: eˣ punktis x=0

Eksponentsiaalne — funktsioon on iseenda tuletis. Kõrgus ja tõus on kõvera igas punktis üks ja sama arv. Funktsioon on eˣ. Diferentseerimine ei muuda mitte midagi: f′(x) = f(x) igas punktis. — Kõrgus ja tõus on kõvera igas punktis üks ja sama arv.

Nulltõus, mis pole maksimum ega miinimum

Mida sa tead: Punktis on f′ = 0, seega on see statsionaarne — kuid f′ märk on mõlemal pool sama, nii et pöördepunkti ei ole.

Reegel: f′ = 0, f″ = 0

Näidisarvutus: f(x) = x³, x = 0 → f′(x) = 3x² → f′(0) = 0, ometi on f′ > 0 mõlemal pool: kõver muutub lamedaks ja tõuseb edasi

Ava see juhtum: x³ käärdepunkt

Nulltõus, mis pole maksimum ega miinimum. Puutuja on nullpunktis horisontaalne, aga kõver tõuseb mõlemal pool edasi. Punktis on f′ = 0, seega on see statsionaarne — kuid f′ märk on mõlemal pool sama, nii et pöördepunkti ei ole. — Puutuja on nullpunktis horisontaalne, aga kõver tõuseb mõlemal pool edasi.

Allikad (1)

Insight block 3 — continuous everywhere, differentiable nowhere: K. Weierstrass, "Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzteren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen." Read to the Berlin Academy, 18 July 1872; printed in Mathematische Werke, vol. 2, 71–74.

Ülesanne täielikult lahendatud

Funktsiooni f(x) = x² tõus ja puutuja kohal x = 1 5 sammu
f(x) = x², kohal x = 1. Leia sealne tõus pigem definitsiooni kui reegli abil, kirjuta üles puutuja ning seejärel ütle täpselt, kui kaugele on see puutuja kõverast eemaldunud ühe kümnendiku ühiku võrra edasi liikumisel.
1. Ühel ainusal punktil ei ole tõusu — tõus on võrdlus, seega vajab see kahte punkti. Võta teine punkt kaugusel h ja mõõda keskmist tõusu selle kauguse kohta. Kogu diferentsiaalarvutus ongi see jagatis pluss üks piirväärtus.
  
  $\frac{f ( 1 + h ) - f ( 1 )}{h} = \frac{( 1 + h ) ^{2} - 1 ^{2}}{h}$
2. Ava ruut. Vabaliikmed taanduvad välja, mis jätab iga allesjäänud liikme sisse h, nii et murrujoone all olev h taandub täielikult välja. Pane tähele, mida taandamine sulle maksma läheb: see on lubatud iga h korral, välja arvatud 0, ja 0 on täpselt see väärtus, mille poole sa liikuda püüad.
  
  $= \frac{1 + 2 h + h ^{2} - 1}{h} = \frac{h ( 2 + h )}{h} = 2 + h (h \neq = 0)$
3. Sellepärast võetaksegi piirväärtus, mitte ei tehta otseasendust. 2 + h on sirge h suhtes, seega loetakse väärtus, millele see läheneb, välja ilma igasuguse ligikaudsuseta, ning tõus kohal x = 1 osutub võrdseks 2-ga ilma, et reeglit 2x oleks üldse üles kirjutatud.
  
  $h \to 0 lim (2 + h) = 2 ⟹ f^{'} (1) = 2$
4. Puutuja vajab punkti ja tõusu, ning sul on nüüd mõlemad olemas: kõver läbib punkti (1, 1) tõusuga 2.
  
  $y - 1 = 2 (x - 1) ⟹ y = 2 x - 1$
5. Lahuta sirge kõverast. Vahe ei ole väike ega ligikaudu midagi — see tegurdub täpselt, seega asub parabool (x − 1)² võrra oma puutujast kõrgemal iga x korral ning kaugusel h on see vahe h².
  
  $x^{2} - (2 x - 1) = (x - 1)^{2} ⟹ h = 0.1 : 0.01, h = 0.01 : 0.0001$
Vastus

f′(1) = 2, puutuja y = 2x − 1 ja nende vaheline erinevus on täpselt h²: lühenda sammu teguriga 10 ja puutuja viga väheneb teguriga 100, väärtuselt 0,01 väärtuseni 0,0001. See ruutu võtmine on kogu põhjendus kõvera asendamisele sirgega punkti läheduses. Vahe märk on aga olulisem kui selle suurus. (x − 1)² ei ole kunagi negatiivne, seega puudutab see parabool oma puutujaid ega lõika neid kunagi. Pane selle kõrvale f(x) = x³ kohal x = 0: puutujaks on x-telg, vaheks on x³ ise ning x³ on vasakul negatiivne ja paremal positiivne, seega läbib sirge kõverat läbivalt. Mõlemal funktsioonil on kuskil horisontaalne puutuja, kuid ainult ühel neist on seal ekstreemumpunkt — tuletise võrdumine nulliga ei ole see, mis määrab miinimumi, vaid vahe märk.

$f (1 + h) - [2 (1 + h) - 1] = h^{2} \forall h$

Õpitee

Miks kõik tundub lähedalt sirge

Viib edasi riemann-sum lokaalse sirguse arvulise väärtuse – selle ainsa sirge tõusu, mis langeb kõveraga punktis kokku.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-07-27

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Matemaatika õppetunnid →

Näiteülesanded

x² punktis x=1 - f(x)=x² kohal x=1 → tõus f'(1)=2, puutuja y=2x-1
sin punktis x=0 - f(x)=sin x kohal x=0 → tõus f'(0)=1, puutuja y=x
eˣ punktis x=0 - f(x)=eˣ kohal x=0 → tõus f'(0)=1; eˣ on iseenda tuletis
x³ käärdepunkt - f(x)=x³ kohal x=0 → tõus f'(0)=0, käänupunkt (mitte miinimum ega maksimum)