Taylori rea uurija

Taylori polünoom koostatakse ühe punkti tuletiste põhjal, mistõttu kajastab ta funktsiooni lokaalset geomeetriat just seal. Kaugemal ei pruugi samad kordajad funktsiooni enam hästi kirjeldada: viga sõltub funktsiooni siledusest, astmest ja koonduvusraadiusest.

See tööriist ehitab kõvera funktsiooni üles ainult liitmiste, korrutamiste ja astendamiste abil — just nende tehetega, mida protsessor tegelikult teha oskab. Nulljärku liige tabab funktsiooni kõrguse keskpunktis, esimest järku selle tõusu, teist järku selle kõveruse, ja iga järgmine liige fikseerib ühe tuletise juurde. Suurenda astet n ja jälgi, kuidas punktiirjoonega polünoom keskpunkti a lähedal pideva kõveraga aina tihedamalt kokku sulab.

Võiks arvata, et lõpmatult sileda funktsiooni püüab piisavalt kõrge astmega Taylori polünoom alati kinni — kuid see pole tagatud. Klassikaline vastunäide on f(x)=e−1/x² (kus f(0)=0): kõik tuletised nullis on null, seega on tema Taylori polünoom nulli ümber igal astmel lihtsalt 0, kuigi funktsioon on mujal kõikjal positiivne. Liikmete lisamine ei aita kunagi. 'Sile' (kõik tuletised on olemas) on nõrgem kui 'analüütiline' (tegelikult võrdne oma reaga).