Osatuletised ja gradient

Lohista punkti samakõrgusjoontega kaardil. Kaks osatuletist näitavad kallet piki telgi. Keera suunaketast ja viimane näit annab kalde, mida tunneksid selles suunas astudes.

Näidisarvutus — Osatuletised ja gradient

∂f/∂x	3,000
∂f/∂y	4,000
Suurim kalle \|∇f\|	5,000
Suurima kalde suund	53,1°
Kalle selles suunas	3,000

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Mägi on järsem kui ükski sinu mõõtmine 🖖

Seisa punktis (1, 1) pinnal 1,5x² + 2y². Astu otse itta ja maapind tõuseb kaldega 3. Astu põhja ja tõus on 4. Kumbki neist pole selle punkti suurim kalle. Suurim on 5 suunal 53,1° ja selles suunas sa ei astunud. Osatuletis näitab vaid kallet piki üht telge. Telgede asend on aga juhus, sõltudes puhtalt paberi paigutusest. Neid ei seo liitmine, vaid Pythagoras. Suurim kalle on √(f_x² + f_y²), mis ei saa kunagi olla osatuletistest väiksem. See on alati rangelt suurem, välja arvatud juhul, kui üks osatuletis on null. Lõhe on kõige laiem võrdsete tuletiste korral. Kui mõõdad piki kumbagi telge 1, tõuseb maapind tegelikult kaldega 1,414. See on 41% rohkem, kui andis kumbki üksik mõõtmine.

Kõik suunad korraga ja see on üksainus koosinus 🖖

Keera ketas täisringi ja jälgi kalde näitu. See järgib koosinust |∇f| cos(θ − θ_g), kus θ_g tähistab suurima tõusu suunda. Sellega on sileda pinna käitumine ühes punktis täielikult kirjeldatud. Kaardilt näeb kohe üht tagajärge: kui gradient ei ole null, leidub kaks suunda, milles kalle puudub. Need asuvad suurima tõusu suunast kummalgi pool veerandpöörde kaugusel ja kulgevad mööda samakõrgusjoont. Seepärast lõikub järsim tee mäest üles samakõrgusjoontega täisnurga all ning samakõrgusjoontega kaarti on lihtne lugeda. Sama koosinus lükkab ümber ühe ahvatleva otsetee. Kui kaldud suurima tõusu joonest 45° kõrvale, tõused ikka veel 71% täisgradiendi kiirusega, mitte poole aeglasemalt. Nõlval nurka lõigates võidad seega märksa vähem, kui esmapilgul paistab.

Mõlemas suunas tasane pole veel tipp 🖖

Vajuta Ei tipp ega põhi. Funktsiooni x² − y² mõlemad osatuletised on nullpunktis nullid, kuid seal pole ei maksimumi ega miinimumi: x-telje sihis asub punkt oru põhjas, y-telje sihis aga seljandiku harjal. Nüüd vajuta Mõlemad teljed rõhtsad; sellele vastab pind xy. Mõlema telje sihis on pind täpselt rõhtne: lõikepaneel näitab sirget rõhtjoont nii 0° kui ka 90° juures. Ometi on tegu sadulpunktiga. Tõus ja langus ilmuvad hoopis diagonaalidel, kuhu ei taibatud vaadata. Juhtumeid eristab diskriminant f_xxf_yy − f_xy². Esimese pinna korral on see −4 ja teise korral −1: negatiivne väärtus tähendab sadulpunkti, positiivne väärtus maksimumi või miinimumi, mille määrab seejärel f_xx-i märk. Funktsiooni x³ − 3xy² korral on diskriminant 0 ning test ei anna mingit vastust. Selle pinna nullpunktist tõuseb kolm sektorit ja langeb kolm sektorit, kuid arvutuses kasutatud teist järku tuletised neid ei tuvasta.

Ülesanded täielikult lahendatud

3 meetrit itta ja 4 meetrit põhja tõusva nõlva järskus 6 sammu
Oled mäenõlval, kus maapind tõuseb otse itta liikudes 3 meetrit iga 100 meetri kohta ja otse põhja liikudes 4 meetrit 100 meetri kohta. Kui järsk on see mägi, mis suunas see langeb ja millise suuna peab valima tee, et tõusta poole väiksema kaldega?
1. Need kaks mõõtmist on osatuletised. Jättes need kujule 3 ja 4 saja kohta on teksti lihtsam lugeda kui 0,03 ja 0,04. Sisuliselt ei muuda see midagi.
  
  $f_{x} = 3, f_{y} = 4$
2. Suurim kalle on gradiendi pikkus. See pole osade summa ega ka neist suurim. Kolm ja neli annavad kokku viie ja just viit tunneb ka mägimatkaja.
  
  $∣\nabla f ∣ = 3^{2} + 4^{2} = 5$
3. Selle suund on atan2(4, 3), mis teeb 53,1° idast. Allamäge on täpselt vastassuund, 233,1°. Kummastki suunast ei tehtud ühtegi mõõtmist.
  
  $θ_{g} = atan2 (4, 3) = 53.1 3^{\circ}$
4. Tee jaoks kaldega 2,5 saja kohta rakenda seost tagurpidi. Kalle suunal, mis kaldub suurima kalde suunast kõrvale nurga θ võrra, on 5 cos θ. Seega cos θ = 2,5/5 ja θ = 60°.
  
  $D_{u} f = ∣\nabla f ∣ cos θ \Rightarrow cos θ = \frac{2.5}{5}, θ = 6 0^{\circ}$
5. Kuuskümmend, mitte nelikümmend viis. Tee 45° all tõuseks endiselt kaldega 3,54 saja kohta. See on 71% suurimast kaldest ega ole ligilähedalgi poolele.
  
  $5 cos 4 5^{\circ} = 3.54 (71% of 5)$
6. Teepikkuse annab seesama koosinus. Kui kõrgust tuleb juurde kindel hulk, kuid gradient on poole väiksem, tuleb sama kalde püsimisel läbida kaks korda pikem maa. Just sellest kahekordsest pikkusest sünnivad mägiteede serpentiinid.
  
  $length \propto 1/ cos 6 0^{\circ} = 2$
Vastus

Mägi tõuseb 5 m iga 100 m kohta suunas 53,1° ja laskub suunas 233,1°. Tee, mille tõus on 2,5 m iga 100 m kohta, peab kulgema suurima tõusu suunast 60° kõrvale ning olema kaks korda pikem. Ülesande esimesele poolele vastab tööriist: suuna see kuhu tahes ja näed kallet. Teine pool küsib vastupidist. Just seda on tegelikult vaja teede projekteerimisel, kaldteede ligipääsetavusnõuetes ja suusaradade raskusastme määramisel. Kui lubatud gradient on ette antud, siis millises suunas tuleb liikuda?
Suund, kus kallet ei ole, ja kui kaua see tasane püsib 6 sammu
Punktis (1, 1) pinnal 1,5x² + 2y² paneb paneel kalde suunale 143,1° väärtusega 0,000. Arvuta, mida maapind teeb, kui sa seda suunda mööda edasi kõnnid, ja otsusta, kas seda suunda saaks järgida, et püsida samal kõrgusel.
1. Veerandpööre suurima kalde suunast 53,1°. Skalaarkorrutise kaks liiget tulevad −2,4 ja +2,4, seega näitab kalde kaart 0,000.
  
  $D_{u} f = 3 cos 143.1 3^{\circ} + 4 sin 143.1 3^{\circ} = 3 (- 0.8) + 4 (0.6) = 0$
2. Nullkalle on väide esimese tuletise kohta ja mitte millegi muu kohta. Võta sama suuna jaoks teine. See on ruutvorm, mis on ehitatud kolmest teist järku osatuletisest, sama koosinuse ja siinusega sees.
  
  $D_{u}^{2} f = f_{xx} cos^{2} θ + 2 f_{x y} cos θ sin θ + f_{y y} sin^{2} θ$
3. Sellel pinnal on f_xx 3, f_yy 4 ja segaosatuletis 0, seega on teine tuletis tasast suunda mööda 3,36. Positiivne, seega maapind kaardub ülespoole.
  
  $= 3 (0.64) + 0 + 4 (0.36) = 1.92 + 1.44 = 3.36$
4. Kõrgus piki seda joont on seega parabool, mille madalaim punkt on seal, kus sa seisad. Pool ühikut edasi on maapind tõusnud 0,42, 3,5 pealt 3,92 peale, ja lõike paneel joonistab täpselt selle kõvera.
  
  $f (s) \approx 3.5 + \frac{1}{2} (3.36) s^{2} = 3.5 + 1.68 s^{2}; s = 0.5 : 3.92$
5. Tee sellest samakõrgusjoone omadus. Kõver, mis kõrgust päriselt hoiab, kaardub puutujast eemale teise tuletise ja gradiendi jagatisega: 0,672, mis on raadius 1,488.
  
  $κ = \frac{D _{u}^{2} f}{∣\nabla f ∣} = \frac{3.36}{5} = 0.672, R = \frac{1}{κ} = 1.488$
6. Nivoojoone kõveruse tavavalem annab sama arvu ainuüksi osatuletistest, ilma et suund oleks kuskil sees. Kaks teed, üks vastus, ja see on täpselt 84/125.
  
  $κ = \frac{f _{xx} f _{y}^{2} - 2 f _{x y} f _{x} f _{y} + f _{y y} f _{x}^{2}}{∣\nabla f ∣ ^{3}} = \frac{3 ( 16 ) + 4 ( 9 )}{125} = \frac{84}{125}$
Vastus

Ei. See suund on tasane üheks hetkeks ja tõuseb siis. Kõnni seda mööda pool ühikut ja sa oled võitnud 0,42, seal kus esimene tuletis ennustas 0. Kaks nullkaldega suunda on samakõrgusjoone puutujad, mitte samakõrgusjoon ise, ja tasasena püsimine tähendab pidevat pööramist, selles punktis raadiusega 1,488 ringjoonel. Paneel annab sulle puutuja; kõverus ütleb, kui kaugele teda tasub usaldada.

$κ = \frac{f _{xx} f _{y}^{2} - 2 f _{x y} f _{x} f _{y} + f _{y y} f _{x}^{2}}{∣\nabla f ∣ ^{3}} = \frac{84}{125} = 0.672$

Õpitee

Miks kõik tundub lähedalt sirge

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-09-03

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Matemaatika õppetunnid →

Näiteülesanded

Kolm itta, neli põhja - Punktis (1, 1) on maapinna tõus otse itta 3 ja otse põhja 4. Itta suundudes näitab kalle 3. Suurim võimalik kalle on siin 5 suunal 53,1°. Kumbki varasem mõõtmine seda suunda ei tabanud.
Piki samakõrgusjoont - Sama punkt ja sama gradient 5, kuid nüüd on kalle 0. Suund 143,1° kulgeb piki samakõrgusjoont. See lõikub suurima kalde suunaga täisnurga all.
Ei tipp ega põhi - Mõlemad osatuletised on nullid ning punkt pole tipp ega lohk. Diskriminant on −4. Suunal 0° on lõige oru põhi. Suunal 90° on sama punkt aga mäeharja tipp.
Mõlemad teljed tasased - Pinnal xy on mõlemad teljed täiesti tasased. Lõike paneel joonistab sirge joone nii 0° kui ka 90° juures. Punkt on endiselt sadulpunkt, mille diskriminant on −1. Tõus ja langus asuvad hoopis diagonaalidel.
Testil puudub vastus - Kõik teist järku tuletised on siin nullid, seega on diskriminant 0 ja test ei anna mingit vastust. Sellest punktist tõuseb kolm sektorit ja langeb kolm.