Osatuletised ja gradient

Lohista punkti kõrgusjoonte kaardil. Kaks osatuletist näitavad kallet koordinaattelgede sihis. Keera suunanuppu: näit „Kalle selles suunas” ütleb, kui järsk oleks tõus selles suunas kõndides.

Osatuletis	$f_{x} (x, y) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h , y ) - f ( x , y )}{h}$
Kalle suunas u	$D_{u} f = \nabla f \cdot u = ∣\nabla f ∣ cos (θ - θ_{g}) ∣\nabla f ∣ = f_{x}^{2} + f_{y}^{2}$
Puutujatasand	$z = f (a, b) + f_{x} (a, b) (x - a) + f_{y} (a, b) (y - b)$
Teist järku tuletiste tunnus punktis, kus ∇f = 0 (D < 0: sadulpunkt)	$D = f_{xx} f_{y y} - f_{x y}^{2} D > 0, f_{xx} > 0 : min D > 0, f_{xx} < 0 : max$

Näidisarvutus — Osatuletised ja gradient

Kõrgus	3,5
∂f/∂x	3,000
∂f/∂y	4,000
Suurim kalle \|∇f\|	5,000
Suurima kalde suund	53,1°
Kalle selles suunas	3,000
Puutujatasand	3x + 4y − 3,5

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Osatuletised ja gradient

Funktsiooni f(x, y) osatuletis on tavaline tuletis ühe muutuja järgi, kui teine muutuja hoitakse konstantsena. Osatuletis f_x näitab pinna kallet x-telje sihis liikudes, f_y aga y-telje sihis liikudes.

Mida iga sümbol tähendab

∇f: gradient ehk vektor (f_x, f_y)
θ: suunanurk kraadides, mõõdetuna idasuunast
D: diskriminant f_xx f_yy − f_xy²

Kust valem tuleb

Hoia üks muutuja konstantsena. Osatuletise f_x leidmiseks käsitle y-t konstandina ja diferentseeri nagu tavaliselt. Osatuletise f_y puhul vaheta muutujate rollid.
$f = 1.5 x^{2} + 2 y^{2} : f_{x} = 3 x, f_{y} = 4 y$
Gradient. Kaks osatuletist moodustavad vektori ∇f. See osutab suurima tõusu suunas, mida kaardil näitab värviline nool. Vektori pikkus võrdub suurima kaldega.
$\nabla f = (f_{x}, f_{y}), ∣\nabla f ∣ = f_{x}^{2} + f_{y}^{2}$
Kalle mistahes suunas. Suunanurgale θ vastava kalde annab gradiendi skalaarkorrutis selle suuna ühikvektoriga. See võrdub suurima kalde ja sellest suunast kõrvalekaldumise nurga koosinuse korrutisega. Nivoojoone puutuja sihis on kalle 0.
$D_{u} f = f_{x} cos θ + f_{y} sin θ = ∣\nabla f ∣ cos (θ - θ_{g})$
Puutujatasand. Punkti lähedal saab pinda lähendada tasandiga, mille kalded koordinaattelgede sihis on vastavad osatuletised. See on tuletise õppelehelt tuttava puutuja vaste kahe muutuja korral.
$z = f (a, b) + f_{x} (a, b) (x - a) + f_{y} (a, b) (y - b)$
Mõlemad osatuletised on 0. Selline punkt on kriitiline ja selle liigi aitab määrata diskriminant D. Kui D > 0 ja f_xx > 0, on punkt miinimum; kui D > 0 ja f_xx < 0, on see maksimum. Kui D < 0, on tegu sadulpunktiga. Juhul D = 0 ei anna tunnus vastust.
$D = f_{xx} f_{y y} - f_{x y}^{2}$

Ülesanded täielikult lahendatud

Esimest ja teist järku osatuletised 4 sammu
Leia funktsiooni f(x, y) = x³y² − 2xy + y³ osatuletised f_x, f_y ja kolm teist järku osatuletist punktis (1; 2). Kontrolli, et mõlemad segatuletised on võrdsed.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Osatuletise f_x leidmisel käsitle y-t konstandina; f_y leidmisel käsitle konstandina x-i:
  
  $f_{x} = 3 x^{2} y^{2} - 2 y, f_{y} = 2 x^{3} y - 2 x + 3 y^{2}$
2. Punktis (1; 2):
  
  $f_{x} (1, 2) = 12 - 4 = 8, f_{y} (1, 2) = 4 - 2 + 12 = 14$
3. Leia veel kord tuletised. Segatuletise leidmisel võib diferentseerimise järjekorra valida vabalt:
  
  $f_{xx} = 6 x y^{2}, f_{y y} = 2 x^{3} + 6 y, f_{x y} = (f_{x})_{y} = 6 x^{2} y - 2 = (f_{y})_{x} = f_{y x}$
4. Punktis (1; 2):
  
  $f_{xx} (1, 2) = 24, f_{y y} (1, 2) = 14, f_{x y} (1, 2) = f_{y x} (1, 2) = 10$
Vastus

f_x = 8, f_y = 14, f_xx = 24, f_yy = 14 ja f_xy = f_yx = 10. Schwarzi teoreemi järgi on pidevad segatuletised võrdsed. Teoreemi seostatakse sageli ka Clairaut’ nimega. Polünoomide puhul on pidevuse eeldus alati täidetud.
Kalle etteantud suunas ja suurim kalle 4 sammu
Leia funktsiooni f(x, y) = x²y + y³ muutumise kiirus punktis (2; 1) vektori (3; 4) suunas. Leia ka suurim muutumise kiirus selles punktis ja selle suund.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Leiame kõigepealt gradiendi:
  
  $\nabla f = (2 x y, x^{2} + 3 y^{2}) \Rightarrow \nabla f (2, 1) = (4, 7)$
2. Suunda tuleb väljendada ühikvektoriga. Vektori (3; 4) pikkus on 5:
  
  $u = \frac{1}{5} (3, 4) = (0.6, 0.8), θ = atan2 (4, 3) = 53.1 3^{\circ}$
3. Suunatuletise annab skalaarkorrutis:
  
  $D_{u} f = 4 (0.6) + 7 (0.8) = 2.4 + 5.6 = 8$
4. Suurim muutumise kiirus võrdub gradiendi pikkusega ja saavutatakse gradiendi suunas:
  
  $∣\nabla f ∣ = 4^{2} + 7^{2} = 65 = 8.062, θ_{g} = atan2 (7, 4) = 60. 3^{\circ}$
Vastus

Vektori (3; 4) suunas on muutumise kiirus 8; suurim väärtus on √65 = 8,062, suunanurgal 60,3°. Kui jätta vektor (3; 4) pikkusega jagamata, saame vastuseks 40 ehk viis korda liiga suure väärtuse. See on seda tüüpi ülesannete kõige tavalisem viga.
Puutujatasand ja selle abil lähendamine 3 sammu
Leia pinna z = √(x² + y²) puutujatasand punktis (3; 4) ja kasuta seda avaldise √(3,02² + 3,97²) ligikaudse väärtuse leidmiseks.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Punktis (3; 4) on kõrgus 5 ning osatuletised on x/√(x² + y²) ja y/√(x² + y²):
  
  $f (3, 4) = 5, f_{x} = \frac{3}{5} = 0.6, f_{y} = \frac{4}{5} = 0.8$
2. Puutujatasandi määravad kõrgus ja mõlemad kalded:
  
  $z = 5 + 0.6 (x - 3) + 0.8 (y - 4) = 0.6 x + 0.8 y$
3. Punktis (3,02; 3,97):
  
  $z = 0.6 (3.02) + 0.8 (3.97) = 1.812 + 3.176 = 4.988$
Vastus

Puutujatasand on z = 0,6x + 0,8y. Selle abil saadud lähend on 4,988, tegelik väärtus aga 4,988116. Punkti (3; 4) lähedal on pind peaaegu tasane, mistõttu puutujatasand lähendab seda hästi. Samamoodi lähendas puutuja kõverat tuletise õppelehel.
Kriitilised punktid ja teist järku tuletiste tunnus 3 sammu
Leia funktsiooni f(x, y) = x³ + y³ − 3xy kriitilised punktid ja liigita need.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Võrdsustame mõlemad osatuletised 0-ga:
  
  $f_{x} = 3 x^{2} - 3 y = 0, f_{y} = 3 y^{2} - 3 x = 0$
2. Esimesest võrrandist saame y = x². Teise võrrandisse asendades saame x⁴ = x, seega x = 0 või x = 1:
  
  $y = x^{2} \Rightarrow x^{4} = x \Rightarrow x (x^{3} - 1) = 0 \Rightarrow (0, 0), (1, 1)$
3. Teist järku osatuletised on f_xx = 6x, f_yy = 6y ja f_xy = −3. Rakendame tunnust kummaski punktis:
  
  $D (0, 0) = 0 \cdot 0 - (- 3)^{2} = - 9 < 0, D (1, 1) = 6 \cdot 6 - (- 3)^{2} = 27 > 0, f_{xx} = 6 > 0$
Vastus

(0; 0) on sadulpunkt ja (1; 1) lokaalne miinimum, kus f(1, 1) = −1. Pinna madalaim punkt see siiski pole: sirgel y = x kehtib f = 2x³ − 3x² ning x → −∞ korral kahaneb funktsiooni väärtus tõkestamatult.
Nõlva järskus: tõus itta 3 ja põhja 4 meetrit 6 sammu
Seisad nõlval, kus maapind tõuseb otse itta liikudes 3 meetrit iga 100 meetri kohta ning otse põhja liikudes 4 meetrit iga 100 meetri kohta. Kui järsk on nõlv, millises suunas see langeb ja millises suunas peaks kulgema tee, et selle tõusukalle oleks poole väiksem?

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Need kaks mõõtmist annavad osatuletised. Kallet on siin mugavam väljendada kujul 3 ja 4 saja kohta kui arvudena 0,03 ja 0,04. Arvutuse sisu sellest ei muutu.
  
  $f_{x} = 3, f_{y} = 4$
2. Suurim kalle võrdub gradiendi pikkusega. Seda ei anna osatuletiste summa ega neist suurem väärtus: 3 ja 4 annavad Pythagorase teoreemi järgi 5. Just sellist kallet tunneb kõndija kõige järsemas suunas.
  
  $∣\nabla f ∣ = 3^{2} + 4^{2} = 5$
3. Selle suunanurk on atan2(4, 3) ehk idasuunast mõõdetuna 53,1°. Languse suund on vastupidine, nurgaga 233,1°. Kummaski neist suundadest me midagi ei mõõtnud.
  
  $θ_{g} = atan2 (4, 3) = 53.1 3^{\circ}$
4. Et tee tõusukalle oleks 2,5 saja kohta, kasutame seost tagurpidi. Suurima tõusu suunaga nurga θ moodustavas suunas on kalle 5 cos θ. Seega cos θ = 2,5/5 ja θ = 60°.
  
  $D_{u} f = ∣\nabla f ∣ cos θ \Rightarrow cos θ = \frac{2.5}{5}, θ = 6 0^{\circ}$
5. Vaja on 60° kõrvalekallet. Suurima tõusu suunast 45° kõrvale pöörav tee tõuseks endiselt 3,54 saja kohta. See on 71% suurimast kaldest ja poolest veel kaugel.
  
  $5 cos 4 5^{\circ} = 3.54 (71% of 5)$
6. Samast koosinusest saame ka tee pikkuse. Kui kalle on poole väiksem, tuleb sama kõrguse saavutamiseks läbida kaks korda pikem maa, eeldusel et nõlva kalle püsib. Mägitee serpentiinid annavadki selleks vajaliku lisapikkuse.
  
  $length \propto 1/ cos 6 0^{\circ} = 2$
Vastus

Nõlva suurim kalle on 5 m iga 100 m kohta. Tõusu suunanurk on 53,1° ja languse oma 233,1°. Tee, mille tõusukalle on 2,5 m iga 100 m kohta, peab kulgema suurima tõusu suuna suhtes 60° nurga all ning olema kaks korda pikem. Tööriist vastab küsimuse esimesele poolele: vali suund ja saad teada kalde. Teine pool on pöördülesanne, millega puutuvad kokku nii teede projekteerijad kui ka kaldteede ligipääsetavuse nõuete ja suusaradade raskusastmete määrajad. Kui lubatud kalle on teada, siis millises suunas peab tee kulgema?
Nullkaldega suund ja kui kaua kõrgus püsib 6 sammu
Pinna 1,5x² + 2y² punktis (1; 1) näitab tööriist suunanurgal 143,1° kaldeks 0,000. Uuri, kuidas muutub maapinna kõrgus, kui jätkad selles suunas kõndimist. Kas nii saab liikuda kõrgust muutmata?

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. See suund erineb suurima tõusu suunast 53,1° veerandpöörde võrra. Skalaarkorrutise liikmed on −2,4 ja +2,4, seega näitab kaldemõõdik 0,000.
  
  $D_{u} f = 3 cos 143.1 3^{\circ} + 4 sin 143.1 3^{\circ} = 3 (- 0.8) + 4 (0.6) = 0$
2. Nullkalle ütleb midagi ainult esimese tuletise kohta. Leiame samas suunas teise tuletise. Selle annab kolmest teist järku osatuletisest moodustatud ruutvorm, millesse asetame sama suuna koosinuse ja siinuse.
  
  $D_{u}^{2} f = f_{xx} cos^{2} θ + 2 f_{x y} cos θ sin θ + f_{y y} sin^{2} θ$
3. Sellel pinnal on f_xx väärtus 3, f_yy väärtus 4 ja segatuletis 0. Teine tuletis nullkaldega suunas on seega 3,36. Positiivne väärtus näitab, et maapind kaardub ülespoole.
  
  $= 3 (0.64) + 0 + 4 (0.36) = 1.92 + 1.44 = 3.36$
4. Kõrguse muutumist piki seda sirget kirjeldab seega parabool, mille madalaimas punktis sa seisad. Poole ühiku kaugusel on maapind tõusnud 0,42 võrra, kõrguselt 3,5 kõrgusele 3,92. Lõikevaates näed täpselt seda kõverat.
  
  $f (s) \approx 3.5 + \frac{1}{2} (3.36) s^{2} = 3.5 + 1.68 s^{2}; s = 0.5 : 3.92$
5. Siit saame ka nivoojoone kõveruse. Joon, mida mööda kõrgus tõesti ei muutu, eemaldub puutujast kõverusega, mille saame teise suunatuletise jagamisel gradiendi pikkusega: 0,672. Sellele vastab kõverusraadius 1,488.
  
  $κ = \frac{D _{u}^{2} f}{∣\nabla f ∣} = \frac{3.36}{5} = 0.672, R = \frac{1}{κ} = 1.488$
6. Nivoojoone kõveruse üldvalem annab sama arvu otse osatuletistest, ilma et suunanurka üldse vaja läheks. Mõlemal viisil saame täpseks väärtuseks 84/125.
  
  $κ = \frac{f _{xx} f _{y}^{2} - 2 f _{x y} f _{x} f _{y} + f _{y y} f _{x}^{2}}{∣\nabla f ∣ ^{3}} = \frac{3 ( 16 ) + 4 ( 9 )}{125} = \frac{84}{125}$
Vastus

Ei. Selles suunas on kalle null vaid lähtepunktis; edasi maapind tõuseb. Poole ühiku läbimisel oled tõusnud 0,42 võrra, kuigi esimest järku lähend ennustas kõrguse muutuseks 0. Kaks nullkaldega suunda kulgevad piki nivoojoone puutujat. Kõrguse hoidmiseks tuleb suunda pidevalt muuta; selles punktis kirjeldab vajalikku pööret ringjoon raadiusega 1,488. Tööriist annab puutuja, kõverus aga näitab, kui kaugele selle lähendusele toetuda saab.

$κ = \frac{f _{xx} f _{y}^{2} - 2 f _{x y} f _{x} f _{y} + f _{y y} f _{x}^{2}}{∣\nabla f ∣ ^{3}} = \frac{84}{125} = 0.672$

Mägi on järsem kui ükski sinu mõõtmine 🖖

Seisa pinna 1,5x² + 2y² punktis (1; 1). Otse itta kõndides on kalle 3. Otse põhja kõndides on see 4. Suurim kalle selles punktis on aga 5, suunanurgal 53,1°, kuhu sa ei kõndinud. Osatuletis näitab kallet ühe koordinaattelge mööda. Telgede asetus sõltub omakorda vaid sellest, kuidas keegi koordinaadistiku valis. Osatuletised ühendab suurimaks kaldeks Pythagorase teoreem: √(f_x² + f_y²). See väärtus on vähemalt sama suur kui kummagi osatuletise absoluutväärtus ning mõlemast rangelt suurem, kui kumbki pole null. Erinevus on suurim võrdsete osatuletiste korral: kui mõõdad kummagi telje sihis kaldeks 1, siis suurim tõusukalle on tegelikult 1,414 ehk 41% suurem kui kumbki mõõdetud väärtus.

Kõik suunad korraga ja see on üksainus koosinus 🖖

Keera suunanuppu täisringi jagu ja jälgi kaldenäitu. See muutub koosinuse järgi: |∇f| cos(θ − θ_g), kus θ_g tähistab suurima tõusu suunanurka. See valem kirjeldab täielikult sileda pinna käitumist punktis esimese järgu lähenduses. Üks järeldus paistab ka kaardilt: kui gradient pole nullvektor, leidub kaks nullkaldega suunda, kummalgi pool suurima tõusu suunda veerandpöörde kaugusel. Need kulgevad piki nivoojoone puutujat. Seepärast lõikab kõige järsemalt üles viiv tee kõrgusjooni täisnurga all ja kõrgusjoonte kaart annab maastikust kiiresti ülevaate. Sama koosinus aitab hinnata, kui palju laugemaks tee suunda muutes läheb. Suurima tõusu suunast 45° kõrvale pöörates jääb alles veel 71% suurimast kaldest. Poole võrra kalle ei vähene, nii et nõlval suunda muutes võidad vähem, kui esialgu paistab.

Mõlemas suunas tasane pole veel tipp 🖖

Vajuta Ei tipp ega põhi. Funktsiooni x² − y² mõlemad osatuletised on nullpunktis nullid, kuid seal pole ei maksimumi ega miinimumi: x-telje sihis asub punkt oru põhjas, y-telje sihis aga seljandiku harjal. Nüüd vajuta Mõlemad teljed rõhtsad; sellele vastab pind xy. Mõlema telje sihis on pind täpselt rõhtne: lõikepaneel näitab sirget rõhtjoont nii 0° kui ka 90° juures. Ometi on tegu sadulpunktiga. Tõus ja langus ilmuvad hoopis diagonaalidel, kuhu ei taibatud vaadata. Juhtumeid eristab diskriminant f_xxf_yy − f_xy². Esimese pinna korral on see −4 ja teise korral −1: negatiivne väärtus tähendab sadulpunkti, positiivne väärtus maksimumi või miinimumi, mille määrab seejärel f_xx-i märk. Funktsiooni x³ − 3xy² korral on diskriminant 0 ning test ei anna mingit vastust. Selle pinna nullpunktist tõuseb kolm sektorit ja langeb kolm sektorit, kuid arvutuses kasutatud teist järku tuletised neid ei tuvasta.

Õpitee

Miks kõik tundub lähedalt sirge

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.