Miks mõõdetakse nurki radiaanides

Määra raadius ja nurk ning vaheta siis nurga mõõtühikut. Kaar, sektor, siinuse tõus ja väikenurga lähend muutuvad kõik kaasa, sest nad toetuvad ühele ja samale definitsioonile.

Kraadid ja radiaanid	$π rad = 18 0^{\circ}$
Kaare pikkus	$s = r θ$
Sektori pindala	$A = \frac{1}{2} r^{2} θ$
Siinuse tõus, θ radiaanides	$\frac{d}{d θ} sin θ = cos θ$

Näidisarvutus — Miks mõõdetakse nurki radiaanides

θ kraadides	57,2958°
Kaare pikkus s	1
Sektori pindala A	0,5
sin θ	0,841471
Kaare ja kõõlu vaheline segment	0,079265
Siinuse tõus kohal θ	0,540302
Viga lähenduses sin θ ≈ θ	18,84%

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Miks mõõdetakse nurki radiaanides

Nurk suurusega üks radiaan eraldab kaare, mille pikkus võrdub täpselt raadiusega. Radiaanides mõõdetud nurk väljendab seega kahe pikkuse suhet, kaare pikkust jagatuna raadiusega, ning täispööre on 2π.

Mida iga sümbol tähendab

r: raadius
θ: kesknurk, radiaanides, kui pole lisatud kraadimärki
s: nurgale vastav kaar
A: sektori pindala ehk kahe raadiuse ja kaare vahele jääv osa

Kust valem tuleb

Kaar. Definitsiooni järgi θ = s/r, millest s = rθ. Üks täisring mööda joont on kogu ringjoone pikkus 2πr; järelikult on täispööre 2π radiaani ja poolpööre, 180°, on π.
$θ = \frac{s}{r} \Rightarrow s = r θ s = 2 π r \Rightarrow θ = 2 π, π rad = 18 0^{\circ}$
Sektor. Sektor moodustab ringist sama osa kui kaar ringjoonest ehk murru θ / (2π), ning see osa täispinnast πr² on ½r²θ. Lahutades sellest kahele raadiusele toetuva kolmnurga pindalaga ½r² sin θ, jääb järele kaare ja kõõlu vaheline segment, mida joonisel tähistab punktiirjoon.
$A = \frac{θ}{2 π} \cdot π r^{2} = \frac{1}{2} r^{2} θ \frac{1}{2} r^{2} θ - \frac{1}{2} r^{2} sin θ = \frac{1}{2} r^{2} (θ - sin θ)$
Miks siinuse algtõus on 1. Ühikringil raadiusega 1 paiknevad nurgal 0 kuni π/2 üksteise sees kolm kujundit: sektorisisene kolmnurk, sektor ise ning puutujani ulatuv kolmnurk. Jagame nende pindalad läbi suurusega ½ sin θ. Nüüd jääb suhe θ/sin θ lõksu väärtuste 1 ja 1/cos θ vahele. Kuna 1/cos θ läheneb arvule 1, läheneb ka sin θ/θ paremalt väärtusele 1. Suhe sin θ/θ on paarisfunktsioon, mistõttu vasakult lähenedes saame täpselt sama: siinuse tõus kohal 0 on täpselt 1.
$\frac{1}{2} sin θ < \frac{1}{2} θ < \frac{1}{2} tan θ \Rightarrow 1 < \frac{θ}{sin θ} < \frac{1}{cos θ} \Rightarrow θ \to 0^{+} lim \frac{sin θ}{θ} = 1 \frac{sin ( - θ )}{- θ} = \frac{sin θ}{θ} \Rightarrow θ \to 0 lim \frac{sin θ}{θ} = 1$
Mida kraad maksab. x kraadi on πx/180 radiaani. Kraadides mõõtes venib horisontaaltelg 180/π korda pikemaks, mistõttu iga tõus on π/180 korda väiksem, ja see tegur jääb saatma iga kraadides arvutatud trigonomeetrilise funktsiooni tuletist.
$\frac{d}{d x} sin x^{\circ} = \frac{d}{d x} sin \frac{π x}{180} = \frac{π}{180} cos x^{\circ}$

Ülesanded täielikult lahendatud

Kraadidest radiaanideks ja tagasi 2 sammu
Avalda 150° radiaanides π kordsena ning teisenda 2,5 radiaani kraadideks.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Kuna 180° on π radiaani, on üks kraad π/180 radiaani. Korrutame ning taandame murru enne taskuarvuti järele haaramist:
  
  $15 0^{\circ} = 150 \times \frac{π}{180} = \frac{5 π}{6} \approx 2.61799$
2. Tagasiteisendusel korrutame teguriga 180/π:
  
  $2.5 \times \frac{180}{π} = \frac{450}{π} \approx 143.2 4^{\circ}$
Vastus

150° = 5π/6 ≈ 2,61799 rad ja 2,5 rad ≈ 143,24°. Eksamitöös oodatakse esimese vastusena kuju 5π/6; kümnendmurd on seesama nurk ümardatult.
Sektori kaar, pindala ja ümbermõõt 3 sammu
Ringi sektori raadius on 8 cm ja kesknurk 1,2 radiaani. Leia sektori kaare pikkus, pindala ja ümbermõõt.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Kui θ on radiaanides, võrdub kaar raadiuse ja nurga korrutisega:
  
  $s = r θ = 8 \times 1.2 = 9.6 cm$
2. Pindala moodustab ringist täpselt sama murdosa:
  
  $A = \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \times 64 \times 1.2 = 38.4 c m^{2}$
3. Ümbermõõt koosneb kaarest ja kahest raadiusest. Raadiuste unustamine on tüüpiline komistuskivi:
  
  $P = 2 r + s = 16 + 9.6 = 25.6 cm$
Vastus

s = 9,6 cm, A = 38,4 cm² ja ümbermõõt on 25,6 cm.
Raadius ja nurk kaare ning pindala kaudu 3 sammu
Sektori kaare pikkus on 12 cm ja pindala 48 cm². Leia raadius ja nurk.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Kirjutame mõlemad tingimused suuruste r ja θ kaudu:
  
  $r θ = 12, \frac{1}{2} r^{2} θ = 48$
2. Pindala on pool raadiuse ja kaare korrutisest, ½r·(rθ) = ½rs, seega saame raadiuse kätte ilma nurgata θ:
  
  $\frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} r \cdot r θ : 48 = \frac{1}{2} \times r \times 12 \Rightarrow r = 8 cm$
3. Seejärel leiame nurga kaare pikkuse kaudu:
  
  $θ = \frac{s}{r} = \frac{12}{8} = 1.5 rad \approx 85.9 4^{\circ}$
Vastus

r = 8 cm ja θ = 1,5 rad, ligikaudu 85,94°. Kui valida lehel raadiuseks 8 ja nurgaks 1,5, saame tulemuseks täpselt kaare 12 ja pindala 48.
Kõõlu eraldatud segment 3 sammu
Ringjoone kõõlule raadiusega 6 cm vastab kesknurk 120°. Leia väiksema segmendi pindala täpselt ja kolme tüvenumbrini ümardatult.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Kõigepealt teisendame nurga, sest mõlemad pindalavalemid nõuavad nurka radiaanides:
  
  $12 0^{\circ} = 120 \times \frac{π}{180} = \frac{2 π}{3}$
2. Segmendi saame, kui lahutame sektorist kahele raadiusele toetuva kolmnurga, mille pindala on ½r² sin θ:
  
  $A = \frac{1}{2} r^{2} θ - \frac{1}{2} r^{2} sin θ = \frac{1}{2} \times 36 \times \frac{2 π}{3} - \frac{1}{2} \times 36 \times \frac{3}{2}$
3. Lihtsustame kumbagi osa ja arvutame ligikaudse väärtuse:
  
  $A = 12 π - 93 \approx 37.6991 - 15.5885 = 22.1107$
Vastus

12π − 9√3 cm², ligikaudu 22,1 cm². Tööriist arvutab seda kujul ½r²(θ − sin θ), mis on seesama lahutustehe sulgude ette toodud teguriga ½r².

$A = 12 π - 93 \approx 22.1 c m^{2}$
sin 3° ilma taskuarvutita 3 sammu
Hinda väärtust sin 3° ilma taskuarvutita ja määra, kui palju hinnang tegelikust erineb.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Teisendame nurga, sest lähend sin θ ≈ θ kehtib üksnes radiaanides:
  
  $3^{\circ} = 3 \times \frac{π}{180} = \frac{π}{60} \approx 0.0523599$
2. Väikese nurga korral on siinus peaaegu võrdne nurgaga endaga:
  
  $sin 3^{\circ} \approx \frac{π}{60} \approx 0.05236$
3. Esimene kõrvale jäetud liige on −θ³/6, seega on hinnang umbes θ³/6 võrra liiga suur, mis moodustab vastusest murru θ²/6:
  
  $\frac{θ ^{3}}{6} \approx 2.39 \times 1 0^{- 5}, \frac{θ ^{2}}{6} \approx 0.000457 \approx 0.046%$
Vastus

sin 3° ≈ 0,05236, tegelikust umbes 0,046% suurem. Tööriist näitab siinuse täpset väärtust 0,052336 ja sedasama viga 0,046%.
Kuu läbimõõt, kui nurk taevas on 0,5181° ja kaugus 384 400 km 6 sammu
Kuu nurkläbimõõt taevas on 0,5181° ja kaugus 384 400 km. Arvuta Kuu läbimõõt ning leia, kui palju maksab kätte ühiku unustamine.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Kauge väikese objekti puhul kehtib seos suurus = kaugus × nurk, mis on valem s = rθ, kus raadiuseks on Kuu kaugus. Nurk θ peab olema radiaanides.
  
  $s = r θ (θ in radians)$
2. Teisendus: 0,5181 × π/180 = 0,0090426 radiaani.
  
  $0.518 1^{\circ} \times \frac{π}{180} = 0.0090426$
3. Korrutame: 384 400 × 0,0090426 = 3 476 km, võrdluseks mõõdetud keskmine läbimõõt 3 474,8 km.
  
  $384, 400 \times 0.0090426 = 3, 476 km$
4. Kui teisendus unustada ja korrutada otse kraadidega 0,5181, saame 199 158 km — Kuu, mille läbimõõt kataks juba tubli poole Maa ja Kuu vahelisest teest.
  
  $384, 400 \times 0.5181 = 199, 158 km$
5. Kahe tulemuse suhe on 57,30 ehk 180/π. Iga selline unustatud teisendus eksib täpselt selle teguri võrra, ükskõik millised olid arvud.
  
  $\frac{199 , 158}{3 , 476} = 57.30 = \frac{180}{π}$
6. Üks kontroll enne vastuse usaldamist. Valem käsitleb Kuu läbimõõtu kaarena, mitte sirglõiguna, kuid selle nurga all erinevad need 3 476 km kohta vaid 12 meetrit ehk 3 miljondikosa. Tulemuse täpsust ei piira seega mitte see lähendus.
  
  $arc - chord = 12 m in 3, 476 km$
Vastus

3 476 km, ja radiaanide unustamine toob kaasa teguri 57,3. Neljandat numbrit ei piira mitte geomeetria, vaid andmete kokkusobitamine. Kuu kaugus muutub kuu vältel vahemikus 363 300 km kuni 405 500 km ehk 11%, ja koos sellega muutub ka nurkläbimõõt. Isegi keskmise nurga sidumine keskmise kaugusega annab 1,2 km suuruse nihke — see ongi vahe ülal saadud 3 476 ja tegeliku 3 474,8 km vahel, sest nurkläbimõõt sõltub kaugusest pöördvõrdeliselt kui 1/d ning pöördväärtuse keskmine ei võrdu keskmise pöördväärtusega. Kui siduda see keskmine nurk hoopis tänase perigee kaugusega, tekib 190 km suurune viga, kuigi tehe ise oli igati korrektne. Valem ei oska ju öelda, et talle ette antud kaks arvu pärinevad eri aegadest.
Siinuse tõus kraadides 4 sammu
Kraadirežiimis taskuarvuti arvutab funktsiooni f(x) = sin x, kus x on kraadides. Leia f′(60) ning võrdle seda siinuse tõusuga kohal π/3 radiaani.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. x kraadi on πx/180 radiaani, seega on f teisele skaalale viidud muutuja siinus:
  
  $f (x) = sin x^{\circ} = sin \frac{π x}{180}$
2. Telje skaleerimine muudab iga tõusu sama teguri võrra, milleks on π/180:
  
  $f^{'} (x) = \frac{π}{180} cos \frac{π x}{180} = \frac{π}{180} cos x^{\circ}$
3. Kohal x = 60 on cos 60° = ½:
  
  $f^{'} (60) = \frac{π}{180} \times \frac{1}{2} = \frac{π}{360} \approx 0.008727$
4. Sama punkt radiaanides on π/3, kus tõus on cos(π/3) = ½. Need kaks vastust erinevad üksnes teguri π/180 poolest:
  
  $\frac{d}{d θ} sin θ_{θ = π /3} = cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$
Vastus

f′(60) = π/360 ≈ 0,008727 kraadi kohta, võrreldes väärtusega ½ radiaani kohta.

$f^{'} (60) = \frac{π}{360} \approx 0.008727$
θ jääb siinuse ja tangensi vahele, kuid mitte täpselt keskele 6 sammu
Nurga 10° korral kuvab paneel kaare pikkuseks 0,174533, siinuseks 0,173648 ja veaks 0,51%. Arvuta välja sama nurga tangens ning otsusta, kas 0,51% on parim, mida neist kahest arvust saada saab.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Kümme kraadi on 10 × π/180 = 0,174533 radiaani ning ühikringil raadiusega 1 võrdub kaar nurgaga. Selles seisnebki seose s = rθ kogu sisu.
  
  $θ = 1 0^{\circ} \times \frac{π}{180} = 0.174533 rad, s = r θ = θ (r = 1)$
2. Siinus jääb väärtusega 0,173648 pisut alla. Paneel jagab selle puudujäägi siinusega ning annab veaks 0,51%.
  
  $sin θ = 0.173648, \frac{θ - sin θ}{sin θ} = \frac{0.000885}{0.173648} = 0.51%$
3. Puudujäägi suurust saab ette ennustada. Kuna sin θ = θ − θ³/6 + …, peaks vahe θ − sin θ olema ligikaudu θ³/6 = 0,000886; tegelik vahe on 0,000885.
  
  $sin θ = θ - \frac{θ ^{3}}{6} + \dots ⟹ θ - sin θ \approx \frac{θ ^{3}}{6} = 0.000886$
4. Tangens läheb aga samasuguse liikme võrra üle, kusjuures kordaja on kaks korda suurem: tan θ = θ + θ³/3 + …, millest tan θ − θ = 0,001794. Kokku kehtib ahel sin θ < θ < tan θ. See haare ongi tõkestus, mis tõestab, et siinuse tõus nullkohal on radiaanides täpselt 1, ning leht näitab vaid selle alumist poolt.
  
  $tan θ = θ + \frac{θ ^{3}}{3} + \dots = 0.176327 ⟹ tan θ - θ = 0.001794 \approx \frac{θ ^{3}}{3}$
5. Vahemik pole sümmeetriline. Tangens ületab sihti 2,03 korda rohkem kui siinus alla jääb, mistõttu θ asub siinusest tangensini viivast vahemikust ühe kolmandiku, mitte poole peal.
  
  $sin θ < θ < tan θ, \frac{tan θ - θ}{θ - sin θ} = 2.03 ⟹ θ lies one third of the way up$
6. Kui võtta väärtused arvesse samas kaalusuhtes, taanduvad kuupliikmed täielikult välja, sest 2(−⅙) + ⅓ = 0. Kaalutud väärtus (2 sin θ + tan θ)/3 = 0,1745411 eksib vaid 8,2 × 10⁻⁶ ehk 0,0047%: see on samast kahest arvust tuletatuna üle saja korra täpsem kui siinus üksi.
  
  $2 (- \frac{1}{6}) + \frac{1}{3} = 0 : \frac{2 sin θ + tan θ}{3} = 0.1745411, out by 8.2 \times 1 0^{- 6} = 0.0047%$
Vastus

Tangens annab väärtuseks 0,176327, teisel pool kaart, ning 0,51% pole kaugeltki parim tulemus, mida neist numbritest leida võib. Sellisel kaalumisel on teise nime all pikk ajalugu: ringi sisse joonestatud korrapärase hulknurga ümbermõõt on 2n sin(π/n) ja ümber joonestatul 2n tan(π/n) ehk needsamad siinus ja tangens nurgal θ = π/n, ning läbimõõduga jagamine annab klassikalised π tõkked. 96 külje korral on need 3,14103195 ja 3,14271460, mis omaette annavad π väärtuseks 3,14; kombineerituna kujul (2 × 3,14103195 + 3,14271460)/3 saame aga 3,14159283 tegeliku 3,14159265 vastu. Tangens on tööriista mudelis kogu aeg olemas olnud; eraldi kaardi saab ainult siinus, sest just väikenurga reeglit vajatakse füüsikas.

$n = 96 : \frac{2 ( 3.14103195 ) + 3.14271460}{3} = 3.14159283 (π = 3.14159265)$

Siinuse tuletis on koosinus ainult radiaanides 🖖

Vajuta Tõusu arvutus sõltub ühikust. Kui θ = 0, on siinuse tõus radiaanides täpselt 1. Vaheta nüüd ühikut: sama kõvera samas punktis on tõus 0,017453, sest kraad on radiaanist väiksem samm ja siinuse väärtus kasvab ühe sammu kohta võrdeliselt vähem. Puhas reegel d/dx sin x = cos x kehtib seega ainult radiaanides. Sama puudutab siinuse rida, kõiki Fourier’ liikmeid ja allpool toodud väikese nurga tulemust. Kraadidel põhinev diferentsiaal- ja integraalarvutus on täiesti võimalik, kuid tegur ei kao kuhugi: esimese tuletisega kaasneb π/180, teisega selle ruut, integraaliga pöördväärtus. Seepärast ei rajata arvutust kraadidele.

Lähendus peab vastu palju kauem, kui võiks arvata 🖖

Väikese nurga korral kehtib sin θ ≈ θ. Rea järgmine liige on −θ³/6, seega kasvab suhteline viga nagu θ²/6 ehk võrdeliselt nurga ruuduga, püsides pikka aega märkamatu. Nurga 1° juures eksib see 0,005%, 5° juures 0,127% ning isegi 10° juures vaid 0,51%. Alles 30° juures rebeneb lähend päriselt lahti, jõudes 4,72%-ni. Just sellele lihtsustusele toetub pendli liikumine: liikumisvõrrand muutub harmooniliseks alles siis, kui sin θ asendatakse nurgaga θ. Seetõttu käib tõeline pendelkell seda aeglasemalt, mida laiem on tema võnge — ja seegi mahajäämus kasvab võrdeliselt nurga ruuduga.

Õpitee

Miks kõik tundub lähedalt sirge

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.