Trigonomeetriliste võrrandite lahendamine

Sisesta võrrand ja intervall. Näed kalkulaatorilt saadavat peaväärtust, siinuse ja koosinuse korral ka sama pöörde teist nurgaväärtust ning kõiki intervalli kuuluvaid lahendeid. Iga lahend on kujutatud nii kõvera ja nivoojoone lõikepunktina kui ka kohana, kus argumendi muutumist kujutav spiraal lõikab ühikringjoonel lahendile vastavat kiirt.

sin x = k, \|k\| ≤ 1	$x = α + 2 nπ, x = π - α + 2 nπ α = arcsin k$
cos x = k, \|k\| ≤ 1	$x = \pm α + 2 nπ, α = arccos k$
tan x = k, iga k korral	$x = α + nπ, α = arctan k$

Näidisarvutus — Trigonomeetriliste võrrandite lahendamine

Kalkulaatorilt saadud peaväärtus	17,46°
Sama pöörde teine nurgaväärtus	162,54°
Üldlahend, n on suvaline täisarv	162,54° + 360°n
Intervalli kuuluvad lahendid	17,46°, 162,54°
Lahendite arv	2

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Trigonomeetriliste võrrandite lahendamine

Trigonomeetrilise võrrandi lahendamisel otsime etteantud intervallist kõiki nurki, mille korral trigonomeetrilisel avaldisel on nõutud väärtus. Võrrandi üldlahend kirjeldab kõiki sobivaid nurki intervalli piiranguta kujul x = x₀ + n × periood, kus n on suvaline täisarv. Igale nõutud funktsiooniväärtusele vastab üks või kaks sellist lahendite seeriat.

Kust valem tuleb

Leia peaväärtus. α = arcsin k on kindlast väärtuste piirkonnast pärinev nurk, mille kalkulaator vastuseks annab. Sellest saab lahendamist alustada ka siis, kui see jääb etteantud intervallist välja.
$arcsin k arccos k arctan k \in [- 9 0^{\circ}, 9 0^{\circ}] \in [0^{\circ}, 18 0^{\circ}] \in (- 9 0^{\circ}, 9 0^{\circ})$
Leia ringjoone sümmeetria abil sama pöörde teine nurgaväärtus. Sirge y = k lõikepunktidele vastavad nurgad α ja 180° − α, sirge x = k lõikepunktidele α ja −α ning alguspunkti O läbiva tõusuga k sirge lõikepunktidele α ja α + 180°.
$sin x = k : cos x = k : tan x = k : α, 18 0^{\circ} - α α, - α α, α + 18 0^{\circ}$
Lisa täisarv kordi perioodi, kuni kõik argumendi intervalli kuuluvad väärtused on leitud. Seejärel avalda x. Funktsiooni f(ax + b) korral muutub u = ax + b väärtusest a·x₁ + b väärtuseni a·x₂ + b ning igast u väärtusest saame x = (u − b)/a.
$u = u_{0} + 36 0^{\circ} n (tan : u_{0} + 18 0^{\circ} n), x = \frac{u - b}{a}$
Kui võrrandis on kaks funktsiooni või funktsiooni ruut, taanda see ruutvõrrandiks ühe funktsiooni suhtes. Asenda cos²x avaldisega 1 − sin²x, lahenda võrrand muutuja s = sin x suhtes ning jäta alles ainult −1 ja 1 vahele jäävad juured.
$cos^{2} x = 1 - sin^{2} x, s = sin x, - 1 \leq s \leq 1$

Eeldab: Võrranditel sin x = k ja cos x = k on lahendeid ainult siis, kui −1 ≤ k ≤ 1. Võrrandil tan x = k on lahendeid iga k korral.

Ülesanded täielikult lahendatud

sin x = k kraadides 3 sammu
Lahenda sin x = 0,3 intervallis 0° ≤ x ≤ 360°. Anna vastused kahe kümnendkohaga.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Peaväärtuse saame kalkulaatorilt:
  
  $α = arcsin 0.3 = 17.4 6^{\circ}$
2. Siinus on positiivne I ja II veerandis. Sama pöörde teine nurgaväärtus on 180° − α:
  
  $x = 18 0^{\circ} - 17.4 6^{\circ} = 162.5 4^{\circ}$
3. 360° liitmisel või lahutamisel jääks kumbki väärtus intervallist välja, seega rohkem lahendeid pole:
  
  $17.4 6^{\circ} + 36 0^{\circ} = 377.4 6^{\circ} > 36 0^{\circ}, 162.5 4^{\circ} - 36 0^{\circ} = - 197.4 6^{\circ} < 0^{\circ}$
Vastus

x = 17,46° või x = 162,54°.

$x = 17.4 6^{\circ}, x = 162.5 4^{\circ}$
cos x = k intervallis keskpunktiga 0 3 sammu
Lahenda cos x = −0,6 intervallis −180° ≤ x ≤ 180°.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. arccos annab väärtuse 0° ja 180° vahelt. Siin asub see II veerandis, kus koosinus on negatiivne:
  
  $α = arccos (- 0.6) = 126.8 7^{\circ}$
2. Teine nurgaväärtus on −α, millele vastav punkt on esimese peegelpilt x-telje suhtes:
  
  $x = - α = - 126.8 7^{\circ}$
3. Mõlemad kuuluvad intervalli. Perioodi võrra nihutamine viiks need sealt välja:
  
  $126.8 7^{\circ} - 36 0^{\circ} = - 233.1 3^{\circ} < - 18 0^{\circ}, - 126.8 7^{\circ} + 36 0^{\circ} = 233.1 3^{\circ} > 18 0^{\circ}$
Vastus

x = ±126,87°.

$x = \pm 126.8 7^{\circ}$
tan x = k, kui kalkulaatori antud väärtus jääb intervallist välja 2 sammu
Lahenda tan x = −2 intervallis 0° ≤ x ≤ 360°.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Kalkulaator annab negatiivse nurga, mis jääb intervallist välja:
  
  $α = arctan (- 2) = - 63.4 3^{\circ}$
2. Tangensi väärtused korduvad iga 180° järel. Liidame 180° ühe ja seejärel kaks korda; kolmandal liitmisel saaksime 476,57°, mis ületab 360°:
  
  $x = - 63.4 3^{\circ} + 18 0^{\circ} = 116.5 7^{\circ}, x = - 63.4 3^{\circ} + 36 0^{\circ} = 296.5 7^{\circ}$
Vastus

x = 116,57° või x = 296,57°. Kalkulaatorilt saadud −63,43° ei ole kumbki neist.

$x = 116.5 7^{\circ}, x = 296.5 7^{\circ}$
Täpne vastus radiaanides 3 sammu
Lahenda sin x = −√3/2 intervallis 0 ≤ x ≤ 2π. Anna täpsed vastused.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Kuna sin(π/3) = √3/2, on peaväärtus selle nurga vastandarv:
  
  $α = arcsin (- \frac{3}{2}) = - \frac{π}{3}$
2. Sama pöörde teine nurgaväärtus on π − α:
  
  $x = π - (- \frac{π}{3}) = \frac{4 π}{3}$
3. α on negatiivne. Intervalli kuuluva väärtuse saamiseks liidame sellele 2π:
  
  $x = - \frac{π}{3} + 2 π = \frac{5 π}{3}$
Vastus

x = 4π/3 või x = 5π/3.

$x = \frac{4 π}{3}, x = \frac{5 π}{3}$
Liitargument muudab lahendite arvu 3 sammu
Lahenda sin(2x − 30°) = √3/2 intervallis 0° ≤ x ≤ 360°.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Olgu u = 2x − 30°. Kui x muutub 0°-st 360°-ni, läbib u kaks täispööret:
  
  $u = 2 x - 3 0^{\circ} : 2 \cdot 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = - 3 0^{\circ} \leq u \leq 2 \cdot 36 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 69 0^{\circ}$
2. Ühe täispöörde jooksul kehtib sin u = √3/2 nurkadel 60° ja 120°. Järgmisel pöördel lisandub kummalegi 360°:
  
  $u = 6 0^{\circ}, 12 0^{\circ}, 42 0^{\circ}, 48 0^{\circ}$
3. Avaldame x-i: x = (u + 30°)/2:
  
  $x = \frac{u + 3 0 ^{\circ}}{2} = 4 5^{\circ}, 7 5^{\circ}, 22 5^{\circ}, 25 5^{\circ}$
Vastus

Neli lahendit: x = 45°, 75°, 225° ja 255°. Kui oleksime otsinud u väärtusi ainult 0° ja 360° vahelt, oleksime leidnud neist kaks.

$x = 4 5^{\circ}, 7 5^{\circ}, 22 5^{\circ}, 25 5^{\circ}$
Ruutvõrrand cos x suhtes, mille üks juur ei sobi 3 sammu
Lahenda 2cos²x + 3cos x − 2 = 0 intervallis 0° ≤ x ≤ 360°.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Asendame s = cos x ja tegurdame:
  
  $2 s^{2} + 3 s - 2 = (2 s - 1) (s + 2) = 0$
2. s = −2 on ruutvõrrandi juur, kuid koosinus ei saa sellist väärtust võtta. Järele jääb üks võrrand:
  
  $s = \frac{1}{2}, s = - 2 < - 1$
3. Võrrandist cos x = 1/2 saame α = 60°. Teisele nurgaväärtusele −60° vastab intervallis 300°:
  
  $x = 6 0^{\circ}, x = 36 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 30 0^{\circ}$
Vastus

x = 60° või x = 300°.

$x = 6 0^{\circ}, x = 30 0^{\circ}$
Ühele funktsioonile taandamine seosega sin²x + cos²x = 1 3 sammu
Lahenda 2cos²x + 3sin x − 3 = 0 intervallis 0° ≤ x ≤ 360°.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Võrrandis on nii koosinus kui ka siinus. Asendame cos²x avaldisega 1 − sin²x, et alles jääks ainult sin x:
  
  $2 (1 - sin^{2} x) + 3 sin x - 3 = 0 \Rightarrow 2 sin^{2} x - 3 sin x + 1 = 0$
2. Asendame s = sin x ja tegurdame:
  
  $(2 s - 1) (s - 1) = 0, s = \frac{1}{2}, s = 1$
3. Võrrand sin x = 1/2 annab 30° ja 150°. Võrrandist sin x = 1 saame ainult 90°, sest α ja 180° − α on sel juhul sama nurk:
  
  $x = 3 0^{\circ}, 15 0^{\circ}; x = 9 0^{\circ}$
Vastus

Kolm lahendit: x = 30°, 90° ja 150°.

$x = 3 0^{\circ}, 9 0^{\circ}, 15 0^{\circ}$
Jagamisega tangensini 2 sammu
Lahenda √3 sin x = cos x intervallis −π ≤ x ≤ π.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Kui cos x = 0, siis sin x = ±1 ja vasak pool on ±√3, seega ei võrdu see 0-ga. Ühegi lahendi korral ei ole cos x = 0, mistõttu võime cos x-ga jagada:
  
  $\frac{3 sin x}{cos x} = \frac{cos x}{cos x} \Rightarrow tan x = \frac{1}{3}$
2. α = arctan(1/√3) = π/6 ning tangensi väärtused korduvad iga π järel:
  
  $x = \frac{π}{6}, x = \frac{π}{6} - π = - \frac{5 π}{6}$
Vastus

x = −5π/6 või x = π/6.

$x = - \frac{5 π}{6}, x = \frac{π}{6}$
Üldlahend 3 sammu
Leia võrrandi cos 2x = −1/2 üldlahend radiaanides ning kõik lahendid 0 ja 2π vahel.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. arccos(−1/2) = 2π/3. Koosinuse korral saame nurgad ±α, millele võib liita täisarv kordi 2π:
  
  $2 x = \pm \frac{2 π}{3} + 2 nπ$
2. Jagame 2-ga, mis vähendab ka perioodi poole võrra:
  
  $x = \pm \frac{π}{3} + nπ, n \in Z$
3. Väärtustel n = 0, 1 ja 2 saame 0 ja 2π vahele jäävad lahendid
  
  $x = \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}, \frac{5 π}{3}$
Vastus

x = ±π/3 + nπ, kus n on suvaline täisarv; 0 ja 2π vahel on lahendid π/3, 2π/3, 4π/3 ja 5π/3.

$x = \pm \frac{π}{3} + nπ, n \in Z$

Lisaülesanded, ainult vastustega

Lahenda cos x = 0,25 intervallis 0° ≤ x ≤ 360°. Anna vastused kahe kümnendkohaga.

Näita vastust

x = 75,52° või x = 284,48°. Kalkulaator annab 75,52°. Teine nurgaväärtus on −75,52°, millele vastab intervallis 284,48°.

$x = 75.5 2^{\circ}, x = 284.4 8^{\circ}$
Lahenda tan(x/2) = 3 intervallis 0° ≤ x ≤ 360°. Mitu lahendit on?

Näita vastust

Üks: x = 143,13°. Argument x/2 muutub ainult 0°-st 180°-ni ehk läbib pool pööret. Selle jooksul võrdub tangens 3-ga ainult siis, kui x/2 = 71,57°.

$x = 143.1 3^{\circ}$
Lahenda 3sin²x − sin x − 2 = 0 intervallis 0° ≤ x ≤ 360°. Anna vastused kahe kümnendkohaga.

Näita vastust

(3sin x + 2)(sin x − 1) = 0. Võrrand sin x = 1 annab 90°, võrrand sin x = −2/3 aga 221,81° ja 318,19°. Kokku on kolm lahendit.

$x = 9 0^{\circ}, 221.8 1^{\circ}, 318.1 9^{\circ}$
Lahenda 2sin²x = cos x + 1 intervallis 0 ≤ x ≤ 2π. Anna täpsed vastused.

Näita vastust

Asendusega sin²x = 1 − cos²x saame 2cos²x + cos x − 1 = 0, millest cos x = 1/2 või cos x = −1. Seega x = π/3, π ja 5π/3.

$x = \frac{π}{3}, π, \frac{5 π}{3}$
Leia võrrandi sin 3x = 1/2 üldlahend kraadides.

Näita vastust

3x = 30° + 360°n või 3x = 150° + 360°n, seega x = 10° + 120°n või x = 50° + 120°n.

$x = 1 0^{\circ} + 12 0^{\circ} n, x = 5 0^{\circ} + 12 0^{\circ} n$

Kolm reeglit ringjoone sümmeetriast 🖖

Siinus näitab ringjoone punkti kõrgust. Kaks punkti kõrgusel k on teineteise peegelpildid y-telje suhtes, mistõttu annab sin x = k nurgad α ja 180° − α. Koosinus on punkti horisontaalkoordinaat ning sama koosinusega punktid on sümmeetrilised x-telje suhtes: neile vastavad nurgad α ja −α. Tangens on punkti ja alguspunkti O läbiva sirge tõus. See sirge lõikab ringjoont kahes vastaspunktis, nurkadel α ja α + 180°. Nii korduvad tangensi väärtused iga poole pöörde järel, siinuse ja koosinuse omad aga täispöörde järel. Vajuta cos x = −0,6: vertikaalsirge x = −0,6 lõikab ringjoont nurkadel ±126,87°. Kui vajutad tan x = −2, näed, et tõusuga −2 sirge lõikepunktidele vastavad nurgad 116,57° ja 296,57°, mille vahe on pool pööret.

Lahendite arvu saab teada enne lahendamist 🖖

Vajuta sin(2x − 30°) = √3/2. Kui x muutub 0°-st 360°-ni, muutub argument 2x − 30° väärtusest −30° väärtuseni 690°, läbides täpselt kaks täispööret. Ringjoonel olev spiraal lõikab kumbagi lahendikiirt igal pöördel ühe korra. Seega on lahendeid neli, kuigi me pole veel ühtki neist leidnud. Lahendades võrrandi sin u = √3/2 ainult 0° ja 360° vahel, saame u = 60° ja 120° ning neist x = 45° ja 75°. Kaks lahendit jääb leidmata. Täispöörete kaupa lugedes ja ainult üht otspunkti arvestades saadakse igal pöördel täpselt kaks lahendit: siinuse ja koosinuse korral, kui −1 < k < 1, ning tangensi korral iga k puhul, sest tangensi periood on pool pööret. Kui k = ±1, langevad kaks punkti kokku. Täpselt intervalli otspunkti sattuv lahend läheb arvesse vaid siis, kui selle otspunkti juures on märk ≤, mitte <.

Siinusega jagades võib lahendeid kaotada 🖖

Võrrandit 2 sin x cos x = sin x näib saavat lihtsustada kujule 2 cos x = 1. Sellest saame 0° ja 360° vahel lahendid 60° ja 300°. Jagamine sin x-ga eeldab aga, et sin x ≠ 0. Nurkade 0°, 180° ja 360° korral on lähtevõrrandi mõlemad pooled 0, seega on kõik kolm samuti lahendid, mis jagamisel kaotsi läksid. Tegurdamine säilitab need: sin x (2 cos x − 1) = 0, millest sin x = 0 või cos x = 1/2. Kokku saame kahe asemel viis lahendit. Jagada võib siis, kui jagaja nullkohad ei saa olla võrrandi lahendid. Võrrandis √3 sin x = cos x see nii ongi: kui cos x = 0, siis sin x = ±1 ja vasak pool on ±√3. Seega ei lähe cos x-ga jagades ning võrrandile tan x = 1/√3 üle minnes ükski lahend kaotsi.

Õpitee

Trigonomeetrilised samasused ja võrrandid

Allikad (1)

Solving trigonometric equations on an interval and in general (adding 2πk to an initial solution), with multiple angles such as sin 2x, equations in quadratic form, and fundamental identities used first: J. Abramson, Precalculus 2e, OpenStax (2021), section 7.5, “Solving Trigonometric Equations”.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.