Liitnurga valemid

Vali nurgad A ja B kraadides või eksamiülesannete eeskujul funktsiooni väärtuse ja veerandi järgi ning määra tehteks A + B või A − B. Joonisel jõutakse punktini P kahe liikumisega: esmalt cos B piki pööratud telge ja seejärel ±sin B sellega risti. Tabel arvutab tulemused kolme valemi abil. Kui A ja B on 15° täiskordsed, annab see siinuse ja koosinuse täpse väärtuse juuravaldisena; kui asjassepuutuvad tangensid on määratud, siis ka tangensi.

Siinus	$sin (A \pm B) = sin A cos B \pm cos A sin B$
Koosinus, vastandmärk	$cos (A \pm B) = cos A cos B \mp sin A sin B$
Tangens	$tan (A \pm B) = \frac{tan A \pm tan B}{1 \mp tan A tan B}$

Näidisarvutus — Liitnurga valemid

Liitnurk	75°
Nurga A siinus	0,7071
Nurga A koosinus	0,7071
Nurga B siinus	0,5
Nurga B koosinus	0,866
Siinuse valem	0,9659
Koosinuse valem	0,2588
Tangensi valem	3,7321

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Liitnurga valemid

Liitnurga valemid võimaldavad leida nurkade A + B ja A − B siinuse, koosinuse ning tangensi nurkade A ja B siinuste ja koosinuste kaudu.

Kust valem tuleb

Pööra telgi nurga A võrra. Uus x-telg osutab suunas (cos A, sin A) ning uus y-telg suunas (−sin A, cos A). Pööratud teljestiku suhtes asub punkt P nurga B all, seega paikneb see piki esimest telge kaugusel cos B ja piki teist kaugusel sin B.
$P = cos B (cos A, sin A) + sin B (- sin A, cos A)$
Loe välja punkti P koordinaadid. Algse x-telje suhtes on punkti P nurk A + B, seega on tema koordinaatideks cos(A + B) ja sin(A + B). Mõlemad koosnevad kahest korrutisest: oranžid kaatetid horisontaalsihis, sinised püstloodis.
$cos (A + B) sin (A + B) = cos A cos B - sin A sin B = sin A cos B + cos A sin B$
Asenda B väärtusega −B. Kuna cos(−B) = cos B ja sin(−B) = −sin B, vahetavad märki üksnes need liikmed, milles esineb sin B.
$cos (A - B) sin (A - B) = cos A cos B + sin A sin B = sin A cos B - cos A sin B$
Jaga siinus koosinusega läbi. Jagades iga liikme korrutisega cos A cos B, teisenevad jagatised tangensiteks ja järele jääb 1. See eeldab, et cos A ja cos B ei ole nullid.
$tan (A + B) = \frac{sin A cos B + cos A sin B}{cos A cos B - sin A sin B} = \frac{tan A + tan B}{1 - tan A tan B}$

Ülesanded täielikult lahendatud

Täpne väärtus tuntud nurkade summast 2 sammu
Leia nurga sin 75° täpne väärtus.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Kuna 75° = 45° + 30° ning mõlema nurga siinus ja koosinus on täpselt teada, avame valemi:
  
  $sin 7 5^{\circ} = sin 4 5^{\circ} cos 3 0^{\circ} + cos 4 5^{\circ} sin 3 0^{\circ}$
2. Asendame väärtused ja viime ühisele nimetajale 4:
  
  $= \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} + \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6}{4} + \frac{2}{4}$
Vastus

sin 75° = (√6 + √2)/4 ≈ 0,9659.

$sin 7 5^{\circ} = \frac{6 + 2}{4} \approx 0.9659$
Tangensi täpne väärtus nurkade vahest 2 sammu
Leia nurga tan 15° täpne väärtus kujul a + b√3.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. 15° = 60° − 45°, kusjuures tan 60° = √3 ja tan 45° = 1:
  
  $tan 1 5^{\circ} = \frac{tan 6 0 ^{\circ} - tan 4 5 ^{\circ}}{1 + tan 6 0 ^{\circ} tan 4 5 ^{\circ}} = \frac{3 - 1}{1 + 3}$
2. Korrutame nimetaja vabastamiseks murru lugejat ja nimetajat avaldisega √3 − 1:
  
  $= \frac{( 3 - 1 ) ^{2}}{( 3 + 1 ) ( 3 - 1 )} = \frac{4 - 2 3}{2} = 2 - 3$
Vastus

tan 15° = 2 − √3 ≈ 0,2679.

$tan 1 5^{\circ} = 2 - 3 \approx 0.2679$
Siinus ja koosinus kahes eri veerandis 3 sammu
sin A = 4/5, kus A on nürinurk, ja cos B = −5/13, kus 180° < B < 270°. Leia sin(A + B), cos(A + B) ja tan(A + B) ning tee kindlaks, millisesse veerandisse jääb A + B.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Esmalt leiame kaks puuduvat väärtust seosest sin² + cos² = 1, arvestades veerandi märki: II veerandis on koosinus negatiivne ja III veerandis siinus negatiivne.
  
  $cos A = - 1 - \frac{16}{25} = - \frac{3}{5}, sin B = - 1 - \frac{25}{169} = - \frac{12}{13}$
2. Seejärel rakendame liitnurga valemeid:
  
  $sin (A + B) cos (A + B) = \frac{4}{5} (- \frac{5}{13}) + (- \frac{3}{5}) (- \frac{12}{13}) = \frac{- 20 + 36}{65} = \frac{16}{65} = (- \frac{3}{5}) (- \frac{5}{13}) - \frac{4}{5} (- \frac{12}{13}) = \frac{15 + 48}{65} = \frac{63}{65}$
3. Mõlemad väärtused on positiivsed. Liitnurk A + B jääb vahemikku 270° kuni 450°. Kuna nii siinus kui ka koosinus on positiivsed, peab nurk asuma vahemikus 360° kuni 450°, see tähendab I veerandis. Tangens on nende jagatis:
  
  $tan (A + B) = \frac{16/65}{63/65} = \frac{16}{63}$
Vastus

sin(A + B) = 16/65 ≈ 0,2462, cos(A + B) = 63/65 ≈ 0,9692, tan(A + B) = 16/63 ≈ 0,254 ning A + B asub I veerandis.

$sin (A + B) = \frac{16}{65}, cos (A + B) = \frac{63}{65}, tan (A + B) = \frac{16}{63}$
Nurkade summa kahe tangensi kaudu 2 sammu
tan A = 1/2 ja tan B = 1/3, kus A ja B on teravnurgad. Leia taskuarvutita A + B.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Asetame mõlemad tangensid valemisse:
  
  $tan (A + B) = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{5/6}{5/6} = 1$
2. Kuna mõlemad tangensid on alla 1, on nurgad A ja B kumbki alla 45° ning nende summa A + B jääb vahemikku 0° kuni 90°. Selles vahemikus on tangensi väärtus 1 üksnes nurgal 45°.
  
  $0^{\circ} < A + B < 9 0^{\circ}, tan (A + B) = 1 \Rightarrow A + B = 4 5^{\circ}$
Vastus

A + B = 45°, ehkki A ≈ 26,5651° ja B ≈ 18,4349° ei ole erinurgad.

$A + B = 4 5^{\circ}$
Olukord, kus tan(A + B) pole määratud 3 sammu
tan A = 2 ja tan B = 1/2, kus A ja B on teravnurgad. Mis juhtub väärtusega tan(A + B) ja kui suur on A + B?

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Valemi nimetaja muutub nulliks:
  
  $1 - tan A tan B = 1 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 0$
2. Nimetaja avaldub kujul cos(A + B)/(cos A cos B) ning kuna cos A cos B ei ole null, siis
  
  $1 - tan A tan B = \frac{cos ( A + B )}{cos A cos B} = 0 \Rightarrow cos (A + B) = 0$
3. A + B jääb vahemikku 0° kuni 180° ning ainus nurk selles vahemikus, mille koosinus on 0, on 90°:
  
  $0^{\circ} < A + B < 18 0^{\circ} \Rightarrow A + B = 9 0^{\circ}$
Vastus

tan(A + B) on määramata, sest A + B = 90°. Teravnurkade A ja B korral tähendab tan A tan B = 1 alati, et nurkade summa on 90°.

$A + B = 9 0^{\circ}, cos (A + B) = 0$
Tagasi üheks liitnurgaks kokkuvõtmine 2 sammu
Arvuta avaldise cos 80° cos 20° + sin 80° sin 20° täpne väärtus.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Kuju cos · cos + sin · sin on valemi cos(A − B) lahtikirjutus, siin A = 80° ja B = 20°:
  
  $cos 8 0^{\circ} cos 2 0^{\circ} + sin 8 0^{\circ} sin 2 0^{\circ} = cos (8 0^{\circ} - 2 0^{\circ})$
2. ning 80° − 20° = 60°:
  
  $= cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$
Vastus

cos 80° cos 20° + sin 80° sin 20° = cos 60° = 1/2.

$cos 8 0^{\circ} cos 2 0^{\circ} + sin 8 0^{\circ} sin 2 0^{\circ} = \frac{1}{2}$
Samasuse tõestamine 3 sammu
Tõesta samasus sin(A + B) + sin(A − B) = 2 sin A cos B ning kontrolli seda nurkade A = 45° ja B = 30° korral.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Kirjutame mõlemad siinused valemi järgi lahti:
  
  $sin (A + B) + sin (A - B) = (sin A cos B + cos A sin B) + (sin A cos B - cos A sin B)$
2. Liikmed cos A sin B taanduvad välja:
  
  $= 2 sin A cos B$
3. Nurkade 45° ja 30° korral on vasak pool sin 75° + sin 15° ning parem pool 2 sin 45° cos 30°:
  
  $\frac{6 + 2}{4} + \frac{6 - 2}{4} = \frac{6}{2} = 2 \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2}$
Vastus

sin(A + B) + sin(A − B) = 2 sin A cos B iga nurga A ja B korral; kui A = 45° ja B = 30°, on mõlema poole väärtus √6/2 ≈ 1,2247.

$sin (A + B) + sin (A - B) = 2 sin A cos B$
Kahekordse nurga valemite tuletus 2 sammu
Võta liitnurga valemites B = A, et tuletada valemid sin 2A ja cos 2A jaoks, ning arvuta mõlema väärtus, kui sin A = 3/5 ja A on nürinurk.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Kui B = A, on siinuse valemi kaks korrutist omavahel võrdsed ning koosinus taandub ruutude vaheks:
  
  $sin 2 A = 2 sin A cos A, cos 2 A = cos^{2} A - sin^{2} A$
2. Kuna A on nürinurk, on cos A = −4/5:
  
  $sin 2 A = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot (- \frac{4}{5}) = - \frac{24}{25}, cos 2 A = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25}$
Vastus

sin 2A = −24/25 = −0,96 ja cos 2A = 7/25 = 0,28. 2A ≈ 286,2602° asub IV veerandis, kus siinus on negatiivne ja koosinus positiivne.

$sin 2 A = - \frac{24}{25}, cos 2 A = \frac{7}{25}$
Liitnurgaga võrrandi lahendamine 3 sammu
Lahenda võrrand sin(x + 30°) = 2 cos x vahemikus 0° ≤ x < 360°.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Avame vasaku poole:
  
  $sin x cos 3 0^{\circ} + cos x sin 3 0^{\circ} = \frac{3}{2} sin x + \frac{1}{2} cos x$
2. Kogume liikmed cos x paremale ja jagame koosinusega cos x läbi. See ei saa võrduda nulliga: vastasel korral peaks ka sin x = 0 ja sellist nurka ei leidu.
  
  $\frac{3}{2} sin x = \frac{3}{2} cos x \Rightarrow tan x = 3$
3. Tangens kordub iga 180° järel:
  
  $x = 6 0^{\circ}, x = 6 0^{\circ} + 18 0^{\circ} = 24 0^{\circ}$
Vastus

x = 60° või x = 240°. Nurga 60° korral on mõlema poole väärtus 1 ja nurga 240° korral −1.

$x = 6 0^{\circ}, 24 0^{\circ}$

Lisaülesanded, ainult vastustega

Leia nurga cos 105° täpne väärtus.

Näita vastust

(√2 − √6)/4 ≈ −0,2588

$cos 10 5^{\circ} = \frac{2 - 6}{4}$
Leia nurga tan 105° täpne väärtus.

Näita vastust

−2 − √3 ≈ −3,7321

$tan 10 5^{\circ} = - 2 - 3$
sin A = 5/13 ja cos B = 3/5, kus A ja B on teravnurgad. Leia cos(A − B).

Näita vastust

56/65 ≈ 0,8615

$cos (A - B) = \frac{56}{65}$
Esita sin 3x cos x − cos 3x sin x ühe trigonomeetrilise funktsioonina.

Näita vastust

sin 2x

$sin 3 x cos x - cos 3 x sin x = sin 2 x$
tan A = 3 ja tan B = 1/2, kus A ja B on teravnurgad. Leia A − B.

Näita vastust

A − B = 45°

$A - B = 4 5^{\circ}$
Lahenda võrrand cos(x − 60°) = sin x piirkonnas 0° ≤ x < 360°.

Näita vastust

x = 75° või x = 255°

$x = 7 5^{\circ}, 25 5^{\circ}$

Valemid kujutavad endast lahtikirjutatud pööret 🖖

Nurga A võrra pööratud teljestiku suhtes paikneb punkt P nurga B all, nii et selleni jõutakse liikudes esmalt mööda pööratud telge punkti Q (lõik cos B) ning sealt täisnurga all edasi (lõik sin B). Mõlemad nihked saab lahutada rõht- ja püstkomponendiks. Rõhtsalt: esmalt cos A cos B, seejärel vastassuunas tagasi sin A sin B. Püstiselt: sin A cos B, seejärel samas suunas cos A sin B. Punkti P rõhtkoordinaat on cos(A + B) ja püstkoordinaat sin(A + B). See geomeetriline tuletuskäik ei eelda teravnurki, sest korrutised kannavad ise oma märke kaasas: kui kaatet suunda muudab, vahetub ka korrutise märk. Vali sin A = 4/5, cos B = −5/13: A on nürinurk, B asub III veerandis, punkt Q langeb pööratud teljel nullpunktist O tahapoole ning täpselt samad summad viivad punkti P koordinaatidega (0,9692; 0,2462). Maatriksite keeles on (cos(A + B), sin(A + B)) nurga A pöörde maatriks rakendatuna vektorile (cos B, sin B). Need kaks valemit ning tõdemus, et „pööre nurga A ja seejärel B võrra on pööre nurga A + B võrra“, väidavad täpselt sama asja. Ptolemaios kasutas teisel sajandil siinuste asemel kõõle. Tema reeglid kõõlude liitmiseks ja lahutamiseks vastavad otseselt kahele siinuse valemile ning nende abil koostas ta kõõlude tabeli poolekraadise sammuga.

sin(A + B) ei võrdu peaaegu kunagi avaldisega sin A + sin B 🖖

Vali sin 75° = sin(45° + 30°). Siin sin 45° + sin 30° = 0,7071 + 0,5 = 1,2071, mis ületab siinuse suurimat võimalikku väärtust, samas kui sin 75° = 0,9659. Valem kaalub kumbagi siinust teise nurga koosinusega ning koosinus ei ületa kunagi arvu 1. Need kaks avaldist annavad sama tulemuse vaid siis, kui A, B või A + B moodustab täispöörde, sest nende vahe tegurdub täpselt: sin A + sin B − sin(A + B) = 4 sin(A/2) sin(B/2) sin((A + B)/2). Lihtsameelne oletus veab seega peaaegu alati alt. Nurkade 120° ja 240° korral see siiski kehtib, sest A + B = 360° ja võrduse mõlemal poolel on 0.

Tangensi valem võib hätta jääda ka seal, kus tangens ise on olemas 🖖

Vali A = 90°, B = 45°. Nurga tangens tan 135° = −1 on täiesti olemas, ent valem nõuab väärtust tan 90°, mida pole määratud — ja nii jookseb valem ummikusse. Nurgal endal pole viga midagi; valemi tuletamisel jagati läbi korrutisega cos A cos B, kuid cos 90° = 0. Kui jagada lugejat ja nimetajat suurusega tan A (kõikjal, kus see on määratud ja pole 0), teiseneb valem kujule (1 + cot A tan B)/(cot A − tan B). See kuju töötab kenasti ka 90° juures: cot 90° = 0 annab tulemuseks 1/(0 − 1) = −1. Teist laadi tõrge on aga sisuline. Vali tan A = 2, tan B = 1/2: nimetaja 1 − tan A tan B on 0. Kuna see nimetaja võrdub suhtega cos(A + B)/(cos A cos B), kaob see parajasti siis, kui kaob cos(A + B). Siin ongi A + B = 90°, kus tangensit ei leidu. Teravnurkade puhul tähendab tan A tan B = 1 seda, et B = 90° − A.

Õpitee

Trigonomeetrilised samasused ja võrrandid

Allikad (2)

The sum and difference formulae for sine, cosine and tangent, the exact value of cos 75° from 45° + 30°, and the unit-circle distance proof of cos(α − β): J. Abramson, Precalculus 2e, OpenStax (2021), section 7.2, “Sum and Difference Identities”.
Insight block 1: Ptolemy (about AD 85 to 165) “used formulae for the Crd function which are analogous to our formulae for sin(a+b) and sin(a−b)” to build a table of chords “at intervals of 1/2 a degree”, in the first two books of the Almagest: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Claudius Ptolemy”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (April 1999).

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.