Sulgude avamine ja tegurdamine

Muuda avaldist sulgudes ja jälgi ristkülikut. Neli osa vastavad neljale liikmele. Tegurdamisele lülitudes esitad lihtsalt sama küsimuse teisipidi.

Näidisarvutus — Sulgude avamine ja tegurdamine

Diskriminant	1 (täisruut)

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

FOIL-i neli tähte on neli ristkülikut 🖖

Aseta ristkülik külgedega x + 2 ja x + 3 avaldise kõrvale. See jaguneb neljaks osaks, sest kumbki külg jaguneb kaheks: x², kaks riba pindaladega 3x ja 2x ning 6 nurgas. Need neli pindala ongi neli liiget. Nende summa annab kogupindala, ja täpselt seda "lahtikorrutamine" tähendabki. Osade läbimise järjekord ei oma mingit tähtsust. Just seetõttu töötavad igasugused meeldejätmise nipid, kuigi tegelikult pole neist ühtegi vaja. Muuda mõni kordaja negatiivseks. Üks riba liigub plokist välja ja kattub viirutusega. Negatiivne pindala tähistab lahutamist ja meie pilt toimib endiselt edasi. Seda aga ei saa öelda päheõpitud reeglite kohta.

Tegurdamine on seesama pilt, ja just seetõttu ongi see raskem 🖖

Vali Tegurda ja küsimus pöördub ümber: pindala on teada, millised olid küljed? Midagi uut siin ei ole. Muutunud on vaid see, et sulgude avamine on arvutus, tegurdamine aga otsing. Neli osa on antud kogusummana ning neist tuleb moodustada ristkülik. Selle erinevuse tõttu õpetatakse üht suunda kindla võttena, teist aga leidlikkust nõudva oskusena. Samal põhjusel on kahe algarvu korrutamine lihtne, kuid nende korrutise tegurdamisele tugineb RSA.

Üksainus test ütleb, kas otsingul on üldse mõtet 🖖

Enne tegurite otsimist arvuta b² − 4ac. Kui tulemus on täisruut, saab kolmliikme lahutada täisarvuliste kordajatega teguriteks. Kui mitte, siis sobivat paigutust ei ole ja proovimine seda ei tekita. Vajuta Seda ei saa tegurdada: avaldise x² + x + 1 diskriminant on −3 ning vastavat ristkülikut lihtsalt pole. Sama diskriminant määrab ruutvõrrandi juurte arvu. See pole juhus, sest ristküliku külgedes peituvad võrrandi juured ning täisarvuliste külgede otsimine tähendab ratsionaalarvuliste juurte otsimist. Kui läbi vaadata kõik kolmliikmed, kus a on 1 kuni 8 ning b ja c on −12 kuni 12, leidub täisruudust diskriminant 733 juhul ning kõik need 733 kolmliiget tegurduvad.

Ülesanded täielikult lahendatud

6x² + 5x − 4 tegurdamine, et öelda, kas see toimib 7 sammu
Tegurda 6x² + 5x − 4 ja ütle juba ette, kas see üldse õnnestub.
1. Arvuta kõigepealt diskriminant. See võtab vaid ühe rea ja näitab kohe, kas üldse on midagi leida.
  
  $b^{2} - 4 a c = 5^{2} - 4 (6) (- 4) = 25 + 96 = 121$
2. Sada kakskümmend üks on 11², seega leidub tegurdus täisarvude hulgas. Nüüd on otsingul mõtet.
  
  $121 = 1 1^{2}$
3. Juured leitakse samast arvust. Kuna diskriminant on täisruut, on need ratsionaalarvulised.
  
  $x = \frac{- 5 \pm 11}{12} = \frac{1}{2}, - \frac{4}{3}$
4. Juur 1/2 tähendab tegurit (2x − 1). Juur −4/3 tähendab tegurit (3x + 4). Nimetajatest vabanemine ongi see samm, mis muudab juure sulgavaldiseks.
  
  $(2 x - 1) (3 x + 4)$
5. Korruta alati kontrolliks tagasi. Kaks keskmist riba on 8x ja −3x, mis annavad kokku täpselt selle 5x, mida küsiti.
  
  $6 x^{2} + 8 x - 3 x - 4 = 6 x^{2} + 5 x - 4 ✓$
6. Asenda nüüd vabaliige arvuga −5 ja korda esimest sammu. Diskriminandiks saad 25 + 120 = 145, mis ei ole täisruut. Seega pole täisarvuliste külgedega ristkülikut ega mõtet seda otsida.
  
  $5^{2} - 4 (6) (- 5) = 25 + 120 = 145 \neq = k^{2}$
7. Siinkohal tööriist peatub ja paljastub oluline erisus. 6x² + 5x − 5 tegurdub reaalarvude hulgas suurepäraselt, andes sulud, mis sisaldavad arvu √145. "Ei tegurdu" tähendab alati "ei tegurdu nende arvude hulgas, milles me kokku leppisime". Tavaliselt jäetakse see kokkulepe aga lihtsalt välja ütlemata.
  
  $6 x^{2} + 5 x - 5 = 6 (x - \frac{- 5 + 145}{12}) (x - \frac{- 5 - 145}{12})$
Vastus

(2x − 1)(3x + 4). Diskriminant 121 = 11² ütles seda meile juba enne otsimise algust. Muuda −4 arvuks −5 ja diskriminant saab väärtuseks 145, mis ei ole täisruut. Sama ruutkolmliige ei tegurdu enam täisarvude hulgas, jäädes samal ajal reaalarvude hulgas endiselt kenasti tegurdatavaks.
Ruutude vahe ja arv 8051 7 sammu
Ava sulud avaldises (x − 5)(x + 5) ja ütle, miks keskliige kaob. Korruta seejärel peast 95 × 105 ja otsusta, kas sama pilt suudab lahti võtta ka pelga arvu.
1. Ristküliku neli tükki lugemise järjekorras: nurk, mis kannab x², kaks riba ja vabaliikme nurk.
  
  $x \cdot x + x \cdot 5 + (- 5) \cdot x + (- 5) \cdot 5$
2. Kaks riba on 5x ja −5x. Nad taanduvad, ja paneeli trükitud kolmliikmel ei ole keskliiget üldse.
  
  $= x^{2} + 5 x - 5 x - 25 = x^{2} + 0 x - 25$
3. Diskriminandi kaart näitab 100, mis on täisruut, seega leiduvad täisarvudega sulud. Siin me juba teame, et need leiduvad, sest me ehitasime nad ise.
  
  $b^{2} - 4 a c = 0^{2} - 4 (1) (- 25) = 100 = 1 0^{2}$
4. Taandumine ei olnud õnn. Anna kahele vabaliikmele vastandmärgid ja ribad on üks ja seesama ristkülik, mis on kaks korda loetud, üks kord liites ja üks kord lahutades, olgu arvud millised tahes.
  
  $(x + q) (x - q) = x^{2} + q x - q x - q^{2} = x^{2} - q^{2}$
5. Miski selles arutluses ei nõua, et x oleks täht. Pane sinna 100 ja korrutamisest saab lahutamine.
  
  $95 \times 105 = (100 - 5) (100 + 5) = 10 0^{2} - 5^{2} = 10, 000 - 25 = 9, 975$
6. Iga kaks arvu saab kirjutada keskkohana ja vahena kummalgi pool, seega toimib see iga paari puhul, mille keskmine on mugav.
  
  $47 \times 53 = (50 - 3) (50 + 3) = 2, 500 - 9 = 2, 491$
7. Tagurpidi loetuna teeb ta raskema töö. Arvu 8051 tegurdamiseks otsi ruutu, mis ületab teda teise ruudu võrra: 90² on esimene, mis seda teeb, ja kaks sulgu ongi tegurid. See on Fermat' meetod, ja see on kiire täpselt siis, kui kaks tegurit asuvad teineteise lähedal, nagu 83 ja 97.
  
  $9 0^{2} - 8, 051 = 8, 100 - 8, 051 = 49 = 7^{2} ⟹ 8, 051 = 83 \times 97$
Vastus

x² − 25, ja 95 × 105 = 9975. Keskliige kaob, sest kaks riba on võrdsed ja vastasmärgiga, mis jätab püsti ainult q². Loe samasus tagurpidi ja ta tegurdab arve, mitte avaldisi: 8051 = 90² − 7² = 83 × 97.

$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b) ⟺ N = m^{2} - d^{2} = (m - d) (m + d)$

Õpitee

Ruutvõrrandist edasi

Viib edasi Ruutvõrrandi lahendaja korrutise kuju.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-09-03

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Matemaatika õppetunnid →

Näiteülesanded

(x + 2)(x + 3) - Neli osa: x², 3x, 2x ja 6. Kaks keskmist riba moodustavadki kokku selle 5x. Nende nägemine eraldiseisvate ristkülikutena teeb selgeks, et keskmine liige on lihtsalt summa, mitte mingi müsteerium.
Veidi keerulisem - Avaldisel (2x − 1)(3x + 4) on üks negatiivne külg. Seetõttu joonistatakse üks riba plokist väljapoole ja viirutatakse. Selle pindala on −3x ning just nii kujutataksegi sellel pildil lahutamist.
Ruutude vahe - Korrutis (x − 5)(x + 5) annab meile 5x ja −5x, mis taanduvad välja. Ristkülikul on kaks võrdse suuruse ja vastasmärgiga riba. See ongi kogu ruutude vahe olemus.
Ei tegurdu - Avaldise x² + x + 1 diskriminant on −3. Sellise pindalaga täisarvuliste külgedega ristkülikut ei ole ning proovimine seda ei leia. Diskriminant näitas seda juba enne otsingu algust.