Kompleksarvude kalkulaator

Soorita kompleksarvudega tehteid ja vaata tulemusi Argandi tasandil.

Näidisarvutus — Kompleksarvude kalkulaator

z2	1+2i
Tulemus	4+4i

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Kaaskompleksiga korrutamine viskab imaginaarosa meelega minema 🖖

Eelseade conjugate korrutab 3 + 2i arvuga 3 − 2i ja vastus on 13 — ilma igasuguse imaginaarosata. See ei ole eriline paar: (a + bi)(a − bi) taandub alati kujule a² + b², sest ristliikmed on +abi ja −abi. Ja 13 on täpselt 3² + 2², see tähendab |z|², tööriista tasandil joonistatud alguspunkti kauguse ruut. Just sellel põhineb kompleksjagamine: korruta lugeja ja nimetaja kaaskompleksiga ning nimetaja muutub reaalseks.

Üks punkt, kaks aadressi 🖖

Kompleksarv on lihtsalt punkt tasandil. Algebraline kuju a + bi määrab selle koordinaatidega — nii palju paremale, nii palju üles —, polaarkuju r∠θ aga kauguse ja suunaga alguspunktist. Sama punkt, kaks nimetust; lülita polaarkuju sisse, et näha mõlemat korraga. Rusikareegel: liitmiseks kasuta algebralist kuju, korrutamiseks ja astendamiseks polaarkuju.

Imaginaararvud sündisid reaalseid vastuseid leidma 🖖

Kompleksarve ei leiutatud võrrandi x² + 1 = 0 lahendamiseks — see ei huvitanud kedagi. Neid surusid peale kolmanda astme võrrandid. Cardano 1545. aasta valem võrrandile x³ = px + q läbib mõnikord negatiivsete arvude ruutjuuri isegi siis, kui kõik kolm lahendit on tavalised reaalarvud. 1572. aastal näitas Bombelli, et need „võimatud“ suurused taanduvad ja annavad õiged reaalsed vastused. Imaginaarne oli ümbertee reaalseni.

Korrutamine i-ga on veerandpööre 🖖

Korrutamisel liidetakse argumendid ja korrutatakse moodulid. Seepärast on i-ga korrutamine — i asub kohas |z| = 1, arg = 90° — puhas veerandpööre. Pane z₁ lahtrisse 3 + 2i ja z₂ lahtrisse i, ning vastus on −2 + 3i; kirjuta −2 ja 3 tagasi z₁ lahtrisse ning paneel näitab arg(z₁) = 123.7° varasema 33.7° asemel, kusjuures |z₁| = 3.606 on mõlemal korral sama. Pööratud, mitte venitatud. Eelseade De Moivre n=4 on seesama reegel neli korda: 45° neljandas astmes maandub punktis −1 + 0i ehk 180°. Paneel kuvab |z₁| ja arg(z₁) ainult z₁ kohta, nii et nurkade liitumist näeb alles siis, kui vastus esimesse lahtrisse tagasi panna.

Ülesanne täielikult lahendatud

3 + 2i korrutamine oma kaaskompleksarvuga korrutise tõestamiseks 5 sammu
Korruta 3 + 2i selle kaaskarvuga ja muuda tulemus tõestuseks, et kahe kahe ruudu summa korrutis on taas kahe ruudu summa. See on Korruta väärtustega z₁ = 3 + 2i ja z₂ = 3 − 2i.
1. Kaks segaliiget on võrdsed ja vastasmärgilised, seega need taanduvad. Järele jääb liige −b²i², mis muudab märki ning liidetakse lahutamise asemel — nõnda annab kaaskarvude paar korrutamisel alati reaalarvu ning see arv saadakse ruutuvõtmisega.
  
  $(a + bi) (a - bi) = a^{2} - b^{2} i^{2} = a^{2} + b^{2} ⟹ (3 + 2 i) (3 - 2 i) = 9 + 4 = 13$
2. Sellel reaalarvul on juba nimi. Moodul on kaugus algpunktist, seega Pythagorase teoreemi kohaselt on |z|² = a² + b², ning paneelil kuvatav 3,606 on √13 ümardatuna ülespoole kolmanda komakohani.
  
  $∣ z ∣ = a^{2} + b^{2} = 13 = 3.605551, z \overset{z}{ˉ} = ∣ z ∣^{2} = 13$
3. Nüüd vaatleme kahe kompleksarvu üldist korrutist, kus i² = −1 viib ühe liikme reaalosa juurde. Mooduleid siin veel ei esine.
  
  $(a + bi) (c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i$
4. Rakenda sellele korrutisele 1. sammu. Teine paar segaliikmeid, −2abcd ja +2abcd, taandub lahtikirjutamisel ning neli allesjäänud liiget tegurdatakse kaheks sulgavaljendiks. Soovi korral on iga täht täisarv ning viimasel real ei esine enam i-d.
  
  $(a c - b d)^{2} + (a d + b c)^{2} = a^{2} c^{2} + b^{2} d^{2} + a^{2} d^{2} + b^{2} c^{2} = (a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2})$
5. Nõnda moodustab täisarvupaaride paar kolmanda. Arvuga 3 + 2i käib kaasas 13 ja arvuga 1 + 2i käib kaasas 5; nende korrutisega käib kaasas 65. Teise teguri kaaskarvu võtmine peegeldab seda üle reaaltelje ning annab tulemuseks teise paari, millel on sama summa.
  
  $(3 + 2 i) (1 + 2 i) = - 1 + 8 i : 1^{2} + 8^{2} = 65 = 13 \times 5; (3 + 2 i) (1 - 2 i) = 7 - 4 i : 7^{2} + 4^{2} = 65$
Vastus

Paneelil kuvatakse kaaskarvude korrutisena 13 ja moodulina 3,606, ning 3,606² = 13,003 tuleneb ümardamisest, mitte lahknevusest. Oluline on meeles pidada, et samasus säilib ka kompleksarvude eemaldamisel: (a² + b²)(c² + d²) = (ac − bd)² + (ad + bc)² on väide nelja täisarvu kohta, milles ei sisaldu ühtegi i-d. Diophantos pani just selle arvu kirja kolmandal sajandil — ta märkis, et 65 jaguneb nii 1 + 64 kui ka 16 + 49, sest see on 13 × 5 ning kumbki tegur on ise kahe ruudu summa — ligi kolmteist sajandit enne seda, kui Cardano pani esmakordselt kirja negatiivse arvu ruutjuure. Kaks algtegurit, kaks esitust: arvul 13 on vaid 9 + 4 ja arvul 5 vaid 1 + 4. Kompleksarvude korrutamine on masin, mis toodab teise esituse, ja kaaskarv on kang, mis nende vahel lülitab.

$(a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) = (a c - b d)^{2} + (a d + b c)^{2}$

Õpitee

Ruutvõrrandist edasi

Viib edasi Polünoomide jagamine

Allikad (1)

Insight block 3 — the cubic that made imaginary numbers unavoidable: G. Cardano, Artis Magnae, sive de Regulis Algebraicis. Nuremberg, 1545, chapter XXXVII. R. Bombelli, L'Algebra, Book I. Bologna, 1572 — where the "impossible" quantities are shown to cancel and leave the real roots.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-08-17

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Matemaatika õppetunnid →

Näiteülesanded

Korrutamine i-ga - Arvu z₁ = 1 moodul on 1 ja argument 0° ning i-ga korrutades kuvatakse 0+1i. Midagi ei venitatud: moodul on endiselt 1 ja argument on teinud veerandpöörde. See ongi kogu i mõju arvule. Ühtlasi selgitab see võrdust i² = −1, sest tegemist on kahe veerandpöördega.
De Moivre n=4 - arg(z₁) on 45° ja |z₁| näit on 1, mistõttu neljas aste maandub punktis −1+0i. Astendamine korrutab argumenti ja jätab ühikmooduli paigale. Jälgige siiski ümardamist. Arv 0,707 on murru 1/√2 lähend kahe kümnendkohaga, seega on tegelik moodul 1-st imevähe väiksem ning ekraan on selle erinevuse lihtsalt silunud.
4. ühikjuured - Arvu 1 neli neljanda astme juurt kuvatakse kujul 1+0i, 0+1i, −1+0i ja 0−1i. Need on ruudu nurgad ühikringjoonel. Neid liites saate tulemuseks 0. See kehtib ühe n-nda astme juurte kohta iga 1-st suurema n puhul, sest need on koordinaatide alguspunktis asuva keskpunktiga korrapärase hulknurga tipud.
Konjugaatpaar - |z₁| näit on 3,606 ja (3+2i)(3−2i) annab tulemuseks 13+0i. See on mooduli ruut 3² + 2², millel puudub imaginaarosa. Kaaskompleksarvude paari korrutis on alati reaalarv ja just sellel põhineb kompleksarvuga jagamine. Korrutage lugejat ja nimetajat kaaskompleksarvuga ning nimetajast saab reaalarv.