Ruutvõrrandi lahendaja

reaalsed ja kompleksarvulised juured, samm-sammult

Näidisarvutus — Ruutvõrrandi lahendaja

kaks erinevat reaalset juurt	2
Algus	1x²−5x+6
Rühmita x-liikmed	1(x²−5x)+6
Eralda täisruut	1[(x−2.5)²−6.25]+6
Tipuvorm	1(x−2.5)²−0.25
Tipp	(2.5,−0.25)

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Üksainus märk juure all otsustab kõik 🖖

Ruutvõrrandi lahendivalem on enamat kui algebraline võte. See on sümmeetria peegeldus. Standardkujul määrab x = -b/(2a) sümmeetriatelje, parabooli keskse telgjoone. Ruutjuurealune avaldis b² - 4ac on diskriminant Δ. Selle märk näitab, kummale poole x-telge haripunkt asetub. 4a-ga jagamine annab haripunkti kauguse teljest. Kui Δ > 0, lõikab parabool telge kahes erinevas punktis, mis paiknevad haripunkti suhtes sümmeetriliselt. Kui Δ = 0, asub haripunkt täpselt teljel ja annab kordse lahendi. Kui Δ < 0, hõljub parabool telje kohal või all. Lahendid siirduvad siis komplekstasandile kaaskomplekssete arvude paarina. Kaasaegses matemaatikas moodustab see lihtne valem korpuste teooria vundamendi. Ruutvõrrandite lahendamine sunnib laiendama ratsionaalarvude hulka juurtega. See näitab algebra ja geomeetria fundamentaalset ühtsust.

Kiire viis juuri kontrollida 🖖

Juba enne valemi teket märkasid matemaatikud kordajates peituvat mustrit. Iga ax² + bx + c = 0 puhul on kahe juure summa alati -b/a ja korrutis c/a — neid nimetatakse Vieta'i valemiteks. Nii peavad võrrandi x² - 5x + 6 juured andma summaks 5 ja korrutiseks 6, seega 2 ja 3. See on kiireim viis lahendust kontrollida ilma midagi tagasi asendamata.

Kui kuulus valem vaikselt vääratab 🖖

Õpikust tuntud valem võib arvutis alt vedada. Kui b² on suurusest 4ac oluliselt suurem, läheneb ruutjuure väärtus |b|-le. Kahest lahendist ühe arvutamisel lahutatakse siis teineteisest kaks peaaegu võrdset arvu. See oht tekib avaldises -b + √Δ, kui b on positiivne, ja avaldises -b − √Δ, kui b on negatiivne. Tulemuseks on enamiku tüvenumbrite kadu. Seda nähtust nimetatakse katastroofiliseks taandumiseks. Arvutusmatemaatika teegid lähevad probleemist kavalalt mööda. Kõigepealt arvutatakse üks lahend. Teine leitakse seejärel seosest c/(a·x₁). Sajanditevanune algebra ja tänapäevane ujukomaarvutus on siin vaikses vastuolus.

RUUTVÕRRANDI TEOORIA — LOE ax² + bx + c ENNE LAHENDAMIST

Diskriminant: mitu lahendit ja kummale poole avaneb?

Kaks arvu määravad vastuse kuju juba enne, kui lahendivalemini jõuad. Diskriminant Δ = b² − 4ac ütleb, mitu reaalset lahendit on, ja a märk ütleb, kummale poole parabool avaneb ning kas selle haripunkt on madalaim või kõrgeim punkt.

Δ > 0 — kaks erinevat reaalset lahendit Δ = b² − 4ac > 0

Δ = 0 — üks kahekordne reaalne lahend Δ = 0

Δ < 0 — kaks kaaskompleksset lahendit Δ < 0

a < 0 — parabool avaneb allapoole a < 0

Δ > 0 — kaks erinevat reaalset lahendit

Mis on teada: Diskriminant b² − 4ac tuleb positiivne. Parabool lõikab x-telge kahes eraldi punktis.

Lahendid: Δ = b² − 4ac > 0

Näidisülesanne: x² − 5x + 6 = 0 → Δ = 25 − 24 = 1 → x = 2 ja x = 3

Ava see juht: kaks juurt

Δ > 0 — kaks erinevat reaalset lahendit. Δ > 0: kõver lõikab telge kaks korda, haripunkti suhtes sümmeetriliselt. Diskriminant b² − 4ac tuleb positiivne. Parabool lõikab x-telge kahes eraldi punktis. — Δ > 0: kõver lõikab telge kaks korda, haripunkti suhtes sümmeetriliselt.

Δ = 0 — üks kahekordne reaalne lahend

Mis on teada: Diskriminant on täpselt null. Parabool puudutab x-telge ühes punktis, mitte ei lõika seda.

Lahendid: Δ = 0

Näidisülesanne: x² − 4x + 4 = 0 → Δ = 16 − 16 = 0 → x = 2, loetuna kaks korda

Ava see juht: kordne juur

Δ = 0 — üks kahekordne reaalne lahend. Δ = 0: haripunkt on täpselt teljel — puutepunkt, mitte lõige. Diskriminant on täpselt null. Parabool puudutab x-telge ühes punktis, mitte ei lõika seda. — Δ = 0: haripunkt on täpselt teljel — puutepunkt, mitte lõige.

Δ < 0 — kaks kaaskompleksset lahendit

Mis on teada: Diskriminant on negatiivne. Parabool ei jõua kunagi x-teljeni, seega reaalset lahendit pole.

Lahendid: Δ < 0

Näidisülesanne: x² + 2x + 5 = 0 → Δ = 4 − 20 = −16 → x = −1 ± 2i

Ava see juht: kompleksjuured

Δ < 0 — kaks kaaskompleksset lahendit. Δ < 0: kogu kõver jääb telje ühele poole. Diskriminant on negatiivne. Parabool ei jõua kunagi x-teljeni, seega reaalset lahendit pole. — Δ < 0: kogu kõver jääb telje ühele poole.

a < 0 — parabool avaneb allapoole

Mis on teada: Juhtkordaja a on negatiivne. See ei sõltu diskriminandist: kõver pöördub ümber ja haripunktist saab maksimum.

Lahendid: a < 0

Näidisülesanne: −x² + 4 = 0 → Δ = 0 + 16 = 16 > 0 → x = ±2, maksimum punktis (0, 4)

Ava see juht: avaneb allapoole

a < 0 — parabool avaneb allapoole. a < 0: harud osutavad alla ja haripunkt on maksimum. Juhtkordaja a on negatiivne. See ei sõltu diskriminandist: kõver pöördub ümber ja haripunktist saab maksimum. — a < 0: harud osutavad alla ja haripunkt on maksimum.

Allikad (1)

Insight block 3 — catastrophic cancellation, and the reformulation that avoids it: D. Goldberg, "What every computer scientist should know about floating-point arithmetic." ACM Computing Surveys 23(1), 5–48, 1991 — the quadratic formula is its worked example.

Ülesanne täielikult lahendatud

x² − 5x + 6 = 0 lahendamine ruudu eraldamisega 5 sammu
Lahenda võrrand x² − 5x + 6 = 0 täisruudu eraldamise teel. Seejärel vasta küsimusele, mida ruutvõrrandi lahendivalem sulle ei ütle: diskriminant loendab lahendeid, aga mida mõõdab selle suurus?
1. Täisruudu eraldamine ei ole trikk ruutvõrrandite lahendamiseks — see on ruutvõrrandi lahendivalemi kehtivuse tõestus ühel konkreetsel võrrandil. Jaga x-i kordaja kahega, tõsta ruutu, liida ja lahuta. Ilmuv 6,25 on hind kahe esimese liikme täisruuduks sundimise eest ning see tuleb samal real tagasi maksta.
  
  $x^{2} - 5 x + 6 = (x - \frac{5}{2})^{2} - \frac{25}{4} + 6 = (x - 2.5)^{2} - 0.25$
2. Tipukuju seab muutuja täpselt ühte kohta, nii et selle saab otse avaldada: eralda ruut, võta mõlemad ruutjuured, liida 2,5 tagasi. Vaja ei läinud ühtegi valemit ega tulnud ühtegi pähe õppida.
  
  $(x - 2.5)^{2} = 0.25 ⟹ x - 2.5 = \pm 0.5 ⟹ x = 2 or x = 3$
3. Nüüd diskriminant. Siin on Δ = 1 ja see on positiivne, seega on võrrandil kaks reaalarvulist lahendit. See on osa, mida mainib iga õpik.
  
  $Δ = b^{2} - 4 a c = 25 - 24 = 1$
4. See ilmub veel kaks korda ja kumbagi ei öelda tavaliselt kõva häälega välja. Lahendite vahekaugus on √Δ/|a|, sest valemis olev ± annab kummalegi lahendile panuse ±√Δ/2a. Ja tipp paikneb Δ/4a võrra allpool telge — ülaloleva paneeli −0,25 ei ole iseseisev tulemus, vaid taas diskriminant, mis on jagatud neljaga.
  
  $x_{2} - x_{1} = \frac{Δ}{∣ a ∣} = 1, y_{V} = - \frac{Δ}{4 a} = - 0.25$
5. Vieta valemid sõlmivad ringi kokku. Ava sulud avaldises a(x − x₁)(x − x₂), kõrvuta seda liikmete kaupa avaldisega ax² + bx + c ning lahendite summa ja korrutis tulevad välja ilma midagi lahendamata.
  
  $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = 5, x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} = 6$
Vastus

Lahendid on x = 2 ja x = 3 ning tööriist kuvab samast täisruudu eraldamisest tipuks (2,5, −0,25). Kasu seisneb selles, et üks arv valitseb kolme eraldiseisvat tõsiasja. Δ = 1 teeb lahendid reaalarvulisteks, paigutab need täpselt 1 võrra lahku ja viib tipu täpselt 0,25 võrra allpool telge. Suurenda muutuja c väärtust 6,25 poole ning vaata, kuidas kõik kolm liiguvad koos: lahendid nihkuvad sissepoole, vahe kahaneb kui √Δ ja parabool tõuseb, kuni puudutab telge väärtusel Δ = 0. Need ei olnud kunagi kolm juhust — see on üks suurus kolmest vaatenurgast vaadatuna.

$x = 2, 3 Δ = 1 : separation Δ = 1, depth \frac{Δ}{4 a} = 0.25$

Õpitee

Ruutvõrrandist edasi

Viib edasi complex-numbers

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-07-26

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Matemaatika õppetunnid →

Näiteülesanded

kaks juurt - x²-5x+6=0 → nullkohad x=2 ja x=3
kordne juur - x²-4x+4=0 → kordne nullkoht x=2, diskriminant=0
kompleksjuured - x²+2x+5=0 → komplekssed nullkohad x=-1±2i
avaneb allapoole - -x²+4=0 → x=±2, parabooli harud avanevad allapoole