Ruutvõrrandi lahendaja

Ruutvõrrandi lahendivalem on enamat kui lihtsalt algebra trikk — see on sümmeetria kaardistus. Standardkujul tähistab x = -b/(2a) sümmeetriatelge ehk parabooli keskset selgroogu. Ruutjuure all olev liige b² - 4ac on diskriminant Δ. See mõõdab, kui kaugel on parabooli tipp x-teljest. Kui Δ > 0, lõikab parabool telge kahes erinevas punktis sümmeetriliselt tipu suhtes. Kui Δ = 0, asub tipp täpselt x-teljel, andes korduva lahendi. Kui aga Δ < 0, hõljub parabool telje kohal oder all, ning selle lahendid siirduvad kompleksarvude tasandile kaaskompleksarvude paarina. Kaasaegses matemaatikas on see lihtne valem korpusteooria aluseks: ruutvõrrandite lahendamine nõuab ratsionaalarvude laiendamist juurte kaasamise teel, näidates, kuidas geomeetria ja algebra on olemuslikult ühendatud.

Juba enne valemi teket märkasid matemaatikud kordajates peituvat mustrit. Iga ax² + bx + c = 0 puhul on kahe juure summa alati -b/a ja korrutis c/a — neid nimetatakse Vieta'i valemiteks. Nii peavad võrrandi x² - 5x + 6 juured andma summaks 5 ja korrutiseks 6, seega 2 ja 3. See on kiireim viis lahendust kontrollida ilma midagi tagasi asendamata.

Arvutis võib koolivalem sind alt vedada. Kui b² on palju suurem kui 4ac, on ruutjuur peaaegu võrdne |b|-ga, nii et samm -b + √Δ lahutab kaks peaaegu võrdset arvu ja kaotab enamiku olulistest numbrikohtadest. Numbrilised teegid väldivad seda, arvutades esmalt ühe juure ja teise valemiga c/(a·x₁). Sajanditevanune algebra ja tänapäevane ujukomaarvutus lähevad siin vaikselt tülli.