Siinus/koosinuslaine uurija

parametriseeritud trigonomeetrilised lained, visualiseeritud reaalajas

Näidisarvutus — Siinus/koosinuslaine uurija

Amplituud \|A\|	1
Vertikaalne nihe D	0

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Siinus/koosinuslaine uurija

Iga siinuslaine, millega kokku puutud, on üks ja seesama kõver, millele on rakendatud neli arvu: y = A·sin(Bx + C) + D. A venitab seda vertikaalselt, B surub seda horisontaalselt kokku, C nihutab seda külgsuunas ja D tõstab seda. Kuju juures ei saa miski muu muutuda.

Mida iga sümbol tähendab

A: amplituud — pool nõo ja harja vahelisest kaugusest. Näit annab |A|, sest negatiivne A peegeldab laine ümber ilma selle kõrgust muutmata.
B: sageduskordaja — ja pane tähele sõnastust: see ei ole sagedus. See näitab, mitu radiaani argument kasvab x-i ühiku kohta.
C: faasilige radiaanides. See asub sulgude sees, mistõttu see ei ole ise nihe.
D: vertikaalnihe — keskjoon, mille ümber laine võngub.

Kust valem tuleb

Siinus kordub, kui selle argument kasvab 2π võrra. Nõnda kordub laine siis, kui Bx + C suureneb 2π võrra.
C on konstantne, seega peab kogu see kasv tulema Bx-st: sul on vaja seost B·Δx = 2π.
Seetõttu on periood T = 2π/|B| — 6.2832, kui B = 1, ja poole väiksem, kui B = 2. Absoluutväärtus on seal selleks, et negatiivne B pöörab laine vastupidiseks, kuid ei saa anda sellele negatiivset pikkust.

Kuidas nähtut lugeda

Lohista B ja jälgi faasnihke joont: see on kiireim viis mõista, et nihe sõltub mõlemast arvust. Võrrand kuvatakse uuesti koos sinu valitud nelja arvuga ning iga omadus tuletatakse, mitte ei tõdeta lihtsalt faktina: |A|, periood kui 2π/|B|, faasinihe kui −C/B ja D.

Eeldab: Nurk on radiaanides, mistõttu ilmub 2π, mitte 360. Neli parameetrit on samuti sõltumatud — see kuju ei saa tekitada lainet, mille amplituud hääbub, kuidas sa neid ka ei seaks.
Ei kehti, kui: Komistuskohaks on faasinihe ning näit selgitab seda teadlikult täpselt: laine nihkub −C/B võrra, mitte −C võrra. Kui B = 2 ja C = π, on nihe −π/2 ehk pool sellest, mida sulud näivad lubavat, sest suurust C mõõdetakse kokkusurutud koordinaadis, mitte x-is. Loe avaldist sin(Bx + C) kujul sin(B(x + C/B)) ja kordaja B ei ole enam üllatus.

kuidas pöörlev ratas loob siinuse ja koosinuse 🖖

Siinus ja koosinus ei ole tegelikult kolmnurkade, vaid ringjoonel konstantse kiirusega liikuva punkti horisontaalse ja vertikaalse varju kirjeldajad. Kui punkt liigub läbi nurga θ = Bx + C, jälgib selle vertikaalne asend sin(θ) väärtust ja horisontaalne asend cos(θ) väärtust — just seetõttu on kaks kõverat identsed, kui mitte arvestada veerandpöörde (π/2) võrra faasinihet. See selgitab ka, miks B juhib sagedust, aga mitte kunagi amplituudi: B muudab ainult seda, kui kiiresti punkt ratast mööda liigub, mitte seda, kui kaugele selle vari kõigub. Sama pöörleva vektori idee — varjatud pöörlev ratas — on viis, kuidas insenerid kirjeldavad vahelduvvoolu, heli ja raadiosignaale faasoritena.

„siinus" on tegelikult tõlkeviga 🖖

Sõna siinus on ajalooline juhus. India matemaatikud nimetasid seda jyā (vibunöör); araabia õpetlased võtsid selle üle kujul jayb, mis tähendas juhtumisi ka „laht" või „volt". Kui ladina tõlkijad seda sõna lugesid, tõlkisid nad selle mitteseotud tähenduse sõna-sõnalt kui sinus — ladina keeles laht või rõiva volt. Nii et iga kord, kui kirjutad sin, kasutad 12. sajandi tõlkeviga sõnast „vibunöör".

Harjutus

Kontrolli ennast

Ennusta vastust esmalt ise ja kasuta siis ülal olevaid juhtelemente. Ava lahendus alles siis, kui oled otsustanud — just see teebki sellest harjutuse.

Eelseade faas π/2 seab C = 1.5708 ja faasinihke rida näitab −1.5708 — laine libiseb vasakule, kuigi C on positiivne. Muuda nüüd B väärtuseks 2 ja jäta C puutumata. Ennusta faasinihe, enne kui vaatad.

Näita vastust

−0.7854, täpselt pool; B = 4 juures on see −0.3927. Rida arvutab −C/B, mitte −C, nii et sageduse tõstmine kahandab nihet samas suhtes. C mõõdetakse argumendi radiaanides, nihe aga piki x-telge, ja B on nende kahe vahetuskurss. Miinusmärk on üllatuse teine pool: sin(x + C) teeb kohal x = −C sedasama, mida tavaline siinus teeb nullis, nii et argumendile lisamine nihutab pilti tagasi. Sellel juhtumil on ka nimi — kui B = 1 ja C = π/2, siis sin(x + π/2) on cos x. Vaheta funktsioon cos-i vastu ja pane C tagasi nulli, et näha sama kõverat teiselt poolt saabumas.
Eelseade liitnihe joonistab 1.5·cos(x − 0.7854) + 1 ja amplituudi rida näitab 1.5. Milliseid kõrgeimaid ja madalaimaid väärtusi see laine tegelikult saavutab ning miks ükski rida neid ei trüki?

Näita vastust

2.5 ja −0.5. Amplituud on poolkõrgus, mõõdetuna laine kesktelje suhtes, ja siin ei ole see kesktelg y = 0: vertikaalnihke rida ütleb D = 1. Äärmused on seega D + |A| ja D − |A|. Ükski rida neid ei trüki, sest need neli rida on standardkuju A·sin(Bx + C) + D neli *parameetrit*, mitte selle väljundid. |A| lugemine maksimumina on tavapärane libastus ja just vahetult selle all olev vertikaalnihke rida hoiab sind sellest eemal.

Ülesanne täielikult lahendatud

Nihutatud koosinus, näidatud tavalise siinuse ja tavalise koosinuse summana 6 sammu
y = 1,5 cos(x − 0,7854) + 1. Loe välja amplituud, periood ja nihked — seejärel näita, et nihutatud koosinus on lihtne siinus pluss lihtne koosinus. See on olek liitnihe.
1. Neli parameetrit ja igaüks liigutab kõverat erineval moel. Vaid kaks neist mõjutavad teineteist.
  
  $y = A cos (B x + C) + D = 1.5 cos (x - 0.7854) + 1$
2. Amplituud on poolkõrgus, seega asub kõver ribas laiusega 2|A|, mille keskpunkt on D. Miski muu muutumispiirkonda ei mõjuta.
  
  $∣ A ∣ = 1.5 ⟹ y \in [D - ∣ A ∣, D + ∣ A ∣] = [- 0.5, 2.5]$
3. Periood sõltub ainult parameetrist B. Suurem B tähendab, et argument muutub kiiremini, seega periood lüheneb.
  
  $T = \frac{2 π}{∣ B ∣} = \frac{2 π}{1} = 6.2832$
4. Horisontaalne nihe on koht, kus argument on null, ehk −C/B. B-ga jagamine on samm, mille inimesed vahele jätavad, ning see on samm, mis on oluline niipea, kui B ei ole 1.
  
  $B x + C = 0 ⟹ x = - \frac{C}{B} = + 0.7854 — the shift is - C / B, not C$
5. Nüüd ava sulud. Vahe koosinus jaguneb kaheks liikmeks ning cos(π/4) ja sin(π/4) on mõlemad 1/√2.
  
  $1.5 cos (x - \frac{π}{4}) = 1.5 (cos x cos \frac{π}{4} + sin x sin \frac{π}{4}) = 1.0607 cos x + 1.0607 sin x$
6. Kontrolliks liigu vastupidises suunas. Kaks kordajat moodustavad taas algse amplituudi ja nende suhe taastab faasi.
  
  $1.060 7^{2} + 1.060 7^{2} = 1.5, arctan \frac{1.0607}{1.0607} = \frac{π}{4}$
Vastus

1,0607 cos x + 1,0607 sin x + 1 ning mõlemad kordajad on 1,5/√2. Nihke lahtikirjutamine liitmisvalemiga teisendab ühe faasinihkega lainetuse sama sagedusega nihutamata siinuse ja koosinuse kaalutud summaks — ning see protsess on pööratav, nii et mis tahes a cos x + b sin x taandub tagasi ühekordseks laineks amplituudiga √(a² + b²) ja faasiga arctan(b/a). See ekvivalentsus on põhjus, miks Fourier' read vajavad vaid siinuseid ja koosinuseid ega vaja kunagi liikme kohta kolmandat parameetrit: faas on juba kaasas, peidetud kahe kordaja suhtesse. Teine asi, mida sellest paneelist tasub meeles pidada, on miinusmärk — horisontaalne nihe on −C/B, mitte C, ning kui B ≠ 1, ei ole need kaks samagi suurusega.

$Δ x = - \frac{C}{B} = 0.7854; a cos x + b sin x = a^{2} + b^{2} cos (x - arctan \frac{b}{a})$

Õpitee

Ringjooned ja lained on sama liikumine

Viib edasi Ringliikumine neli arvu, mis kirjeldavad iga siinusekujulist lainet, ning perioodi kui T = 2π/|B|.

Allikad (2)

The phase shift is −C/B and not −C, which is the trap the readout is explicit about: D. G. Fraser, "A Method for Finding the Period and Phase Shift of Trigonometric Functions." The Mathematics Teacher 61(8), 762–763, 1968.
On what students actually take away from amplitude, period and phase: K. Weber, "Students' understanding of trigonometric functions." Mathematics Education Research Journal 17(3), 91–112, 2005.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-05-11

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Matemaatika õppetunnid →

Näiteülesanded

põhiline siinus - y=sin(x) — amplituud 1, periood 2p≈6.28
kahekordne sagedus - y=sin(2x) — kahekordne sagedus, periood poole väiksem, p≈3.14
faasinihe π/2 võrra - y=sin(x+p/2) — faasinihe vasakule p/2 võrra, võrdub cos(x)-ga
kombineeritud nihe - y=1.5·cos(x-p/4)+1 — amplituudi, faasi ja vertikaalse nihke kombinatsioon