Lihtne pendel / SHM

periood, energia ja isokronism — animeeritult

Näidisarvutus — Lihtne pendel / SHM

Periood (T)	2.021 s
Sagedus (f)	0.4947 Hz
Maksimaalne kiirus	1.088 m/s

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

miks mass ei loe — Galileo oli õige 🖖

Lase 10 kg raskus ja 1 g sulg samalt kõrguselt kukkuda (ilma õhutakistuseta) — nad maanduvad korraga. Sama tühistamine kehtib pendli puhul: gravitatsioon tõmbab raskemale pendlile tugevamalt, kuid sellel on ka suurem inerts. Mõlemad efektid tühistavad teineteise täpselt ja mass kaob võrrandist. Alles jäävad ainult pikkus ja gravitatsioon. Allpool animeeritud kaks pendlit on sama pikkusega, kuid erineva gravitatsiooniga — Maa kiirem, Kuu aeglasem.

isokronism — miks pendel hoiab aega 🖖

Tõuka pendlit õrnalt või anna talle korralik hoog — mõõdukate kõikumiste puhul kestab iga edasi-tagasi liikumine peaaegu täpselt sama kaua. Seda amplituudist sõltumatust nimetatakse isokronismiks ja just seepärast hoiab pendel ühtlaselt aega, isegi kui ta kõikumine tasapisi vaibub. Periood järgib valemit T = 2π√(L/g), nii et pikkus mõjub ruutjuure kaudu: kaks korda aeglasema takti saamiseks on vaja neljakordset pikkust, mitte kahekordset.

kell, mis mõõtis Maa kuju 🖖

Aastal 1672 viis astronoom Jean Richer täpse pendelkella Pariisist Cayenne'i ekvaatori lähedale — ja seal jäi kell ööpäevas umbes 2,5 minutit taha. Muutunud polnud pendel, vaid raskuskiirendus. Maa pöörleb ja pundub seetõttu ekvaatoril, kus g on nõrgem, mis pikendab iga perioodi pisut. Newton haaras sellest kinni: tagasihoidlik kell oli mõõtnud planeedi kuju ja tõestanud, et Maa on lapik pöördellipsoid, mitte täiuslik kera.

PENDEL — MIS MUUDAB PERIOODI JA MIS MITTE?

Millise pendlijuhtumiga on tegemist?

Väikeste kõikumiste korral on periood T = 2π√(L/g), ja tähelepanuväärne on see, mis sellest puudub: mass ja see, kui kaugele te pendli tõmbasite. Loevad ainult pikkus ja kohalik raskuskiirendus, ja mõlemad ainult ruutjuurena. Just see sõltumatus tegi pendlist kolmeks sajandiks maailma ajanäitaja — ja see on lähendus, mis hakkab lagunema niipea, kui kõikumine läheb laiaks.

Väikese nurga juhtum — pikkus ja raskuskiirendus, muud midagi T = 2π√(L/g)

Muuda raskuskiirendust — seesama pendel käib aeglasemalt T ∝ 1/√g

Muuda pikkust — neli korda pikem on kaks korda aeglasem T ∝ √L

Lai kõikumine — väikese nurga valem näitab vaikselt liiga vähe T = T₀(1 + k²/4 + …)

Väikese nurga juhtum — pikkus ja raskuskiirendus, muud midagi

Mida te teate: Mõne kraadi suurune kõikumine, kus kehtib sin θ ≈ θ. Periood on T = 2π√(L/g) ja selles ei esine ei massi ega amplituudi.

Periood: T = 2π√(L/g)

Näidisarvutus: L = 1 m Maal, kõikumine 10° → T = 2π√(1/9,81) = 2,006 s

Ava see juhtum: 1m, Maa

Väikese nurga juhtum — pikkus ja raskuskiirendus, muud midagi. Ühemeetrine pendel võtab Maal peaaegu täpselt kaks sekundit kõikumise kohta. Mõne kraadi suurune kõikumine, kus kehtib sin θ ≈ θ. Periood on T = 2π√(L/g) ja selles ei esine ei massi ega amplituudi. — Ühemeetrine pendel võtab Maal peaaegu täpselt kaks sekundit kõikumise kohta.

Muuda raskuskiirendust — seesama pendel käib aeglasemalt

Mida te teate: Sama pikkus mujal. T käib nagu 1/√g, seega nõrgem raskusjõud tähendab pikemat perioodi ja maha jäävat kella.

Periood: T ∝ 1/√g

Näidisarvutus: Seesama 1 m pendel Kuul, g = 1,62 m/s² → T = 4,937 s, umbes 2,46 korda Maa väärtus

Ava see juhtum: 1m, Kuu

Muuda raskuskiirendust — seesama pendel käib aeglasemalt. Nõrgem raskusjõud, pikem periood: sama pikkus võtab peaaegu kaks ja pool korda kauem. Sama pikkus mujal. T käib nagu 1/√g, seega nõrgem raskusjõud tähendab pikemat perioodi ja maha jäävat kella. — Nõrgem raskusjõud, pikem periood: sama pikkus võtab peaaegu kaks ja pool korda kauem.

Muuda pikkust — neli korda pikem on kaks korda aeglasem

Mida te teate: Jälle ruutjuur, seekord L-i peal. Pikkuse neljakordistamine kahekordistab perioodi; perioodi kahekordistamiseks tuleb pikkus neljakordistada.

Periood: T ∝ √L

Näidisarvutus: L = 4 m Maal → T = 2π√(4/9,81) = 4,012 s, täpselt kaks korda ühemeetrise väärtus

Ava see juhtum: 4m, Maa

Muuda pikkust — neli korda pikem on kaks korda aeglasem. Neli korda pikem annab kaks korda pikema perioodi — ruutjuur töös. Jälle ruutjuur, seekord L-i peal. Pikkuse neljakordistamine kahekordistab perioodi; perioodi kahekordistamiseks tuleb pikkus neljakordistada. — Neli korda pikem annab kaks korda pikema perioodi — ruutjuur töös.

Lai kõikumine — väikese nurga valem näitab vaikselt liiga vähe

Mida te teate: Umbes 15° tagant ei ole lähendus sin θ ≈ θ enam hea ja tegelik periood kasvab koos amplituudiga. Lihtne valem on siis alampiir, mitte vastus.

Periood: T = T₀(1 + k²/4 + …)

Näidisarvutus: L = 1 m, lahti lastud 75° juurest → täpne periood on 2,241 s võrreldes väikese nurga valemi 2,006 sekundiga: 11,7 % vähem

Ava see juhtum: suur nurk

Lai kõikumine — väikese nurga valem näitab vaikselt liiga vähe. 75° juures võtab tegelik kõikumine märgatavalt kauem, kui väikese nurga valem ennustab. Umbes 15° tagant ei ole lähendus sin θ ≈ θ enam hea ja tegelik periood kasvab koos amplituudiga. Lihtne valem on siis alampiir, mitte vastus. — 75° juures võtab tegelik kõikumine märgatavalt kauem, kui väikese nurga valem ennustab.

Allikad (1)

Insight block 3 — the clock that lost time at the equator: J. Richer, Observations astronomiques et physiques faites en l'isle de Caïenne. Paris, 1679. Newton takes up the result in Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, Book III, as evidence that the Earth is oblate.

Ülesanne täielikult lahendatud

20° juures vabastatud 1 m pendli periood 5 sammu
Leidke 20° nurga all vabastatud 1 m pendli võnkeperiood ja tehke kindlaks, kuivõrd ekslik on õpiku valem — sest õpiku valem ei ole õige vastus. Võtke g = 9,81 m/s².
1. Taastav pöördemoment on võrdeline suurusega sin θ, mis ei anna lihtsat harmoonilist võnkumist. Tuntud valem saadakse alles pärast sin θ asendamist nurgaga θ — see on lähendus, mitte tuletus, ja kõik järgnev pärib selle.
  
  $m ℓ \ddot{θ} = - m g sin θ s i n θ \approx θ \ddot{θ} = - \frac{g}{ℓ} θ$
2. Selle asendusega kirjeldab võrrand harmoonilist ostsillaatorit ja sellest avaldub võnkeperiood. Pange tähele, mida see ei sisalda: massi ega amplituudi. Mõlema puudumine on lähenduse, mitte pendli enda tagajärg.
  
  $T_{0} = 2 π \frac{ℓ}{g} = 2 π \frac{1}{9.81} = 2.006 s$
3. Täpne võnkeperiood avaldub elliptilise integraalina, kuid selle rittaarendus näitab, kui kiiresti lähenduse täpsus väheneb. Parandus on radiaanides väljendatud vabastamisnurga suhtes ruutliige.
  
  $T = T_{0} (1 + \frac{θ _{0}^{2}}{16} + \dots), θ_{0} = 2 0^{\circ} = 0.349 rad$
4. Arvutage see välja. Just selle väärtuse kuvab ülaltoodud simulaator, sest see kasutab korrigeeritud perioodi, mitte õpiku oma.
  
  $T = 2.006 (1 + \frac{0.34 9 ^{2}}{16}) = 2.006 \times 1.00762 = 2.021 s$
5. Maksimaalne kiirus tuleneb üksnes energiast — kukkumiskõrgus ℓ(1−cos θ₀) muundub kineetiliseks energiaks — ega vaja üldse mingit lähendust.
  
  $v_{m a x} = 2 g ℓ (1 - cos θ_{0}) = 2 (9.81) (1) (1 - cos 2 0^{\circ}) = 1.088 m/s$
Vastus

2,021 s, võrrelduna õpiku 2,006 s-ga. 0,76% erinevus on väike, kuid see ei ole müra: väikeste nurkade valemi alusel ehitatud kell, mis võngub 20° amplituudiga, jääb maha umbes 11 minutit päevas. Seetõttu kasutatakse pendelkellades väikesi amplituude ja seetõttu nägi Huygens 1656. aastal vaeva tsükloidse riputuse loomisega — ta oli avastanud, et ringpendlid ei ole isokroonsed. Amplituudist sõltumatus, mida kõik mäletavad, on lähenduse, mitte pendli omadus.

$T_{0} = 2.006 s \to T = 2.021 s (+ 0.76%)$

Õpitee

Ringjooned ja lained on sama liikumine

Viib edasi fourier-series

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-07-27

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Füüsika õppetunnid →

Näiteülesanded

1m, Maa - L=1m, Maa — T=2.006 s, klassikalise põrandakella pikkus
1m, Kuu - L=1m, Kuu (g=1.62) — T=4.946 s, 2.5× aeglasem kui Maal
4m, Maa - L=4m, Maa — T=4.020 s; neljakordne pikkus kahekordistab perioodi
suur nurk - θ₀=75°, L=1m — T≈2.17 s; täpne periood on ~8% pikem kui väikese nurga lähendus