Ringliikumise labor

Uuri ühtlast ringliikumist ja vertikaalseid ringtrajektoore koos lõtva niidi viskeliikumise simulatsiooniga.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Ringliikumise labor

Miski, mis liigub mööda ringjoont konstantse kiirusega, liigub siiski kiirendusega, sest kiirendus on kiiruse muutus ja kiirus sisaldab ka suunda. See kiirendus on alati suunatud keskpunkti poole — mida sõna kesktõmbe- tähendabki —, ning just seepärast on ringjoone säilitamiseks üldse vaja jõudu.

Mida iga sümbol tähendab

r: ringjoone raadius, siin 1.50 m. See sisaldub nii valemis v = ωr kui ka valemis a_c = ω²r, seega paneb ringjoone suurendamine fikseeritud ω korral objekti liikuma kiiremini ja kiirendama tugevamini — need kaks ei ole üksteisest sõltumatud.
ω: nurkkiirus radiaanides sekundis — kui kiiresti nurk pöördub, 2.0 rad/s. See ei ütle üksi midagi suuruse kohta.
v: tangentsiaalkiirus piki ringjoont: v = ωr = 3.00 m/s.
a_c: kesktõmbekiirendus, ω²r = 6.00 m/s². Pane tähele, mida selles pole.
T: periood, üks täispööre: 2π/ω = 3.14 s ehk 0.32 pööret sekundis.

Kust valem tuleb

Väikese ajavahemiku jooksul ei muuda kiirusvektor oma pikkust, vaid ainult suunda — see pöördub sama nurga Δθ = ω·Δt võrra nagu kehagi.
Pikkusega v vektori pööramine väikese nurga võrra muudab seda v·Δθ võrra, suunatuna kiirusega risti ehk keskpunkti poole. Seega on kiirenduse suurus v·Δθ/Δt = v·ω.
Asendus v = ωr annab kaks kuju, mida leht kasutab: a_c = ω²r ja samaväärselt a_c = v²/r. Vaikimisi väärtuste korral 2.00² × 1.50 = 6.00 m/s².

Eeldab: Ühtlane ringjooneline liikumine: konstantne kiirus, konstantne raadius ja jäik side, mis hoiab keha selle trajektooril. Kui kiirust suurendada või lasta raadiusel muutuda, tekib teine, tangentsiaalne kiirendus, mida ükski neist valemitest ei kirjelda.
Ei kehti, kui: Kaks asja, mida tasub tähele panna, ja teine neist on tõeline väärarusaam. Esiteks ei sisalda a_c = ω²r üldse massi — muuda massi väljal olevat väärtust ja kiirendus ei muutu; mass tuleb mängu alles siis, kui küsid jõudu, F = m·a_c. Teiseks pole olemas mingit väljapoole suunatud jõudu. Väljapoole suunatud tõuge, mida karussellil tunned, on sinu enda inerts, mis kannab sind otse edasi, kui iste pöördub; ainus tegelik jõud on suunatud sissepoole ja kui see kaob, jätkad liikumist piki puutujat — mitte väljapoole.

Kiirus püsib ühtlane ja kiirendus kestab kogu ringi 🖖

Selle tööriista esimeses eelseadistuses ei muutu palli kiirus milleski — see püsib algusest lõpuni 3,00 m/s — ja ometi näitab väljund ka kiirendust 6,00 m/s², mis ei lülitu kunagi välja. Mõlemad on tõsi, sest kiirendus on vektorkiiruse muutus ja vektoril on suund. Suurus on paigal, suund pöördub igal hetkel, seega peab miski tõmbama. Just seepärast ei ole „ühtlane" ringliikumine kiirenduseta liikumine, ja see on siin kõige sagedamini valesti mõistetud koht. Tõmme kasvab pealegi julmalt kiiresti: a_c = ω²r, nii et pöörlemise tõstmine 2,0-lt 4,5 rad/s-le — vaid 2,25 korda — korrutab kiirenduse 5,06 korda, väärtuseni 30,38 m/s². See on umbes 3,1g vasaraheitja trossil.

Kesktõmbejõud on roll, mitte omaette jõud 🖖

Miski, mida nimetatakse kesktõmbejõuks, ei lükka keha; see sõna tähistab lihtsalt seda reaalset jõudu, mis parajasti osutab keskpunkti poole — nööri pinge, satelliidi puhul raskusjõud, kurvi võtva auto puhul hõõrdejõud. See osutab alati sissepoole, mööda raadiust. Konkreetne järeldus: katkesta nöör ja kuul ei lenda otse väljapoole — ta väljub sirgjooneliselt mööda puutujat, sest ühtki jõudu pole enam, mis ta rada painutaks.

Ameerika mäe loopingud on tilgad, mitte ringid 🖖

Täpselt ringikujuline looping nõuaks suurt sisenemiskiirust ja selle kiirusega alt läbi kihutamine muljuks sõitjaid julmade g-jõududega. Kuna miinimumkiirus päris tipus on vaid √(gr) — massist sõltumatu — kitsendavad insenerid tipus raadiust ja laiendavad seda all, andes tilgakujulise klotoidi (Euleri spiraali) kuju, mille võttis kasutusele Werner Stengel 1976. Tipus on vaja vähem kiirust, all on g-jõud leebemad.

Harjutus

Kontrolli ennast

Ennusta vastust esmalt ise ja kasuta siis ülal olevaid juhtelemente. Ava lahendus alles siis, kui oled otsustanud — just see teebki sellest harjutuse.

Eelseade vertikaalne silmus keerutab 1.00 m nööri kiirusel v₀ = 7.3 m/s ja teatab õnnestumisest. Eelseade lõtv nöör kasutab 1.50 m nööri kiirusel 6.0 m/s ja ebaõnnestub. Sisesta lõtva eelseade alumiseks kiiruseks 7.3: kas kiirus, millest lühema nööri puhul piisas, päästab ka pikema?

Näita vastust

Ei — nöör läheb ikka lõdvaks, pinge ülal 0.0 N. Tingimus on v₀ ≥ √(5gr), mis kasvab raadiuse ruutjuurega: 7.00 m/s raadiusel r = 1.00 m, aga 8.57 m/s raadiusel r = 1.50 m. Tõsta 1.5 m silmusel kiirust samm-sammult ja otsus pöördub 8.5 m/s (pinge ülal −0.8 N, lõtv) ja 8.6 m/s (0.3 N, pingul) vahel — täpselt seal, kus valem ette ütleb. Viis ei ole meelevaldne: energia jäävus annab v_top² = v₀² − 4gr ja pingul püsimine tipuni nõuab, et kesktõmbejõu annaks seal ainult raskusjõud, v_top² = gr. Liida need kokku ja viis ilmubki.
Eelseade kesktõmbejõud keerutab 2.0 kg 1.80 m pikkusel hooval nurkkiirusel ω = 2.2 rad/s ja teatab a꜀ = 8.7 m/s² — napilt alla ühe g. Milline ω teeb kesktõmbekiirenduse täpselt g-ks ja millist jõudu paneel siis näitab?

Näita vastust

ω = √(g/r) = √(9.8/1.8) = 2.33 rad/s. Sisesta see ja paneel näitab a꜀ = 9.8 m/s² ning F = 19.5 N, mis on täpselt 2.0 kg raskus. See on koht, kus koonuspendel ripub 45° all: külgsuunaline tõmme, mida ta vajab, on kasvanud võrdseks allasuunatud tõmbega, mis tal juba oli. Pane tähele, et g pead ise kaasa tooma — paneel näitab kiirendust ja jõudu, mitte kunagi raskust, nii et võrdlus on sinu teha.

Ülesanne täielikult lahendatud

1 kg pall 1 m nööri otsas, mida keerutatakse vertikaalses ringis 5 sammu
1 kg pall 1 m pikkuse nööri otsas, mida pööritatakse vertikaalsel ringjoonel ja mis läbib alumise punkti kiirusega 7,3 m/s. Leia, kas nöör püsib ülemises punktis pingul ja millele see peab alumises punktis vastu pidama. See on Vertikaalne silmus parameetritega r = 1,0 m, m = 1,0 kg, g = 9,8 m/s² ja v₀ = 7,3 m/s.
1. Ringjoone tipus on kese otse allpool, mistõttu raskusjõud ja nöör tõmbavad samas suunas. Nöör saab tõmmata, kuid mitte kunagi lükata, seega on piirjuhtumiks see, kus nöör ei panusta midagi ning üksnes raskusjõud peab tagama kogu vajaliku tsentripetaalkiirenduse.
  
  $T_{top} + m g = \frac{m v _{top}^{2}}{r}, T_{top} \geq 0 ⟹ v_{top, min} = g r = 9.8 \times 1.0 = 3.13 m/s$
2. Kiirus tipus tuleneb energiast, mitte jõududest. Tõus kõrgusele 2r kaetakse kineetilise energia arvelt ning selle ühendamine 1. sammu tingimusega annab alumise punkti miinimumkiiruseks √5 korda suurema kiiruse kui ülemise punkti miinimumkiirus.
  
  $\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = \frac{1}{2} m v_{top}^{2} + m g (2 r) ⟹ v_{0}^{2} = v_{top}^{2} + 4 g r, v_{0, m i n} = 5 g r = 49.0 = 7.00 m/s$
3. Niisiis ületab kiirus 7,3 m/s miinimumi 7,00 m/s võrra 4,3%. Ruudus v² on see ülejääk 4,29 ja tõus lahutab fikseeritud suuruse 4gr, mitte murdosa, mistõttu terve 4,29 säilib tipuni — kus see vastandub vaid nõudele 9,8, moodustades seal seega 44%.
  
  $v_{0}^{2} - v_{0, m i n}^{2} = 53.29 - 49.00 = 4.29; v_{top}^{2} = 53.29 - 39.20 = 14.09 ⟹ v_{top} = 3.75 m/s$
4. Nüüd mõlemad tõmbejõud. Tipus on raskusjõud suunatud sissepoole ja katab osa vajadusest, nii et nöör katab puudujäägi — ja see puudujääk on sammust 3 pärinev 4,29, sest m/r on siin 1. Alumises punktis on raskusjõud suunatud väljapoole, seega nöör kannab vajalikku tsentripetaaljõudu pluss kogu raskusjõudu.
  
  $T_{top} = \frac{m v _{top}^{2}}{r} - m g = 14.09 - 9.80 = 4.29 N, T_{bot} = \frac{m v _{0}^{2}}{r} + m g = 53.29 + 9.80 = 63.09 N$
5. Lahuta need. Kaks v² liiget erinevad täpselt 4gr võrra, kaks kaaluliiget liituvad taandumise asemel ning kiiruse igasugune jälg kaob.
  
  $T_{bot} - T_{top} = \frac{m ( v _{0}^{2} - v _{top}^{2} )}{r} + 2 m g = 4 m g + 2 m g = 6 m g = 58.8 N$
Vastus

Tööriist kuvab alumises punktis 63,1 N, tipus 4,3 N ja silmuse tipu miinimumkiiruseks 3,13 m/s. Samm 5 on see, mis tasub meelde jätta: vahe kahe tõmbejõu vahel on 6mg — siin 58,8 N — ega sõltu üldse kiirusest, seega kiiremini pööritamine suurendab mõlemat koos ega vähenda seda vahet kunagi. Miinimumpiiril töötades on ülemine tõmbejõud null ja alumine tõmbejõud seega täpselt 6mg, mis tähendab ameerika mägede ringikujulises silmuses sõitjale näivat kaalu 6 g. See ületab püstiasendis inimese taluvuspiiri ja seepärast pole ükski kaasaegne silmus ringikujuline: klotoid vähendab raadiust tipus, kus väike raadius tähendab väikest nõutavat kiirust, ja laiendab seda allosas, kus reisijale surub just v²/r.

$T_{bot} - T_{top} = 6 m g \forall v_{0}$