Kolmnurga kalkulaator: KKK, KNK, NKN, NNK ja KKN

Lahenda kolmnurk teadaolevate külgede ja nurkade järgi. Vaata arvutuskäiku, võrdle KKN-lahendeid ning õpi valima siinuse- ja koosinusteoreemi.

Näidisarvutus — Kolmnurga lahendaja

Juht	SSS

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Kui üks andmestik lõhub reaalsuse 🖖

Kolm mõõtu ei tähenda alati kolme kindlat fakti. KKN-juhul määravad samad arvud kaks erinevat kolmnurka, sest siinus ei erista nurka selle sirgnurgani täiendavast nurgast: sin(θ) = sin(180° − θ). Ühed lähteandmed, kaks kolmnurka, ning arvutus ei eelista kumbagi.

Miks on alati vaja üht külge 🖖

Kolm teadaolevat väärtust määravad kolmnurga tavaliselt üheselt, kuid vähemalt üks neist peab olema külg. Kolm nurka üksi (AAA) määravad ainult kuju, mitte suuruse: pisike ja hiiglaslik kolmnurk võivad omada täpselt samu nurki. Tööriist kasutab kaht reeglit: koosinusteoreemi, kui tead kõiki kolme külge (SSS) või kaht külge ja nendevahelist nurka (SAS), muidu siinusteoreemi.

Peidetud ringjoon määrab suhte 🖖

Siinusteoreemi võrdusel a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) on ka omaette oluline väärtus. See on 2R, kõiki kolme tippu läbiva ainsa ringjoone ehk ümberringjoone läbimõõt. Seega peitub igas kolmnurgas ringjoon ning siinusteoreem mõõdab tegelikult selle suurust. Kui ümberringjoone raadius kahekordistada, kahekordistub ka iga külje ja vastasnurga siinuse suhe.

Kolmnurga teooria — Juht juhtumi haaval

Milline kolmnurga juht sul on?

Alusta teadaolevaks märgitud suurustest. Meetodi määrab nende muster, mitte kolmnurga välimus. Lahendamiseks peab olema teada vähemalt üks külg.

KKK - kolm külge c² = a² + b² − 2ab cos C

KNK - kaks külge ja nendevaheline nurk c² = a² + b² − 2ab cos C

NKN/NNK - kaks nurka ja üks külg C = 180° − A − B; a / sin A = c / sin C

KKN - kaheti mõistetav juht sin B = b sin A / a; B′ = 180° − B

NNN — kolmest nurgast ei piisa A + B + C = 180° ⇒ ∞ △

KKK - kolm külge

Mida sa tead: Kõik kolm küljepikkust: a, b ja c.

Meetod: c² = a² + b² − 2ab cos C

Lahendatud näide: a = 3, b = 4, c = 5 annab täisnurkse kolmnurga.

Ava see juht: KKK

KKK - kolm külge. KKK: kolm kindlat külge määravad ühe kolmnurga, kui kolmnurga võrratus kehtib. Kõik kolm küljepikkust: a, b ja c. — KKK: kolm kindlat külge määravad ühe kolmnurga, kui kolmnurga võrratus kehtib.

KNK - kaks külge ja nendevaheline nurk

Mida sa tead: Kaks külge ja nendevaheline nurk.

Meetod: c² = a² + b² − 2ab cos C

Lahendatud näide: a = 7, b = 5, C = 60° määrab vastaskülje c.

Ava see juht: KNK

KNK - kaks külge ja nendevaheline nurk. KNK: esile tõstetud küljed ja nendevaheline nurk määravad ühe kolmnurga. Kaks külge ja nendevaheline nurk. — KNK: esile tõstetud küljed ja nendevaheline nurk määravad ühe kolmnurga.

NKN/NNK - kaks nurka ja üks külg

Mida sa tead: Kaks nurka ja üks suvaline külg (NKN või NNK).

Meetod: C = 180° − A − B; a / sin A = c / sin C

Lahendatud näide: A = 40°, B = 75°, c = 8 annab esmalt C = 65°.

Ava see juht: NKN

NKN/NNK - kaks nurka ja üks külg. NKN/NNK: kaks nurka määravad kuju ja üks külg mõõtkava. Kaks nurka ja üks suvaline külg (NKN või NNK). — NKN/NNK: kaks nurka määravad kuju ja üks külg mõõtkava.

KKN - kaheti mõistetav juht

Mida sa tead: Kaks külge ja ühe külje vastasnurk, mis ei asu nende vahel.

Meetod: sin B = b sin A / a; B′ = 180° − B

Lahendatud näide: a = 7, b = 9, A = 40° annab kaks kehtivat kolmnurka.

Ava see juht: KKN kaheti mõistetav

KKN - kaheti mõistetav juht. KKN: samad lähteandmed võivad lõikuda kahes kohas ja anda kaks kolmnurka. Kaks külge ja ühe külje vastasnurk, mis ei asu nende vahel. — KKN: samad lähteandmed võivad lõikuda kahes kohas ja anda kaks kolmnurka.

NNN — kolmest nurgast ei piisa

Mida sa tead: Kõik kolm nurka, kuid mitte ühtegi küljepikkust.

Meetod: A + B + C = 180° ⇒ ∞ △

Lahendatud näide: 30°, 60°, 90° kirjeldab lõpmata palju eri suurusega kolmnurki.

NNN vajab külge — ava NKN/NNK

NNN — kolmest nurgast ei piisa. NNN: samad nurgad võivad kirjeldada väikest ja suurt sarnast kolmnurka. Kõik kolm nurka, kuid mitte ühtegi küljepikkust. — NNN: samad nurgad võivad kirjeldada väikest ja suurt sarnast kolmnurka.

Ülesanded täielikult lahendatud

3-4-5 kolmnurga lahendamine ainult kolme külje järgi 5 sammu
3-4-5 kolmnurgal on täisnurk ja kellelegi ei pea ütlema, millises nurgas see asub. Lahenda see pelgalt kolme külje põhjal ning leia seejärel kaks selles peituvat ringjoont. See on KKK-juhtum.
1. Kolme külje ja ilma ühegi nurgata on ainus lähenemistee koosinusteoreem, mis on avaldatud vasakule jäetud külje vastasnurga koosinuse jaoks.
  
  $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c} = \frac{16 + 25 - 9}{40} = 0.8 ⟹ A = 36.869 9^{\circ}$
2. Korda sama teise nurga jaoks. Miski siin ei ole veel ligikaudne — 0,8 ja 0,6 on täpsed ning kümnendmurrud ilmuvad alles arkoosinuse võtmisel.
  
  $cos B = \frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c} = \frac{9 + 25 - 16}{30} = 0.6 ⟹ B = 53.130 1^{\circ}$
3. Kolmanda nurga saab tasuta nurgasummast. Rakenda sellele siiski koosinusteoreemi ning lugeja on 9 + 16 − 25 = 0, seega on koosinus täpselt null: see kolmnurk on täisnurkne seepärast, et 3² + 4² võrdub juhtumisi 5²-ga, ja ei ühelgi muul põhjusel.
  
  $C = 18 0^{\circ} - A - B = 9 0^{\circ}, cos C = \frac{9 + 16 - 25}{24} = 0$
4. Heroni valem vajab vaid ümbermõõtu ja kolme külge. See annab tulemuseks 6, mis on samuti ½ × 3 × 4 — need kaks valemit peavad kokku langema ja siin saad jälgida, kuidas nad seda teevad.
  
  $s = \frac{12}{2} = 6, K = 6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 = \frac{1}{2} ab$
5. Kaks raadiust, mida paneel ei maini kunagi. Täisnurkses kolmnurgas on hüpotenuus ümberringjoone läbimõõt, seega R = 2,5. Siseringjoone raadius on r = (a + b − c)/2 = 1 ja pindala võrdub r × s, mis on jälle 6.
  
  $R = \frac{c}{2} = 2.5, r = \frac{a + b - c}{2} = 1, K = r s = 1 \times 6 = 6$
Vastus

Tööriist kuvab A = 36,8699°, B = 53,1301°, C = 90° ja ümbermõõduks 12. Samm 3 on see, mis tasub meelde jätta: Pythagorase teoreem ei ole koosinusteoreemi kõrval seisev eraldi teoreem, vaid koosinusteoreem arvutatuna 90° juures, kus liige −2ab·cos C kaob. Kõik, mille poolest täisnurk on tuntud, tuleneb selle ainukese liikme nulliks muutumisest — mistõttu koosinusteoreem kehtib iga kolmnurga korral ja Pythagorase teoreem ühte tüüpi kolmnurga korral.

$cos C = 0 ⟺ a^{2} + b^{2} = c^{2} : Pythagoras is the cosine law at 9 0^{\circ}$
Küljed 7 ja 5 ning 60° nurk nende vahel 5 sammu
Kaks külge pikkustega 7 ja 5 ning nendevaheline nurk 60°. Leia kolmas külg ja mõlemad ülejäänud nurgad — ning võta teine nurk teadlikult koosinusteoreemist, mitte siinusteoreemist. See on KNK-juhtum.
1. Teadaolev nurk asub kahe teadaoleva külje vahel, mis on täpselt see asetus, mille jaoks koosinusteoreem on loodud: see annab tulemuseks selle nurga vastaskülje.
  
  $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C = 49 + 25 - 2 (35) (\frac{1}{2}) = 39 ⟹ c = 6.245$
2. 60° juures on koosinus täpselt ½, nii et kogu liige −2ab·cos C taandub liikmeks −ab ja avaldisest saab a² + b² − ab. See on kasulik kuju ära tunda; 60° on ainus nurk, kus see ilmneb.
  
  $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2} ⟹ c^{2} = a^{2} + b^{2} - ab$
3. Nüüd nurk A. Siinusteoreem toimiks ja seda on lihtsam sisestada, kuid arksiinus tagastab nurga esimeses veerandis ning selle kõrvusnurk on samavõrra kehtiv — seega annaks see kaks kandidaati ilma võimaluseta valida. Koosinusteoreem tagastab märgiga koosinuse ning koosinus on üks-ühene kogu vahemikus, mida kolmnurga nurk võib omandada.
  
  $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c} = \frac{25 + 39 - 49}{62.45} = 0.2402 ⟹ A = 76.102 1^{\circ}$
4. Viimane nurk saadakse nurgasummast, mis ei saa olla kaheselt mõistetav.
  
  $B = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} - 76.102 1^{\circ} = 43.897 9^{\circ}$
5. Pindala jaoks pole vaja kumbagi äsja leitud nurka ega kolmandat külge: kaks külge ja nendevaheline nurk on juba piisav.
  
  $K = \frac{1}{2} ab sin C = \frac{1}{2} (7) (5) sin 6 0^{\circ} = 15.155$
Vastus

Tööriist kuvab c = 6,245, A = 76,1021° ja B = 43,8979°. Samm 3 selgitab, miks SAS on ohutu juhtum ja SSA mitte. Koosinusteoreem ei saa kunagi olla kaheselt mõistetav, sest cos θ omandab iga väärtuse 0° ja 180° vahel täpselt ühe korra; siinusteoreem võib seda alati olla, sest sin θ omandab iga väärtuse kaks korda. Kui antud on kaks külge ja nendevaheline nurk, on kolmnurk juba määratud ja arvutus loeb selle lihtsalt välja. Järgmine ülesanne näitab, mis juhtub siis, kui see nii ei ole.

$SAS is never ambiguous: cos θ is one-to-one on (0^{\circ}, 18 0^{\circ})$
SSA juhtum a = 7, b = 9, A = 40° korral 5 sammu
a = 7, b = 9, A = 40° — ning paneel teatab kahest lahendusest, kuvades samal ajal ühte kolmnurka. Leia teine lahendus. See on SSA-juhtum.
1. Tõmba kaugeimast tipust ristsirge sirgele, millel teadaolev nurk asub. Selle pikkus on h = b·sin A = 5,7851 ning külg a peab selle sirgeni ulatuma: liiga lühike ja kolmnurka ei ole, täpselt h ja neid on üks, pikem kui h ja neid on kaks — kuni a ületab b, mil teine sulgub. Siin on h < a < b, seega kaks.
  
  $h = b sin A = 9 sin 4 0^{\circ} = 5.7851, h < a < b$
2. Siinusteoreem annab B siinuse ning arksiinus tagastab teravnurkse haru.
  
  $sin B = \frac{b sin A}{a} = \frac{9 sin 4 0 ^{\circ}}{7} = 0.826441 ⟹ B_{1} = 55.734 9^{\circ}$
3. Nürinurksel harul on sama siinus. See jääb püsima vaid siis, kui jätab veel ruumi kolmanda nurga jaoks, ning 40° + 124,2651° on alla 180°, seega jätab.
  
  $B_{2} = 18 0^{\circ} - 55.734 9^{\circ} = 124.265 1^{\circ}, A + B_{2} = 164.2 7^{\circ} < 18 0^{\circ}$
4. Lõpeta esimene kolmnurk: kolmas nurk, seejärel siinusteoreemiga kolmas külg ning seejärel pindala.
  
  $C_{1} = 84.265 1^{\circ}, c_{1} = \frac{a sin C _{1}}{sin A} = 10.8356, K_{1} = 31.3423$
5. Lõpeta teine samal viisil. Sama a, sama b, sama A — ja kolmnurk, mis on vähem kui kolmandik selle suurusest.
  
  $C_{2} = 15.734 9^{\circ}, c_{2} = \frac{a sin C _{2}}{sin A} = 2.9532, K_{2} = 8.5424$
Vastus

Paneel teavitab SSA (2 lahendust) ning kuvab h = 5,7851, B = 55,7349°, c = 10,8356 ja pindalaks 31,3423 — see on esimene haru. Teine, kus c = 2,9532 ja pindala 8,5424, on jäetud sinu lahendada, ning see ongi selle juhtumi aus seis: andmed ei määra kolmnurka, seega ei saa ükski kalkulaator sulle ulatada seda ainsat vastust. Kõik sel viisil mõõdetu — suund ja kaks kaugust, radari kaugus koos teljevälise nurgaga — sisaldab sama hargnemist ning väljapääs pole kunagi täiendav arvutamine. See on veel üks mõõtmine või füüsikaline põhjus, miks üks kahest on võimatu.

$sin θ = sin (18 0^{\circ} - θ) : two triangles, and the panel prints one$

Õpitee

Kolmnurga reeglid ja kust need tulevad

Viib edasi Ringjoone nurgateoreemid

Allikad (1)

The circle hiding behind the law of sines, and why one dataset can describe two triangles: G. Van Brummelen, "Sines, cosines, and their relatives", chapter 2 of Trigonometry: A Very Short Introduction. Oxford University Press, 2020.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-08-17

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Matemaatika õppetunnid →

Näiteülesanded

KKK - Kolm külge ja mitte ühtegi nurka, seega saab alustada ainult koosinusteoreemist. Kolmnurk külgedega 3-4-5 osutub täisnurkseks ning põhjus on arvutuses: 9 + 16 − 25 on null, järelikult on selle nurga koosinus täpselt null.
KNK - Kaks külge ja nendevaheline nurk. Kõigepealt tuleb kasutada koosinusteoreemi, sest siinusteoreemiga alustamiseks on vaja külge ja selle vastasnurka, kuid sellist paari veel pole.
NKN - Kaks nurka määravad kohe kolmanda: 40° ja 75° korral on see 65°. Edasi piisab ühest siinusteoreemi suhtest ning ainus antud külg määrab kogu kolmnurga mõõtkava.
KKN kaheti mõistetav - Juhtum, kus kolm mõõtu ei anna kolme kindlat fakti. Samade lähteandmete korral võib puuduv külg olla kas 10,836 või 2,953, sest siinus ei erista nurki 55,7° ja 124,3° ning mõlemaga saab moodustada kolmnurga.