Ringjoone nurgateoreemid

A ja B paiknevad ringjoonel vastavalt 330° ja 110° kohal ning P asub 220° kohal. Paneeli järgi on nurk tipus P 70° ja kesknurk 140°. Ära piirdu kahekordse seose vaatlemisega, vaid tõesta see. Seejärel selgita, mida eeldab tõestus vaikimisi punkti P asukoha kohta.

1. Mõõda kõigepealt kaar. Liikudes vastupäeva punktist A (330°) punktini B (110°), läbitakse 140°, ja see on kaar, millel P ei asu. Sellele toetuv kesknurk on definitsiooni kohaselt 140°, sest kesknurk ongi võrdne oma kaarega.

   $$\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}=110^{\circ }-330^{\circ }(\text{mod }360)=140^{\circ }$$

2. Nüüd konstruktsioon, ja see ongi kogu tõestus: tõmba joon punktist P läbi keskpunkti O ning lase sel väljuda ringjoonelt punktis D. Midagi muud ei lisata.

3. OA ja OP on mõlemad raadiused, seega on kolmnurk OAP võrdhaarne ning nurgad tippudes A ja P on võrdsed. Nimetame seda nurka tähisega α, seega ∠OPA = ∠OAP = α.

   $$OA=OP=r\Rightarrow \angle OPA=\angle OAP=\alpha$$

4. Nurk ∠AOD on kolmnurga OAP välisnurk tipus O ning välisnurk võrdub kahe sisenurga summaga, millega see kokku ei puutu: ∠AOD = α + α = 2α.

   $$\angle AOD=\alpha +\alpha =2\alpha$$

5. Sama arutluskäik teisel pool annab ∠DOB = 2β, kus β = ∠OPB. Liidame need nurgad. See kehtib seni, kuni pikendatud OP lõikab ringjoont kaarel AB: ∠AOB = 2α + 2β = 2(α + β), kusjuures α + β on täpselt ∠APB.

   $$\angle AOB=2\alpha +2\beta =2(\alpha +\beta )=2\angle APB$$

6. Niisiis on kesknurk piirdenurgast kaks korda suurem ning siin 2 × 70° = 140°. Vaata, millele tõestus tugines: kaks raadiust, kummalgi pool üks võrdhaarne kolmnurk ja üks välisnurk. Ei ühtki pikkust, koordinaati ega kaare mõõtmist.

   $$2\times 70^{\circ }=140^{\circ }$$

Mõlemast tähistatud punktist paistab kõõl AB 60° all. Uuri, millisena näeks seda punkt, mis ei asu ringjoonel, ja otsusta seejärel, kus peaks lööja seisma, et postidele avaneks kõige laiem vaade.

1. A ja B asuvad 320° ja 80° juures. Nende vaheline kaar, millel P ei asu, mõõdab seega 120°. Pool sellest teeb 60° ning Q annab täpselt sama tulemuse, sest toetub P-ga samale kaarele.

   $$\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}=80^{\circ }-320^{\circ }(\mathrm{mod}360)=120^{\circ }⟹\angle APB=\angle AQB=60^{\circ }$$

2. Nüüd aga kõõlust endast. Sellele kaarele toetuv kesknurk on piirdenurgast kaks korda suurem ja kõõlu pikkus võrdub 2R korda siinus poolest kesknurgast. Ringjoonel raadiusega 1 kehtib seega AB = 2 sin 60° = √3.

   $$AB=2R\sin (\angle APB)=2\sin 60^{\circ }=\sqrt{3}=1.7321(R=1)$$

3. Loeme sama arutluskäiku tagurpidi. Hoiame kõõlu paigal ja laseme ringjoonel muutuda. Piirdenurga siinus on AB ÷ 2R, mistõttu annab väiksem A-d ja B-d läbiv ringjoon suurema nurga. Kõige väiksema ringjoone puhul on AB diameetriks ja nurk on 90°. Valitud ringjoon otsustab kõik.

   $$\sin (\angle APB)=\frac{AB}{2R}⟹R\text{smaller}\Rightarrow \angle APB\text{larger},R=\frac{AB}{2}\Rightarrow \angle APB=90^{\circ }$$

4. Kui me ei ole enam ringjoonel, ei püsi ka nurk 60° juures. Ringjoone sees lõikavad need kaks sirget veel teistki kaart ning nurk on pool nende kahe summast. Liikudes kaarest pisut sissepoole, on nurk ligikaudu 71,6°. Väljaspool on see aga pool vahest ehk umbes 51,4°. Ringjoon ongi piiriks suurema ja väiksema vaatenurga vahel.

   $$\text{inside: }\frac{1}{2}\left(\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}+\stackrel{⌢}{\mathrm{CD}}\right)=71.6^{\circ }>60^{\circ }>51.4^{\circ }=\frac{1}{2}\left(\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}-\stackrel{⌢}{\mathrm{CD}}\right)\text{: outside}$$

5. See lahendab löögi küsimuse. Ragbipostid asuvad üksteisest 5,6 m kaugusel. Kuna katse tehakse lähimast postist 10 m kaugusel, jäävad postid löögijoone alguspunktist 10 m ja 15,6 m kaugusele. Iga punkt, kust need paistavad täpselt sama nurga all, asub ühel ja samal mõlemat posti läbival ringjoonel.

   $$a=10\mathrm{m},b=15.6\mathrm{m},\tan \angle =\frac{(b-a)x}{x^2+ab}$$

6. Iga punkt löögijoonel paikneb täpselt ühel sellisel ringjoonel. Nurk on suurim kõige väiksemal ringjoonel, mis seda sirget üldse riivab – see tähendab, kus sirge on selle puutujaks. Puutepunkt moodustab alguspunktist lähtuva puutujalõigu. Puutuja pikkus on kahe lõikaja osa geomeetriline keskmine: x² = 10 × 15,6 = 156.

   $$x^2=FA\cdot FB=ab=156⟹x^{\ast }=\sqrt{156}=12.49\mathrm{m}$$

7. Seega x = √156 = 12,49 m ning nurk on seal 12,64°. Tähise 10 m juures on see 12,34°, 20 m juures on väärtus langenud 11,39° peale ja 30 m kohal on see 9,04°.

   $$\tan {\angle }_{\max }=\frac{b-a}{2\sqrt{ab}}=\frac{5.6}{24.98}=0.2242\Rightarrow 12.64^{\circ };\angle (10)=12.34^{\circ },\angle (20)=11.39^{\circ },\angle (30)=9.04^{\circ }$$