Pindala ja ümbermõõt

Double every length: what doubles, and what quadruples?

Näidisarvutus — Pindala ja ümbermõõt

Perimeter	26,00 u
Area	40,00 u²
Scaled perimeter	52,00 u
Scaled area	160,00 u²
Kompaktsus Q	0,744
Original	26,00 u · 40,00 u²

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Ümbermõõt on lineaarne ja pindala ruuduline 🖖

Kui iga pikkus korrutada arvuga k, kasvab ümbermõõt k korda. Pindala kasutab kaht suunda ja kasvab k² korda.

Suurem pitsa näitab ruutseost 🖖

12-tolline pitsa ei võrdu kahe 6-tollise pitsaga. Selle raadius on kahekordne, mistõttu korrutatakse pindala neljaga, samas kui ümbermõõt vaid kahekordistub.

Pindala ei määra ümbermõõtu 🖖

Samal pindalal võib olla palju ümbermõõte. Ristküliku venitamine muutumatu korrutise ab juures pikendab selle serva.

Ülesanne täielikult lahendatud

Mida 24,94 meetrit äärist oleks võinud hoida 6 sammu
Lae eelseadistus trapezium: paralleelsed küljed 10 m ja 6 m, nendevaheline kaugus 4 m, ning loe tööriista ühikut u oma meetriks. Arvuta peenra pindala ja äärise pikkus. Otsusta seejärel, kas istutuspinda võtab sinult kuju või suurus, ja kas poolteist korda suurema peenra ehitamine selle parandaks.
1. Kaks paralleelset külge on eri pikkusega, seega tuleb esmalt leida see üksainus laius, mis teeks sama töö. Lõika ühest otsast täisnurkne kolmnurk ära ja pane see vastu teist: sälk, mille ta jätab, on täpselt seesama kuju, mille ta täidab, ja alles jääb 8 m lai ja 4 m kõrge ristkülik. Kaldkülg ei jõua pindalasse üldse.
  
  $\frac{a + b}{2} = \frac{10 + 6}{2} = 8 m, A = 8 \times 4 = 32.00 m^{2}$
2. Ääris on kõik neli külge ja kaks neist kalduvad. Peenar kaotab oma kõrguse jooksul 4 m laiust, kummaski otsas 2 m, seega on kumbki kalduv külg 4 m kõrge ja 2 m laia kolmnurga hüpotenuus: √20, napilt alla 4,5 m. Ümbermõõdu kaart näitab 24,94 m.
  
  $\frac{a - b}{2} = 2, c = 4^{2} + 2^{2} = 20 = 4.4721, P = 10 + 6 + 2 c = 24.94 m$
3. Kolmas kaart, kompaktsus, näitab 0,646. Q on defineeritud kui 4πA/P², mis näeb välja nagu hindepunkt ilma sisuta, kuni küsid, mis on P²/4π omaette.
  
  $Q = \frac{4 π A}{P ^{2}} = \frac{4 π \times 32.00}{24.9 4 ^{2}} = 0.646$
4. See on samast äärisest tehtud ringi pindala. Painuta 24,94 m sirgeks, sule rõngaks, ja raadius on P/2π = 3,9700 m, mis piirab 49,51 m². Nii et Q on selle peenra pindala jagatuna tolle ringi omaga, ja 0,646 ütleb, et trapets hoiab vähem kui kaks kolmandikku sellest, mida tema enda ääris hoida suudaks.
  
  $r_{\circ} = \frac{P}{2 π} = \frac{24.9443}{2 π} = 3.9700 m, A_{\circ} = π r_{\circ}^{2} = \frac{P ^{2}}{4 π} = 49.51 m^{2}$
5. Vahe on 17,51 m² peenart, mille eest sa oled maksnud ja mida istutada ei saa. Pööra see ümber ja see on sama lause: ümmargune peenar, mis mahutab sinu 32,00 m², vajab 20,05 m äärist, 4,89 m vähem, umbes viiendiku rullist.
  
  $A_{\circ} - A = 49.51 - 32.00 = 17.51 m^{2}, P_{\circ} = 2 π A = 2 32 π = 20.05 m$
6. Suurus ei aita. Sea k väärtusele 1,5 ja peenar jõuab 72,00 m²-ni 37,42 m äärise taga, ning Q ei liigu, sest k², mille pindala juurde saab, tühistatakse k²-ga, mis tuleb ümbermõõdu ruutu võtmisest. Selle kuju venitamine, kuni see ringi 49,51 m²-le järele jõuab, nõuaks k = 1,2439 ja 31,03 m äärist, 6,08 m rohkem, kui ring sama pindala jaoks vajab.
  
  $k = 1.5 : P^{'} = 37.42, A^{'} = 72.00, Q^{'} = \frac{4 π k ^{2} A}{( k P ) ^{2}} = Q = 0.646; k = \frac{49.51}{32.00} = 1.2439 \Rightarrow P^{'} = 31.03 m$
Vastus

32,00 m² 24,94 m äärise taga, ja hinda maksab sulle kuju. Sama ääris ringiks suletuna hoiab 49,51 m², seega on 17,51 m² peenart ostetud ja kätte saamata. Poolteist korda suurema ehitamine ei paranda midagi: k = 1,5 juures jõuab pindala 72,00 m²-ni ja Q püsib 0,646 peal, täpselt seal, kust ta alustas.

Kuna Q tühistab iga k teguri, on ta ainus kaart, mis siin näitab kuju, mitte suurust. Tal on ka lagi. Miski sellel tööriistal ei vii Q-d üle 1: ring piirab suurema pindala kui ükski teine sama ümbermõõduga kujund. Jakob Steiner avaldas selle põhjenduse 1838. aastal, näidates, et iga mitteringjoonelist kuju saab parandada. See jätab lahtiseks, kas parim kuju üldse olemas on, ja puuduva olemasolutõestuse andis hiljem Weierstrass. Korrapärane hulknurk ronib vahet üles ühe külje kaupa: 0,605 kolme küljega, 0,785 nelja, 0,865 viie, 0,907 kuuega, ega jõua kunagi päris ringini.

$Q = \frac{A}{P ^{2} /4 π} = \frac{A}{A _{\circ}} \leq 1, Q (k) = Q \forall k > 0$

Õpitee

Kolmnurga reeglid ja kust need tulevad

Viib edasi Sarnased kolmnurgad

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-09-04

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Matemaatika õppetunnid →

Näiteülesanded

8 × 5 rectangle - Ümbermõõt 26,00 ü ja pindala 40,00 ü², kõrval on kahekordistatud koopia näitajatega 52,00 ü ja 160,00 ü². Mõlemad kujundid on joonistatud samale ühikruudustikule, nii et 40 ruutu ühes ja 160 teises on seal ülelugemiseks, mitte pimesi uskumiseks.
6 to 12 inch pizza - Raadius 3 on 6-tolline pitsa: 18,85 ü koorikut ümbritseb 28,27 ü² katet. Skaleeritud rida on 12-tolline pitsa, 37,70 ü ja 113,10 ü². Kaks 6-tollist pitsat kasutavad täpselt sama 37,70 ü koorikut, ent annavad sulle poole vähem pitsat.
trapezium - Paralleelsed küljed 10 ja 6 koos kõrgusega 4 annavad pindalaks 32,00 ü², sest tööd teeb siin üksnes kahe paralleelse külje keskmine pikkus. Ümbermõõt on 24,94 ü ja kompaktsus Q = 0,646 on kolmest eelseadistusest väikseim. See kujund annab iga servaühiku kohta kõige vähem pindala.