Riemanni summa uurija

Jaota lõik [a; b] n ribaks, vali iga riba kõrgus kõvera järgi ja liida ribade pindalad. Kui n kasvab, koonduvad summad kõrguste valikust sõltumata üheks ja samaks arvuks. See arv on määratud integraal.

Integraal summade piirväärtusena	$\int_{a}^{b} f (x) d x Δ x = n \to \infty lim i = 1 \sum n f (x_{i}^{*}) Δ x = \frac{b - a}{n}$
Kust võetakse summade kõrgused	$L_{n} : x_{i - 1}, R_{n} : x_{i}, M_{n} : \frac{x _{i - 1} + x _{i}}{2} T_{n} = \frac{1}{2} (L_{n} + R_{n}), x_{i} = a + i Δ x$
Kummale poole jääb viga	$f^{'} \geq 0 : L_{n} \leq \int_{a}^{b} f d x \leq R_{n} f^{''} \geq 0 : M_{n} \leq \int_{a}^{b} f d x \leq T_{n}$

Näidisarvutus — Riemanni summa uurija

Riba laius	0,25
Valitud punktid	0,125, 0,375, …, 1,875
Keskpunktisumma	2,65625
Integraal	2,666667
Summa miinus integraal	−0,010417

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Riemanni summa uurija

Funktsiooni f Riemanni summa leidmiseks lõigul [a; b] jaotatakse lõik n ribaks, valitakse igas ribas kõrgus f(x_i*) ja liidetakse ribade pindalad f(x_i*)Δx. Määratud integraal on arv, milleks need summad koonduvad, kui n → ∞.

Mida iga sümbol tähendab

Δx: iga riba laius (b − a)/n
xᵢ*: ribas i valitud punkt, millest võetakse selle kõrgus

Kust valem tuleb

Jaota lõik osadeks. Tekib n võrdse laiusega riba, mille laius on Δx = (b − a)/n ja otspunktid x₀ = a, x₁, …, x_n = b.
$Δ x = \frac{b - a}{n} x_{i} = a + i Δ x, i = 0, 1, \dots, n$
Vali igale ribale kõrgus. Võta f väärtus ribas i vabalt valitud punktis x_i*. Siin lehel saad valida vasaku otspunkti, parema otspunkti või keskpunkti. Riba pindala on f(x_i*)Δx ja Riemanni summa liidab kõigi n riba pindalad. Trapetsivalem kasutab mõlemat otspunkti ning annab vasak- ja parempoolse summa keskmise.
$S_{n} = i = 1 \sum n f (x_{i}^{*}) Δ x, T_{n} = \frac{1}{2} (L_{n} + R_{n})$
Teljest allpool arvesta miinusmärgiga. Kui f < 0, on liige f(x_i*)Δx negatiivne. Seega mõõdab summa teljest ülalpool oleva ala pindala, millest on lahutatud teljest allpool oleva ala pindala. Oranžid ribad tähistavad lahutatavaid osi.
$\int_{- 1}^{2} x d x = - \frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}$
Lase n-il kasvada. Funktsiooni x² parempoolne summa lõigul [0; 1] on (n + 1)(2n + 1)/(6n²), mis koondub väärtuseks 1/3. Pideva funktsiooni f korral koonduvad summad punktide valikust sõltumata samaks arvuks. See arv on integraal.
$R_{n} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n \frac{i ^{2}}{n ^{2}} = \frac{( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6 n ^{2}} n \to \infty \frac{1}{3}$
Määra vea suund. Kui f kasvab lõigul [a; b], on vasakpoolne summa liiga väike ja parempoolne liiga suur. Kui f graafik on nõgus, on keskpunktisumma liiga väike ja trapetsisumma liiga suur. Kahaneva funktsiooni korral vahetuvad esimese paari rollid, kumera graafiku korral teise paari omad.
$f^{'} \geq 0 : L_{n} \leq \int_{a}^{b} f d x \leq R_{n} f^{''} \geq 0 : M_{n} \leq \int_{a}^{b} f d x \leq T_{n}$

miks farmakoloogia poole pealt reegleid vahetab 🖖

Ravimiga kokkupuude on Riemanni summa. Ravimiamet tahab teada patsiendi kontsentratsiooni-aja kõvera alust pindala, kuid kasutada on vaid tosin vereproovi. Seepärast rakendatakse järjestikuste proovide vahel tavaliselt trapetsmeetodit. Sellele kandub üle siin lehel nähtav nihe. Eliminatsioonikõver on kumer, kõõl paikneb sellest kõrgemal ning lineaarne trapetsmeetod omistab patsiendile tegelikust suurema ravimikoguse. Sellest ka tavapraktika: imendumisfaasis kasutatakse lineaarset, langusfaasis logaritmilist lähendust.

Funktsioon, mille puhul Riemanni summad vastust ei anna 🖖

Kõik selle lehe summad koonduvad üheks ja samaks arvuks, olenemata sellest, kust ribade kõrgused võtta. Selle tagab siinsete funktsioonide pidevus; katkeva funktsiooni puhul ei pruugi see kehtida. Dirichlet kirjeldas 1829. aastal funktsiooni, mille väärtus on igal ratsionaalsel x-il 1 ja igal irratsionaalsel x-il 0. Iga riba, olgu kui kitsas tahes, sisaldab mõlemat liiki punkte. Kui valida igas ribas ratsionaalne punkt, on summa lõigul [0; 1] iga n korral 1; irratsionaalsete punktide valimisel on see alati 0. Summadel puudub ühine piirväärtus ja funktsioonil pole Riemanni integraali. Lebesgue’i integraal, mis pärineb 1902. aastast, rühmitab punkte funktsiooni f väärtuse, mitte nende asukoha järgi teljel. Selle funktsiooni Lebesgue’i integraal on 0.

RIEMANNI SUMMA TEOORIA — DEFINITSIOON INTEGRAALI TAGA

Kust kohast ribas väärtust võtta?

Riemanni summa jagab lõigu [a, b] n ribaks ja annab igale ribale ühe kõrguse, mis loetakse ühest mõõtepunktist selle sees. See, millise punkti valid — vasak serv, parem serv või kese —, muudab vastust seni, kuni n on väike. Tähelepanuväärne on see, et n kasvades lähenevad kõik valikud samale arvule, ja just see ühine piirväärtus ongi määratud integraal.

Vasak otspunkt — mõõdetakse riba algusest Σ f(x_i) Δx

Parem otspunkt — mõõdetakse riba lõpust Σ f(x_i+1) Δx

Keskpunkt — mõõdetakse riba keskelt Σ f(x_i + Δx/2) Δx

Trapets — mõlemad otspunktid, keskmistatud Σ ½[f(x_i) + f(x_i+1)] Δx

Vasak otspunkt — mõõdetakse riba algusest

Mõõtepunkt: Kõrgus loetakse punktist xᵢ, riba i vasakust servast. Väärtust kohal b ei kasutata kunagi.

Summa: Σ f(x_i) Δx

Väikese n korral: x² lõigul [0, 2] ja n = 4 annab 1,75, tegelik pindala on 2,667 — kaugelt liiga vähe.

Ava see juht: Neli vasakpoolset riba

Vasak otspunkt — mõõdetakse riba algusest. Iga ristkülik võtab kõrguse oma vasakust servast, nii jääb kiil kõverast välja. Kõrgus loetakse punktist xᵢ, riba i vasakust servast. Väärtust kohal b ei kasutata kunagi. — Iga ristkülik võtab kõrguse oma vasakust servast, nii jääb kiil kõverast välja.

Parem otspunkt — mõõdetakse riba lõpust

Mõõtepunkt: Kõrgus loetakse punktist xᵢ₊₁, riba i paremast servast. Väärtust kohal a ei kasutata kunagi.

Summa: Σ f(x_i+1) Δx

Väikese n korral: Sama kõver ja n: 3,75 vastu 2,667 — nüüd ületab umbes sama palju, kui vasak summa kaotas.

Ava see juht: Kuus parempoolset riba

Parem otspunkt — mõõdetakse riba lõpust. Samad ribad, mõõdetud paremast servast — nüüd ületab iga ristkülik kõverat. Kõrgus loetakse punktist xᵢ₊₁, riba i paremast servast. Väärtust kohal a ei kasutata kunagi. — Samad ribad, mõõdetud paremast servast — nüüd ületab iga ristkülik kõverat.

Keskpunkt — mõõdetakse riba keskelt

Mõõtepunkt: Kõrgus loetakse riba keskelt, kumbagi serva ei eelistata.

Summa: Σ f(x_i + Δx/2) Δx

Väikese n korral: Sama kõver ja n: 2,625 vastu 2,667 — suurusjärgu võrra lähemal kui vasak ja parem.

Ava see juht: Nelikümmend keskpunkti

Keskpunkt — mõõdetakse riba keskelt. Keskelt mõõtmine laseb iga riba kahel veal teineteist tasandada. Kõrgus loetakse riba keskelt, kumbagi serva ei eelistata. — Keskelt mõõtmine laseb iga riba kahel veal teineteist tasandada.

Trapets — mõlemad otspunktid, keskmistatud

Mõõtepunkt: Kasutatakse riba mõlemat serva ja ülaserv kaldub nende vahel.

Summa: Σ ½[f(x_i) + f(x_i+1)] Δx

Väikese n korral: Sama kõver ja n: 2,75 vastu 2,667 — parem kui kumbki servasumma, kuid keskpunktist tagapool.

Ava see juht: sin x, trapetsid

Trapets — mõlemad otspunktid, keskmistatud. Kaldus ülaserv ühendab mõlemat serva — vasaku ja parema ristküliku keskmine. Kasutatakse riba mõlemat serva ja ülaserv kaldub nende vahel. — Kaldus ülaserv ühendab mõlemat serva — vasaku ja parema ristküliku keskmine.

Ülesanded täielikult lahendatud

Integraali ∫₀² x² d x lähendamine kaheksa keskpunktiristkülikuga 5 sammu
Leia integraali ∫₀² x² dx ligikaudne väärtus kaheksa ristkülikuga, mille kõrgused on võetud ribade keskpunktides. Seejärel leia kahe vale vastuse abil täpne tulemus.
1. Jagades lõigu pikkusega 2 kaheksaks ribaks, saame Δx = 0,25. Keskpunktivalemis võetakse iga ristküliku kõrgus riba keskpunktist: 0,125, 0,375 ja nii edasi. Keskpunkti valikul on arvutuslik põhjus, mis selgub sammus 4.
  
  $Δ x = \frac{2 - 0}{8} = 0.25, x_{i}^{*} = 0.125, 0.375, \dots, 1.875$
2. Liida kaheksa keskpunkti ruudud ja korruta summa ribade ühise laiusega. Seni on ainus lähendus kõverjoonelise ala asendamine ristkülikutega; arvutused ise on täpsed.
  
  $M_{8} = 0.25 i = 1 \sum 8 (x_{i}^{*})^{2} = 0.25 \times 10.625 = 2.65625$
3. Integraali täpne väärtus on 8/3, seega on lähend 0,0104167 võrra liiga väike. Uurime, millest just selline viga tuleb.
  
  $I = \int_{0}^{2} x^{2} d x = \frac{8}{3} = 2.66667 ⟹ M_{8} - I = - 0.0104167$
4. Keskpunktivalemi viga on −(b − a)h²f″(ξ)/24. Funktsiooni x² teine tuletis on kõikjal 2, nii et ξ asukoht tulemust ei mõjuta ja veavalem annab täpse väärtuse. Saame −1/96, mis langeb tööriista näidatava märgiga veaga kokku viimase kuvatava numbrini.
  
  $E_{M} = - \frac{( b - a ) h ^{2}}{24} f^{''} (ξ) = - \frac{2 ( 0.25 ) ^{2} ( 2 )}{24} = - \frac{1}{96} = - 0.0104167$
5. Trapetsivalem eksib vastassuunas ja täpselt kaks korda rohkem. Keskpunkti järgi joonestatud ristkülik jätab osa kõvera alusest alast välja ja lisab osa mujalt juurde; nõgusa kõvera kõõl jääb aga tervenisti kõverast kõrgemale. Võttes keskpunktisumma ja trapetsisumma kaaludega kaks ühele, taanduvad vead välja.
  
  $T_{8} = 2.6875, T_{8} - I = + 0.0208333 = - 2 (M_{8} - I) ⟹ \frac{2 M _{8} + T _{8}}{3} = 2.66667$
Vastus

Keskpunktisumma on 2,65625, integraali täpne väärtus aga 2,666667. Kuna x² kasvab lõigul [0; 2], jääb integraal vasakpoolse summa 2,1875 ja parempoolse summa 3,1875 vahele. Kõige tähelepanuväärsem on viimane arvutusrida: (2M + T)/3 = 8/3 täpselt. Piisab kaheksast ribast ja funktsiooni lisaväärtusi pole vaja arvutada. See kaalutud keskmine on Simpsoni valem, mille Thomas Simpson avaldas 1743. aastal. Ühe riba korral kasutas seda juba Kepler 1615. aastal veinivaatide mahu hindamiseks. Kahe lihtsa valemi vead on kindlas suhtes, mis võimaldab need sobivate kaaludega kõrvaldada. Vali funktsiooniks x³: keskpunktisumma on siis 3,96875 ja trapetsisumma 4,0625 ning nende kaalutud keskmine annab täpselt 4. Simpsoni valem ongi täpne iga kolmanda astme polünoomi korral. Funktsiooni x⁴ puhul tekib lõpuks viga: täpsest väärtusest 6,4 erineb tulemus 0,000065 võrra.

$M_{8} = 2.65625, E = - \frac{1}{96} \frac{2 M + T}{3} = \frac{8}{3} exactly$
Kahaneva funktsiooni vasak- ja parempoolne summa 4 sammu
Leia integraali ∫₁² (1/x) dx ligikaudne väärtus nelja ribaga, kasutades vasak- ja parempoolset summat. Kumb on liiga suur ja kuidas seda täpset vastust teadmata otsustada?

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Lõigu [1; 2] nelja riba laius on igaühel 0,25. Vasakpoolse summa kõrgused võetakse punktides 1; 1,25; 1,5 ja 1,75, parempoolse summa omad punktides 1,25; 1,5; 1,75 ja 2.
  
  $Δ x = \frac{2 - 1}{4} = 0.25$
2. Liida vasakutest otspunktidest võetud kõrgused ja korruta summa riba laiusega:
  
  $L_{4} = 0.25 (1 + \frac{4}{5} + \frac{2}{3} + \frac{4}{7}) = 0.25 \times \frac{319}{105} = 0.759524$
3. Parempoolses summas jääb ära f(1) = 1 ja lisandub f(2) = 0,5. Seega on see 0,25 × 0,5 võrra väiksem:
  
  $R_{4} = L_{4} - 0.25 (f (1) - f (2)) = 0.759524 - 0.125 = 0.634524$
4. Funktsioon 1/x kahaneb kogu lõigul, mistõttu on iga riba vasakus servas kõrgus suurim ja paremas servas vähim. Vasakpoolne summa on liiga suur, parempoolne liiga väike:
  
  $R_{4} = 0.634524 < \int_{1}^{2} \frac{d x}{x} = ln 2 = 0.693147 < 0.759524 = L_{4}$
Vastus

L₄ = 0,759524 on liiga suur ja R₄ = 0,634524 liiga väike; integraal ln 2 = 0,693147 jääb nende vahele. Kui funktsioon kogu lõigul kahaneb või kogu lõigul kasvab, jääb integraal alati vasak- ja parempoolse summa vahele. Nende summade vahe on Δx·|f(b) − f(a)|, siin 0,125.
Trapetsivalem ja selle vea suund 4 sammu
Leia integraali ∫₀⁴ √x dx ligikaudne väärtus trapetsivalemiga, kasutades nelja riba. Kas tulemus on liiga suur või liiga väike?

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Δx = 1. Trapetsivalem kasutab kõrgusi kõigis viies jaotuspunktis, kusjuures kolme sisemise punkti kõrgused lähevad arvesse kahekordselt:
  
  $T_{4} = \frac{Δ x}{2} [f (0) + 2 f (1) + 2 f (2) + 2 f (3) + f (4)]$
2. Asenda kõrgused arvväärtustega:
  
  $= \frac{1}{2} [0 + 2 + 22 + 23 + 2] = 2 + 2 + 3 = 5.146264$
3. Sama tulemuse annab vasak- ja parempoolse summa keskmine:
  
  $T_{4} = \frac{1}{2} (L_{4} + R_{4}) = \frac{1}{2} (4.146264 + 6.146264) = 5.146264$
4. Funktsiooni √x graafik on kumer, sest f″(x) = −¼x^−3/2 < 0. Iga kõõl jääb kõverast allapoole, nii et iga trapetsi kohal jääb väike osa alast arvestamata:
  
  $\int_{0}^{4} x d x = [\frac{2}{3} x^{3/2}]_{0}^{4} = \frac{16}{3} = 5.333333 > T_{4}$
Vastus

T₄ = 5,146264 on 0,187069 võrra liiga väike, sest √x graafik on kumer. Nõgusa kõvera kõõlud jäävad kõverast kõrgemale ja trapetsivalem annab liiga suure tulemuse. Keskpunktivalem eksib mõlemal juhul vastassuunas, nii et integraal jääb nende kahe summa vahele.
Integraal parempoolsete summade piirväärtusena 4 sammu
Koosta integraali ∫₀³ x² dx parempoolne summa n riba korral ja leia selle piirväärtusena integraal.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Δx = 3/n ja ribade paremad otspunktid on x_i = 3i/n, seega annab riba i summasse liikme (3i/n)²·(3/n):
  
  $R_{n} = i = 1 \sum n (\frac{3 i}{n})^{2} \frac{3}{n} = \frac{27}{n ^{3}} i = 1 \sum n i^{2}$
2. Esimese n naturaalarvu ruutude summa on n(n + 1)(2n + 1)/6:
  
  $R_{n} = \frac{27}{n ^{3}} \cdot \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} = \frac{9 ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{2 n ^{2}}$
3. Kontrolli valemit ühe väärtusega. Kui n = 6, annab see 11,375, mis ongi kuue parempoolse ristküliku pindalade summa:
  
  $R_{6} = \frac{9 \cdot 7 \cdot 13}{2 \cdot 36} = \frac{819}{72} = 11.375$
4. Lase nüüd n-il kasvada. Jaga lugeja ja nimetaja n²-ga:
  
  $R_{n} = \frac{9}{2} (1 + \frac{1}{n}) (2 + \frac{1}{n}) n \to \infty \frac{9}{2} \cdot 2 = 9$
Vastus

∫₀³ x² dx = 9. Kuue riba korral on summa 2,375 võrra liiga suur. Üldjuhul on see ületus valemi järgi 27/(2n) + 9/(2n²), seega väheneb viga nagu 1/n. Selline on otspunktide järgi võetud summa koondumiskiirus.
Summade piirväärtusest integraalini 3 sammu
Leia summa Σ (2/n)·√(1 + 2i/n), kus i = 1 kuni n, piirväärtus protsessis n → ∞.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Võrdle avaldist kujuga Σ f(x_i)Δx. Tegur 2/n on Δx, seega b − a = 2. Punktid x_i = 1 + 2i/n algavad väärtusest a = 1, kui i = 0, ja jõuavad väärtuseni b = 3, kui i = n:
  
  $Δ x = \frac{2}{n}, x_{i} = 1 + i Δ x, f (x) = x$
2. Niisiis on tegu funktsiooni √x parempoolse summaga lõigul [1; 3] ja selle piirväärtus on integraal:
  
  $n \to \infty lim i = 1 \sum n \frac{2}{n} 1 + \frac{2 i}{n} = \int_{1}^{3} x d x$
3. Integreeri:
  
  $[\frac{2}{3} x^{3/2}]_{1}^{3} = \frac{2}{3} (33 - 1) = 2.797435$
Vastus

Piirväärtus on ⅔(3√3 − 1) = 2,797435. Sama summat võib tõlgendada ka punktidega x_i = 2i/n, võttes funktsiooniks √(1 + x) lõigul [0; 2]. Selle integraali väärtus on samuti 2,797435, mis annab tõlgendusele kiire kontrolli.
Teljest allpool läheb pindala arvesse miinusmärgiga 3 sammu
Leia ∫₋₁² x dx, võrdle seda sirge y = x ja x-telje vahele jääva pindalaga ning kontrolli tulemust kuue riba vasakpoolse summa abil.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Sirge jääb lõigul [−1; 0] teljest allapoole ja lõigul [0; 2] teljest ülespoole. Nende kahe kolmnurga pindalad on ½ ja 2:
  
  $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$
2. Integraalis läheb teljest allpool oleva kolmnurga pindala arvesse miinusmärgiga, geomeetrilise pindala arvutamisel plussmärgiga:
  
  $\int_{- 1}^{2} x d x = - \frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}, A = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$
3. Kuue vasakpoolse ristküliku laius on 0,5 ja kõrgused on −1; −0,5; 0; 0,5; 1 ja 1,5. Esimesed kaks kõrgust on negatiivsed ning vastavad liikmed lahutatakse summast:
  
  $L_{6} = 0.5 (- 1 - 0.5 + 0 + 0.5 + 1 + 1.5) = 0.5 \times 1.5 = 0.75$
Vastus

∫₋₁² x dx = 3/2, sirge ja telje vahele jääv pindala on aga 5/2. Riemanni summa liidab liikmed f(x_i*)Δx koos märgiga, seega koondub see väärtuseks 3/2. Pindala leidmiseks tuleb integreerida |x|. Vasakpoolne summa 0,75 on liiga väike, sest sirge tõuseb. Keskpunktisumma on iga n korral täpselt 1,5: sirge alla joonestatud keskpunktiristkülik on vastava trapetsiga võrdse pindalaga.
Integraalsumma mõõtmistabeli põhjal 3 sammu
Auto kiirust mõõdetakse hetkedel t = 0, 2, 5, 7 ja 10 s ning saadakse vastavalt 0, 8, 14, 17 ja 20 m/s. Leia nende 10 sekundi jooksul läbitud teepikkuse ligikaudne väärtus vasakpoolse summa, parempoolse summa ja trapetsivalemi abil.
Näita lahendust
1. Ribade laiused on erinevad: 2, 3, 2 ja 3 s. Iga riba pindala on selle enda laiuse ja kõrguse korrutis, nii et ühist Δx-i ei saa summa ette tuua. Vasakpoolne summa kasutab iga ajavahemiku alguses mõõdetud kiirust:
  
  $L = 2 (0) + 3 (8) + 2 (14) + 3 (17) = 0 + 24 + 28 + 51 = 103 m$
2. Parempoolne summa kasutab iga ajavahemiku lõpus mõõdetud kiirust:
  
  $R = 2 (8) + 3 (14) + 2 (17) + 3 (20) = 16 + 42 + 34 + 60 = 152 m$
3. Trapetsivalem võtab iga riba otspunktide kõrguste keskmise. Ka erineva laiusega ribade korral võrdub tulemus vasak- ja parempoolse summa keskmisega:
  
  $T = \frac{1}{2} (L + R) = \frac{1}{2} (103 + 152) = 127.5 m$
Vastus

L = 103 m, R = 152 m, T = 127,5 m. Tabelis kiirus kordagi ei vähene. Kui see kasvas ka mõõtmiste vahel monotoonselt, jääb teepikkus 103 m ja 152 m vahele. Tabel seda siiski ei taga: auto võis mõõtmiste vahel pidurdada ning nende viie kiirusnäidu põhjal arvutatud summa seda ei kajasta.

Õpitee

Miks kõik tundub lähedalt sirge

Allikad (4)

The definition itself, in the paper it first appeared in: B. Riemann, "Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe." Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 13, 87–132, 1867 — the section that asks what an integral is to mean for a function with infinitely many discontinuities, and answers with the sum this tool draws.
Upper and lower sums, and the criterion for the two to meet: G. Darboux, "Mémoire sur les fonctions discontinues." Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure 4, 57–112, 1875.
How the definition was arrived at, and what it could not handle: D. M. Bressoud, A Radical Approach to Lebesgue’s Theory of Integration. Cambridge University Press, 2008.
Why medicine runs the trapezoid one way going up and another coming down: K. C. Yeh and K. C. Kwan, "A comparison of numerical integrating algorithms by trapezoidal, Lagrange, and spline approximation." Journal of Pharmacokinetics and Biopharmaceutics 6(1), 79-98, 1978.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.