Riemanni summa uurija

pindala lähendamine osalõikude abil koos meetodite võrdlusega

Näidisarvutus — Riemanni summa uurija

Hinnang	2.65625
Täpne integraal	2.66667
Absoluutne viga	0.0104167
Märgiga viga	-0.0104167
Alumine summa	2.1875
Ülemine summa	3.1875
Ülemise ja alumise vahe	1
Osalõigu laius	0.25

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

miks farmakoloogia poole pealt reegleid vahetab 🖖

Ravimiga kokkupuude on Riemanni summa. Ravimiamet tahab teada patsiendi kontsentratsiooni-aja kõvera alust pindala, kuid kasutada on vaid tosin vereproovi. Seepärast rakendatakse järjestikuste proovide vahel tavaliselt trapetsmeetodit. Sellele kandub üle siin lehel nähtav nihe. Eliminatsioonikõver on kumer, kõõl paikneb sellest kõrgemal ning lineaarne trapetsmeetod omistab patsiendile tegelikust suurema ravimikoguse. Sellest ka tavapraktika: imendumisfaasis kasutatakse lineaarset, langusfaasis logaritmilist lähendust.

pindala jagamine mõõdetavateks kujunditeks 🖖

Kõvera alust täpset pindala on raske leida, ristkülikute pindalasid aga lihtne kokku liita. Siinsed meetodid erinevad üksnes selle poolest, kuidas riba kõrgust hinnatakse: vasaku või parema otspunkti, keskpunkti või kaldus ülaserva ehk trapetsi järgi. Ükski neist pole täpne. Tulemusele lähenevad nad siiski eri kiirusega — ribade arvu kahekordistamisel väheneb vasak- ja parempoolse summa viga poole võrra, keskpunkti- ja trapetsmeetodi viga aga neli korda.

Simpsoni valem on peidetud segu 🖖

Keskpunktimeetod on tavaliselt trapetsmeetodist täpsem ning nende vead on vastassuunalised — nõgusa kõvera korral hindab keskpunktimeetod pindala üle, trapetsmeetod alla. Kombinatsioonis (2M + T)/3 taandub juhtiv vealiige välja ja tulemuseks on Simpsoni valem. Tuntuim integreerimisvalem on niisiis kahe juba ekraanil oleva summa kaalutud keskmine.

RIEMANNI SUMMA TEOORIA — DEFINITSIOON INTEGRAALI TAGA

Kust kohast ribas väärtust võtta?

Riemanni summa jagab lõigu [a, b] n ribaks ja annab igale ribale ühe kõrguse, mis loetakse ühest mõõtepunktist selle sees. See, millise punkti valid — vasak serv, parem serv või kese —, muudab vastust seni, kuni n on väike. Tähelepanuväärne on see, et n kasvades lähenevad kõik valikud samale arvule, ja just see ühine piirväärtus ongi määratud integraal.

Vasak otspunkt — mõõdetakse riba algusest Σ f(x_i) Δx

Parem otspunkt — mõõdetakse riba lõpust Σ f(x_i+1) Δx

Keskpunkt — mõõdetakse riba keskelt Σ f(x_i + Δx/2) Δx

Trapets — mõlemad otspunktid, keskmistatud Σ ½[f(x_i) + f(x_i+1)] Δx

Vasak otspunkt — mõõdetakse riba algusest

Mõõtepunkt: Kõrgus loetakse punktist xᵢ, riba i vasakust servast. Väärtust kohal b ei kasutata kunagi.

Summa: Σ f(x_i) Δx

Väikese n korral: x² lõigul [0, 2] ja n = 4 annab 1,75, tegelik pindala on 2,667 — kaugelt liiga vähe.

Ava see juht: jäme vasak

Vasak otspunkt — mõõdetakse riba algusest. Iga ristkülik võtab kõrguse oma vasakust servast, nii jääb kiil kõverast välja. Kõrgus loetakse punktist xᵢ, riba i vasakust servast. Väärtust kohal b ei kasutata kunagi. — Iga ristkülik võtab kõrguse oma vasakust servast, nii jääb kiil kõverast välja.

Parem otspunkt — mõõdetakse riba lõpust

Mõõtepunkt: Kõrgus loetakse punktist xᵢ₊₁, riba i paremast servast. Väärtust kohal a ei kasutata kunagi.

Summa: Σ f(x_i+1) Δx

Väikese n korral: Sama kõver ja n: 3,75 vastu 2,667 — nüüd ületab umbes sama palju, kui vasak summa kaotas.

Ava see juht: parempoolne nihe

Parem otspunkt — mõõdetakse riba lõpust. Samad ribad, mõõdetud paremast servast — nüüd ületab iga ristkülik kõverat. Kõrgus loetakse punktist xᵢ₊₁, riba i paremast servast. Väärtust kohal a ei kasutata kunagi. — Samad ribad, mõõdetud paremast servast — nüüd ületab iga ristkülik kõverat.

Keskpunkt — mõõdetakse riba keskelt

Mõõtepunkt: Kõrgus loetakse riba keskelt, kumbagi serva ei eelistata.

Summa: Σ f(x_i + Δx/2) Δx

Väikese n korral: Sama kõver ja n: 2,625 vastu 2,667 — suurusjärgu võrra lähemal kui vasak ja parem.

Ava see juht: täpsusta n

Keskpunkt — mõõdetakse riba keskelt. Keskelt mõõtmine laseb iga riba kahel veal teineteist tasandada. Kõrgus loetakse riba keskelt, kumbagi serva ei eelistata. — Keskelt mõõtmine laseb iga riba kahel veal teineteist tasandada.

Trapets — mõlemad otspunktid, keskmistatud

Mõõtepunkt: Kasutatakse riba mõlemat serva ja ülaserv kaldub nende vahel.

Summa: Σ ½[f(x_i) + f(x_i+1)] Δx

Väikese n korral: Sama kõver ja n: 2,75 vastu 2,667 — parem kui kumbki servasumma, kuid keskpunktist tagapool.

Ava see juht: sujuv trapets

Trapets — mõlemad otspunktid, keskmistatud. Kaldus ülaserv ühendab mõlemat serva — vasaku ja parema ristküliku keskmine. Kasutatakse riba mõlemat serva ja ülaserv kaldub nende vahel. — Kaldus ülaserv ühendab mõlemat serva — vasaku ja parema ristküliku keskmine.

Ülesanne täielikult lahendatud

∫₀² x² d x hindamine kaheksa keskpunkti ristkülikuga 5 sammu
Hinda integraali ∫₀² x² dx väärtust kaheksa keskpunktiristkülikuga. Seejärel tee midagi paremat kui hindamine: kombineeri kaks valet vastust, et saada täpne vastus.
1. Kaheksa riba ribalaiuse 2 peale annab Δx = 0,25 ning keskpunktireegel võtab iga ristküliku kõrguse selle riba keskpunktis — 0,125, 0,375 ja nii edasi. Väärtuste võtmine keskpunktis ei ole esteetiline eelistus; samm 4 näitab, mida see annab.
  
  $Δ x = \frac{2 - 0}{8} = 0.25, x_{i}^{*} = 0.125, 0.375, \dots, 1.875$
2. Liida kokku kaheksa ruutu tõstetud keskpunkti ja korruta ühise ribalaiusega. Senini pole miski ligikaudne, välja arvatud otsus üldse ristkülikuid kasutada.
  
  $M_{8} = 0.25 i = 1 \sum 8 (x_{i}^{*})^{2} = 0.25 \times 10.625 = 2.65625$
3. Täpne integraal on 8/3, seega on hinnang 0,0104167 võrra liiga väike. Liiga väike, ja seda koguse võrra, mis väärib selgitamist, mitte õlgade kehitamist.
  
  $I = \int_{0}^{2} x^{2} d x = \frac{8}{3} = 2.66667 ⟹ M_{8} - I = - 0.0104167$
4. Keskpunkti viga on −(b − a)h²f″(ξ)/24. Funktsiooni x² korral on teine tuletis igal pool 2, seega pole tähtis, kus ξ asub, ning valem lakkab olemast tõke ja muutub võrduseks. See annab tulemuseks −1/96, mis ongi tööriista märgiga viga kuni viimase kuvatava numbrini.
  
  $E_{M} = - \frac{( b - a ) h ^{2}}{24} f^{''} (ξ) = - \frac{2 ( 0.25 ) ^{2} ( 2 )}{24} = - \frac{1}{96} = - 0.0104167$
5. Trapetsireegel eksib teises suunas ja täpselt kaks korda rohkem: keskpunktiristkülik lõikab ära sama palju kui juurde lisab, samas kui trapetsi kõõl asub kumerast kõverast täielikult ülalpool. Kaalu neid suhtes kaks ühele ning vead taandavad teineteist.
  
  $T_{8} = 2.6875, T_{8} - I = + 0.0208333 = - 2 (M_{8} - I) ⟹ \frac{2 M _{8} + T _{8}}{3} = 2.66667$
Vastus

Keskpunktireegel annab tulemuseks 2,65625 tegeliku väärtuse 2,66667 vastu, mida piiravad alam- ja ülemsumma, mille tööriist kuvab väärtustel 2,1875 ja 3,1875. Kuid pea meeles viimast rida: (2M + T)/3 = 8/3, täpselt, kaheksast ribast ilma täiendavate arvutusteta. Sellel kombineerimisel on nimi — see on Simpsoni reegel ja siit see pärinebki. See ei ole nutikam viis ristkülikute joonistamiseks; see on tähelepanek, et kaks lihtsat meetodit eksivad kindlas suhtes, mistõttu saab nende vead konstruktsiooni tõttu taandada. Vaheta funktsiooniks x³ ning tööriist kuvab keskpunkti väärtuseks 3,96875 ja trapetsi väärtuseks 4,0625 — kombineeri need ja saad täpselt 4, sest Simpsoni reegel on täpne iga kuupfunktsiooni korral. Vaheta funktsiooniks x⁴ ja see eksib lõpuks 6 osa võrra 100 000-st.

$M_{8} = 2.65625, E = - \frac{1}{96} \frac{2 M + T}{3} = \frac{8}{3} exactly$

Õpitee

Miks kõik tundub lähedalt sirge

Viib edasi Taylori rida

Allikad (4)

The definition itself, in the paper it first appeared in: B. Riemann, "Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe." Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 13, 87–132, 1867 — the section that asks what an integral is to mean for a function with infinitely many discontinuities, and answers with the sum this tool draws.
Upper and lower sums, and the criterion for the two to meet: G. Darboux, "Mémoire sur les fonctions discontinues." Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure 4, 57–112, 1875.
How the definition was arrived at, and what it could not handle: D. M. Bressoud, A Radical Approach to Lebesgue’s Theory of Integration. Cambridge University Press, 2008.
Why medicine runs the trapezoid one way going up and another coming down: K. C. Yeh and K. C. Kwan, "A comparison of numerical integrating algorithms by trapezoidal, Lagrange, and spline approximation." Journal of Pharmacokinetics and Biopharmaceutics 6(1), 79-98, 1978.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-07-29

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Matemaatika õppetunnid →

Näiteülesanded

jäme vasak - Neli vasakpoolset ristkülikut annavad x² korral 1,75, täpne väärtus on 2,666667. Samade nelja riba kombinatsioon (2M + T)/3 annab täpse tulemuse.
täpsusta n - Neljakümne keskpunktiriba viga on 0,000417, kaheksa riba korral 0,010417. Viis korda rohkem ribasid annab kakskümmend viis korda täpsema tulemuse.
sujuv trapets - sin(x) on lõigu [0, π] mõlemas otspunktis null, mistõttu vasak- ja parempoolne summa ning trapetsmeetod annavad kõik sama tulemuse 1,983524. Erineb vaid keskpunktimeetod tulemusega 2,008248.
kumeruse nihe - e^x lõigul [0, 1]: trapetsmeetod annab 1,720519, keskpunktimeetod 1,717164 ja täpne väärtus on 1,718282. Keskpunktimeetodi viga on poole väiksem ja vastassuunaline.
pööratud intervall - Funktsiooni sin integraal π-st tagasi 0-ni on -2,005723. Rajade järjekorra vahetamine muudab ainult märki, sest iga riba laius on nüüd negatiivne.
parempoolne nihe - Kuus parempoolset ristkülikut annavad ülehinnatud tulemuse 3,370370, kuus vasakpoolset aga 2,037037. Kasvava funktsiooni korral jääb õige vastus alati nende vahele.