Tuletise ja puutuja uurija

Vali kõver ja sellel punkt. Oranž kõõl ühendab valitud punkti teise punktiga, mis asub x-teljel h võrra edasi. Kui vähendad h-d, läheneb kõõlu tõus puutuja tõusule ehk tuletisele.

Tuletis	$f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}$
Puutuja kohal a	$y = f (a) + f^{'} (a) (x - a)$
Selle lehe tuletised	$(x^{n})^{'} = n x^{n - 1} (e^{x})^{'} = e^{x}, (ln x)^{'} = \frac{1}{x} (sin x)^{'} = cos x, (cos x)^{'} = - sin x$

Näidisarvutus — Tuletise ja puutuja uurija

Funktsiooni väärtus kohal x	1
Funktsiooni väärtus kohal x + h	1,21
Kõõlu tõus	2,1
Tuletis ehk puutuja tõus	2
Kõõlu tõusu ja tuletise vahe	0,1
Puutuja	2x − 1
Normaal	−0,5x + 1,5

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Tuletise ja puutuja uurija

Funktsiooni f tuletis kohal x väljendab kõvera tõusu selles punktis. See on kõõlu tõusu piirväärtus: f′(x) = lim (f(x + h) − f(x))/h, kui h → 0, eeldusel et see piirväärtus eksisteerib.

Mida iga sümbol tähendab

h: samm x-st kõõlu teise otspunkti x-koordinaadini
f′(x): tuletis ehk puutuja tõus kohal x

Kust valem tuleb

Kõõl. Kõvera punktid kohal x ja x + h määravad sirge, millel asuv kõõl on joonisel oranž. Selle tõus on y-koordinaadi muudu ja x-koordinaadi muudu jagatis.
$m_{chord} = \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}$
Vähenda h-d. Funktsiooni f(x) = x² korral on kõõlu tõus täpselt 2x + h. Kui h läheneb 0-le, läheneb tõus väärtusele 2x. Asendada h-d 0-ga ei saa, sest siis tekiks jagatis 0/0. Piirväärtus näitab, millele jagatise väärtus läheneb, kui samm muutub üha väiksemaks.
$\frac{( x + h ) ^{2} - x ^{2}}{h} = \frac{2 x h + h ^{2}}{h} = 2 x + h h \to 0 2 x$
Puutuja ja normaal. Puutuja kohal a läbib punkti (a; f(a)) ja selle tõus on f′(a). Normaal on samas punktis puutujaga risti. Selle tõus on seega puutuja tõusu vastandarvu pöördväärtus −1/f′(a). Kui f′(a) = 0, on normaal vertikaalne sirge x = a.
$y = f^{'} (a) (x - a) + f (a) y = - \frac{1}{f ^{'} ( a )} (x - a) + f (a)$
Millal tuletist ei ole? Kui vasakult ja paremalt lähenevate kõõlude tõusudel on erinevad piirväärtused, siis tuletist ei ole. Funktsiooni |x| graafiku nurgapunktis kohal 0 on need piirväärtused −1 ja 1.
$h \to 0^{-} lim \frac{∣ h ∣}{h} = - 1 \neq = 1 = h \to 0^{+} lim \frac{∣ h ∣}{h}$

Lauge koht ei ole alati tipp ega nõgu 🖖

Kui tuletis on null, on puutuja horisontaalne. Maksimumi ega miinimumi see veel ei taga. Vajuta nuppu x³ käänupunkt: tõus on 0, kuid kõver tõuseb mõlemal pool seda punkti, muutudes vaid hetkeks rõhtsaks. See on käänupunkt. Seepärast on tuletise nullkohtade leidmine alles pool ekstreemumülesande lahendusest. Veel tuleb uurida, kuidas tõus kummalgi pool punkti käitub. Tuletise väärtus ühes punktis ei ütle, kas oled jõudnud mäetippu või trepimademele.

Kõver, millel pole kusagil puutujat 🖖

Kõigil kuuel siin pakutud kõveral on igas punktis puutuja. Pideval funktsioonil ei pruugi aga puutujat leiduda üheski punktis. Karl Weierstrass konstrueeris 1872. aastal funktsiooni, mis on kõikjal pidev, kuid millel pole kusagil tuletist: selle graafik on igas mõõtkavas sakiline ja kõõlu tõus ei lähene ühelegi kindlale väärtusele. See üllatas matemaatikuid. Seni oli eeldatud, nagu Ampère oli 1806. aastal püüdnud tõestada, et pideval kõveral on puutuja olemas kõikjal peale üksikute punktide. Hiljem leiti samasugust korrapäratust ka loodusest. Browni liikumises osaleva osakese trajektooril pole kusagil puutujat ning rannajoon käitub paljudes mõõtkavades üsna samamoodi.

TULETISED — MILLINE REEGEL KEHTIB JA MIDA TÕUS TEGELIKULT ÜTLEB

Millise tuletise juhtumiga on tegu?

Tuletis on üksainus mõte — puutuja tõus, piirväärtus (f(x+h) − f(x))/h. Kuidas seda arvutada, sõltub aga sellest, millise funktsiooni sa said, ja kuidas vastust lugeda, sellest, kas see tuli positiivne, negatiivne või null. Kolm standardreeglit katavad enamiku funktsioone; neljas juhtum on see, kus nulltõus ei tähenda seda, mida arvatakse.

Astmereegel — polünoomi liige d/dx xⁿ = n·xⁿ⁻¹

Trigonomeetriline — siinus ja koosinus vahetavad kohad d/dx sin x = cos x

Eksponentsiaalne — funktsioon on iseenda tuletis d/dx e^x = e^x

Nulltõus, mis pole maksimum ega miinimum f′ = 0, f″ = 0

Astmereegel — polünoomi liige

Mida sa tead: Funktsioon on xⁿ või selliste liikmete summa. Too astendaja ette ja vähenda seda ühe võrra.

Reegel: d/dx xⁿ = n·xⁿ⁻¹

Näidisarvutus: f(x) = x², x = 1 → f′(x) = 2x → f′(1) = 2, seega puutuja on y = 2x − 1

Ava see juhtum: x² punktis x=1

Astmereegel — polünoomi liige. Puutuja kohal x = 1 on tõusuga 2 ja puudutab parabooli ühes punktis. Funktsioon on xⁿ või selliste liikmete summa. Too astendaja ette ja vähenda seda ühe võrra. — Puutuja kohal x = 1 on tõusuga 2 ja puudutab parabooli ühes punktis.

Trigonomeetriline — siinus ja koosinus vahetavad kohad

Mida sa tead: Funktsioon on sin x või cos x. Diferentseerimine keerutab sind mööda tsüklit: sin → cos → −sin → −cos → sin.

Reegel: d/dx sin x = cos x

Näidisarvutus: f(x) = sin x, x = 0 → f′(x) = cos x → f′(0) = 1, seega puutuja on y = x

Ava see juhtum: sin punktis x=0

Trigonomeetriline — siinus ja koosinus vahetavad kohad. Nullpunktis on sin x tõus 1, nii et puutuja on sirge y = x. Funktsioon on sin x või cos x. Diferentseerimine keerutab sind mööda tsüklit: sin → cos → −sin → −cos → sin. — Nullpunktis on sin x tõus 1, nii et puutuja on sirge y = x.

Eksponentsiaalne — funktsioon on iseenda tuletis

Mida sa tead: Funktsioon on eˣ. Diferentseerimine ei muuda mitte midagi: f′(x) = f(x) igas punktis.

Reegel: d/dx e^x = e^x

Näidisarvutus: f(x) = eˣ, x = 0 → f′(x) = eˣ → f′(0) = 1, seega puutuja on y = x + 1

Ava see juhtum: eˣ punktis x=0

Eksponentsiaalne — funktsioon on iseenda tuletis. Kõrgus ja tõus on kõvera igas punktis üks ja sama arv. Funktsioon on eˣ. Diferentseerimine ei muuda mitte midagi: f′(x) = f(x) igas punktis. — Kõrgus ja tõus on kõvera igas punktis üks ja sama arv.

Nulltõus, mis pole maksimum ega miinimum

Mida sa tead: Punktis on f′ = 0, seega on see statsionaarne — kuid f′ märk on mõlemal pool sama, nii et pöördepunkti ei ole.

Reegel: f′ = 0, f″ = 0

Näidisarvutus: f(x) = x³, x = 0 → f′(x) = 3x² → f′(0) = 0, ometi on f′ > 0 mõlemal pool: kõver muutub lamedaks ja tõuseb edasi

Ava see juhtum: x³ käärdepunkt

Nulltõus, mis pole maksimum ega miinimum. Puutuja on nullpunktis horisontaalne, aga kõver tõuseb mõlemal pool edasi. Punktis on f′ = 0, seega on see statsionaarne — kuid f′ märk on mõlemal pool sama, nii et pöördepunkti ei ole. — Puutuja on nullpunktis horisontaalne, aga kõver tõuseb mõlemal pool edasi.

Allikad (1)

Insight block 3 — continuous everywhere, differentiable nowhere: K. Weierstrass, "Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzteren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen." Read to the Berlin Academy, 18 July 1872; printed in Mathematische Werke, vol. 2, 71–74.

Ülesanded täielikult lahendatud

Funktsiooni f(x) = x² tõus ja puutuja kohal x = 1 5 sammu
f(x) = x², kohal x = 1. Leia tõus selles punktis tuletise definitsiooni abil, kirjuta puutuja võrrand ning arvuta täpselt, kui kaugel on puutuja kõverast kümnendiku ühiku võrra edasi liikudes.
1. Üksikul punktil tõusu ei ole. Tõus väljendab muutust ja selle leidmiseks on vaja kaht punkti. Vali teine punkt x-teljel h võrra kaugemale ning jaga funktsiooni väärtuse muut selle sammuga. Kogu diferentsiaalarvutuse aluseks on see jagatis ja selle piirväärtus.
  
  $\frac{f ( 1 + h ) - f ( 1 )}{h} = \frac{( 1 + h ) ^{2} - 1 ^{2}}{h}$
2. Ava ruut. Konstantliikmed taanduvad ning igasse allesjäänud liikmesse jääb tegur h. Nii saab murru h-ga taandada. Pane tähele, millisel tingimusel see lubatud on: h võib olla mis tahes arv peale 0, aga just 0-le me lähenemegi.
  
  $= \frac{1 + 2 h + h ^{2} - 1}{h} = \frac{h ( 2 + h )}{h} = 2 + h (h \neq = 0)$
3. Seepärast tuleb leida piirväärtus. Avaldis 2 + h on h suhtes lineaarne, nii et selle piirväärtuse saab lugeda välja ilma igasuguse lähendamiseta. Tõus kohal x = 1 on 2, kuigi tuletise valemit 2x pole me kasutanud.
  
  $h \to 0 lim (2 + h) = 2 ⟹ f^{'} (1) = 2$
4. Puutuja leidmiseks on vaja punkti ja tõusu. Mõlemad on nüüd teada: kõver läbib punkti (1; 1) ja selle tõus seal on 2.
  
  $y - 1 = 2 (x - 1) ⟹ y = 2 x - 1$
5. Lahuta kõvera avaldisest sirge avaldis. Saadud vahe tegurdub täpselt: iga x korral on parabool puutujast (x − 1)² võrra kõrgemal. Kui liikuda puutepunktist x-teljel h võrra edasi, on vahe h².
  
  $x^{2} - (2 x - 1) = (x - 1)^{2} ⟹ h = 0.1 : 0.01, h = 0.01 : 0.0001$
Vastus

f′(1) = 2, puutuja on y = 2x − 1 ning kõvera ja puutuja vahe on täpselt h². Kui vähendada sammu 10 korda, väheneb puutuja abil lähendamise viga 100 korda, väärtuselt 0,01 väärtuseni 0,0001. Just see ruutsõltuvus õigustabki kõvera lähendamist sirgega punkti lähedal. Vahe märk ütleb aga veel rohkem kui selle suurus. (x − 1)² ei ole kunagi negatiivne, seega puudutab see parabool oma puutujaid ega lõika neist ühtegi. Võrdle seda funktsiooniga f(x) = x³ kohal x = 0. Seal on puutujaks x-telg ja vaheks x³, mis on vasakul negatiivne ja paremal positiivne. Puutuja läbib kõverat. Mõlemal funktsioonil on ühes punktis horisontaalne puutuja, kuid ainult ühel on seal ekstreemum. Miinimumi tuvastamiseks ei piisa tuletise nullväärtusest; määrav on vahe märk.

$f (1 + h) - [2 (1 + h) - 1] = h^{2} \forall h$
Funktsiooni 1/x tuletis definitsiooni abil 3 sammu
Leia definitsiooni abil funktsiooni f(x) = 1/x tuletis ning puutuja võrrand kohal x = 2.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Kirjuta välja kõõlu tõus ning vii lugejas olevad murrud ühisele nimetajale:
  
  $\frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} = \frac{1}{h} (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x}) = \frac{1}{h} \cdot \frac{x - ( x + h )}{x ( x + h )}$
2. Taanda h. Allesjäänud avaldisse saab asendada h = 0:
  
  $= \frac{- 1}{x ( x + h )} h \to 0 - \frac{1}{x ^{2}}$
3. Kohal x = 2 on funktsiooni väärtus ½ ja puutuja tõus −¼:
  
  $f (2) = \frac{1}{2}, f^{'} (2) = - \frac{1}{4}, y = - \frac{1}{4} (x - 2) + \frac{1}{2} = - \frac{1}{4} x + 1$
Vastus

f′(x) = −1/x², kui x ≠ 0, ning puutuja kohal x = 2 on y = −x/4 + 1.
Funktsiooni √x tuletis definitsiooni abil, puutuja ja normaal 3 sammu
Leia definitsiooni abil funktsiooni f(x) = √x tuletis ning seejärel puutuja ja normaali võrrand kohal x = 4.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Kõõlu tõusu avaldise lugejas on ruutjuurte vahe. Korruta lugeja ja nimetaja nende ruutjuurte summaga, et lugejast juured kaoksid:
  
  $\frac{x + h - x}{h} \cdot \frac{x + h + x}{x + h + x} = \frac{( x + h ) - x}{h ( x + h + x )} = \frac{1}{x + h + x}$
2. Nüüd lase h-l läheneda 0-le:
  
  $f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{1}{x + h + x} = \frac{1}{2 x}, f^{'} (4) = \frac{1}{4}$
3. Puutuja läbib punkti (4; 2) ja selle tõus on ¼. Normaal läbib sama punkti tõusuga −4, mis on puutuja tõusu vastandarvu pöördväärtus:
  
  $y = \frac{1}{4} (x - 4) + 2 = \frac{1}{4} x + 1, y = - 4 (x - 4) + 2 = - 4 x + 18$
Vastus

f′(x) = 1/(2√x), kui x > 0. Kohal x = 4 on puutuja y = x/4 + 1 ja normaal y = −4x + 18. Kohal x = 0 kasvab kõõlude tõus piiramatult ja tuletist ei ole. Seda näed ka lehel, kui valid x väärtuseks 0.
Miks on funktsiooni sin x tuletis cos x? 3 sammu
Tõesta definitsiooni abil, et funktsiooni sin x tuletis on cos x, kasutades eelmise lehe piirväärtusi. Leia tõus kohal x = π/3.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Kasuta sin(x + h) avaldamiseks summa siinuse valemit ning koonda liikmed sin x ja cos x järgi:
  
  $\frac{sin ( x + h ) - sin x}{h} = \frac{sin x cos h + cos x sin h - sin x}{h} = sin x \cdot \frac{cos h - 1}{h} + cos x \cdot \frac{sin h}{h}$
2. Kui h → 0, siis sin h / h → 1 ja (cos h − 1)/h → 0. Viimane avaldis on h ja avaldise (cos h − 1)/h² korrutis, kusjuures teise teguri piirväärtus on −½:
  
  $\frac{cos h - 1}{h} = h \cdot \frac{cos h - 1}{h ^{2}} \to 0 \cdot (- \frac{1}{2}) = 0, \frac{sin h}{h} \to 1$
3. Seega on tuletis cos x ning kohal π/3 on selle väärtus ½:
  
  $(sin x)^{'} = sin x \cdot 0 + cos x \cdot 1 = cos x, cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$
Vastus

(sin x)′ = cos x ja tõus kohal π/3 on ½. Piirväärtus sin h / h → 1 kehtib siis, kui h on radiaanides. Kraadides mõõtes on piirväärtus hoopis π/180 ning see tegur jääb ka tuletise avaldisse.
Kus on puutuja horisontaalne? 3 sammu
Leia punktid, kus funktsiooni f(x) = x³ − 3x² − 9x + 2 graafikul on horisontaalne puutuja.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Leia tuletis liikmete kaupa astmefunktsiooni tuletise valemi abil ning tegurda:
  
  $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9 = 3 (x^{2} - 2 x - 3) = 3 (x - 3) (x + 1)$
2. Horisontaalse puutuja tõus on 0:
  
  $f^{'} (x) = 0 ⟺ x \in {- 1, 3}$
3. Leia nende punktide y-koordinaadid:
  
  $f (- 1) = - 1 - 3 + 9 + 2 = 7, f (3) = 27 - 27 - 27 + 2 = - 25$
Vastus

Puutujad on horisontaalsed punktides (−1; 7) ja (3; −25).
Antud sirgega paralleelne puutuja 2 sammu
Leia kõveral y = x² + 3x punkt, kus puutuja on paralleelne sirgega y = 7x − 2, ning selle puutuja võrrand.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Paralleelsete sirgete tõusud on võrdsed, seega lahenda võrrand f′(x) = 7:
  
  $f^{'} (x) = 2 x + 3 = 7 \Rightarrow x = 2$
2. Leia puutepunkt ja kirjuta puutuja võrrand:
  
  $f (2) = 4 + 6 = 10, y = 7 (x - 2) + 10 = 7 x - 4$
Vastus

Puutepunkt on (2; 10) ja puutuja on y = 7x − 4.
Nurgapunkt: pidevus ilma tuletiseta 3 sammu
Näita, et funktsioonil f(x) = |x| ei ole kohal 0 tuletist, kuigi funktsioon on seal pidev.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Punktist 0 paremale suunduva kõõlu tõus on h/h ja vasakule suunduva kõõlu tõus −h/h:
  
  $\frac{∣0 + h ∣ - ∣0∣}{h} = \frac{∣ h ∣}{h} = {1, - 1, h > 0 h < 0$
2. Ühepoolsed piirväärtused on 1 ja −1. Need on erinevad, seega tuletist f′(0) määravat piirväärtust ei eksisteeri:
  
  $h \to 0^{+} lim \frac{∣ h ∣}{h} = 1 \neq = - 1 = h \to 0^{-} lim \frac{∣ h ∣}{h}$
3. Pidevuse tingimus on nõrgem. Mõlemalt poolt lähenedes on funktsiooni |x| piirväärtus 0 = f(0):
  
  $x \to 0 lim ∣ x ∣ = 0 = f (0)$
Vastus

Funktsioon |x| on kohal 0 pidev, kuid tuletist seal ei ole: graafikul on nurgapunkt ja üheselt määratud puutuja puudub. Diferentseeruv funktsioon on pidev. See on klassikaline näide sellest, et vastupidine väide ei kehti.
Keskmine kiirus ja hetkkiirus 3 sammu
Kivi läbib kukkudes t sekundiga s(t) = 4,9t² meetrit. Leia selle keskmine kiirus ajavahemikus t = 2 kuni t = 2,1 ning hetkkiirus ajahetkel t = 2.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Keskmine kiirus antud ajavahemikus on kõõlu tõus:
  
  $\frac{s ( 2.1 ) - s ( 2 )}{0.1} = \frac{21.609 - 19.6}{0.1} = 20.09 m/s$
2. Hetkkiirus on selle tõusu piirväärtus ehk tuletis:
  
  $s^{'} (t) = 9.8 t, s^{'} (2) = 19.6 m/s$
3. Nende kiiruste vahe on 4,9h, seega väheneb see võrdeliselt ajavahemiku pikkusega:
  
  $\frac{s ( 2 + h ) - s ( 2 )}{h} = \frac{4.9 ( 4 h + h ^{2} )}{h} = 19.6 + 4.9 h$
Vastus

Selle kümnendiksekundi jooksul on keskmine kiirus 20,09 m/s ja ajahetkel t = 2 on hetkkiirus 19,6 m/s. Lehel tähistab t-d x.

Õpitee

Miks kõik tundub lähedalt sirge

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.