Tuletise ja puutuja uurija
lohista punkt mööda kõverat, et näha tõusu
Infinitesimaalsed diferentsiaaloperaatorid 🖖
Tuletis on dünaamiliste süsteemide analüüsi nurgakivi. Hinnates diferentskvoodiidi piirväärtust nullile lähenedes, arvutame täpse hetkelise muutumiskiiruse. See lokaalne lineaarne lähendus on fundamentaalne.
Lähedalt vaadates näib iga kõver sirge 🖖
Võta suvaline sile kõver, suumi piisavalt lähedale ja kõverus kaob — lokaalselt näeb see välja nagu sirgjoon. Tuletis on lihtsalt selle sirge tõus ja punkti siin lohistades loed selle otse välja. Auto spidomeeter töötab samamoodi: see näitab, kui kiiresti su asukoht just praegu muutub, mitte kogu sõidu keskmist kiirust. Lohista punkt parabooli tippu ja tõus jõuab 0-ni — see tasane koht tähistab maksimumi või miinimumi.
Kõver, millel pole kusagil puutujat 🖖
Igal siinsel funktsioonil on selge puutuja, kuid mitte igal funktsioonil pole seda. 1872. aastal koostas Karl Weierstrass funktsiooni, mis on kõikjal pidev, kuid millel pole kusagil määratud tõusu — igal skaalal lõpmatult sakiline, nii et ükski puutuja ei saa kunagi paika loksuda. See rabas matemaatikuid, kes eeldasid, et sujuvana näiv pidev kõver peab peaaegu kõikjal puutujaid omama. Seesama mittediferentseeruv karedus ilmnes hiljem looduses: Browni liikumise trajektoorid ja rannajoonte piirjooned käituvad täpselt nõnda.
Näiteülesanded
- x² punktis x=1 - f(x)=x² kohal x=1 → tõus f'(1)=2, puutuja y=2x-1
- sin punktis x=0 - f(x)=sin x kohal x=0 → tõus f'(0)=1, puutuja y=x
- eˣ punktis x=0 - f(x)=eˣ kohal x=0 → tõus f'(0)=1; eˣ on iseenda tuletis
- x³ käärdepunkt - f(x)=x³ kohal x=0 → tõus f'(0)=0, käänupunkt (mitte miinimum ega maksimum)