Korrutise ja jagatise tuletis

Ristkülik laiusega u ja kõrgusega v. Kui suurendada argumenti x sammu h võrra, lisanduvad riba paremale, riba ülaserva ja väike nurgatükk. Kahanda sammu h, jaga iga tüki pindala h-ga ning vaata, mis neist kolmest alles jääb.

Korrutise reegel	$(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$
Jagatise reegel	$(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}, v \neq = 0$

Näidisarvutus — Korrutise ja jagatise tuletis

Pindala kohal x	6
Parem riba	3
Ülemine riba	4
Nurgatükk	2
Pindala juurdekasv, kõik kolm	9
u′ korda v	3
u korda v′	4
Korrutise reegel, (uv)′	7

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Korrutise ja jagatise tuletis

Kui u ja v on kohal x diferentseeruvad, on nende korrutise tuletis u′v + uv′ ning jagatise tuletis (u′v − uv′)/v² kõikjal, kus v ≠ 0. Mõlemad reeglid saab kätte ühestainsast joonisest: ristkülikust laiusega u ja kõrgusega v, mis x-i kasvades suureneb.

Mida iga sümbol tähendab

u: ristküliku laius, muutuja x diferentseeruv funktsioon
v: selle kõrgus, teine samasugune funktsioon
h: x-i samm; Δu = u(x + h) − u(x) ja samamoodi Δv

Kust valem tuleb

Ristkülik kasvab. Suurendame x-i sammu h võrra. Laiuseks saab u + Δu ja kõrguseks v + Δv ning uue ja vana pindala vahe jaguneb kolmeks osaks: riba paremas servas, riba ülaservas ja nurgatükk. Joonisel on need sinine, merevaigukollane ja karmiinpunane osa.
$(u + Δ u) (v + Δ v) - uv = Δ u v + u Δ v + Δ u Δ v$
Jagame h-ga ja laseme h-l kahaneda. Jagatis Δu/h läheneb väärtusele u′ ja Δv/h väärtusele v′, seega annavad kaks riba kokku u′v + uv′. Nurgatükk annab (Δu/h)·Δv ehk kiiruse ja muutuse korrutise. Muutus Δv läheneb 0-le, sest kohal x diferentseeruv funktsioon on seal ka pidev. Nii vajub nurgatüki joon teisel paneelil nulli, sellal kui ribad stabiliseeruvad, ja pealtnäha ahvatlev vastus u′v′ ongi see ainus osa, mis kaob.
$\frac{Δ A}{h} = \frac{Δ u}{h} v + u \frac{Δ v}{h} + \to u^{'} \frac{Δ u}{h} \to 0 Δ v ⟶ u^{'} v + u v^{'}$
Jagatise tuletis korrutise abil. Olgu jagatis q = u/v, millest u = q·v. Diferentseerime seda korrutist äsja leitud reegli abil ning avaldame q′. Miinusmärk ongi võrrandi teisele poole viidud ülemine riba qv′.
$u = q v \Rightarrow u^{'} = q^{'} v + q v^{'} \Rightarrow q^{'} = \frac{u ^{'} - q v ^{'}}{v} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$

Eeldab: Joonis eeldab, et mõlemad küljed on positiivsed. Reeglid seda ei nõua: need kehtivad mis tahes kohal x diferentseeruvate funktsioonide u ja v korral, eeldusel et jagatises v(x) ≠ 0.

Ülesanded täielikult lahendatud

Kaks polünoomi ja puutuja kohal x = 2 4 sammu
Diferentseeri f(x) = (x² + 1)(3x − 2), kontrolli tulemust esmalt sulge avades ning leia puutuja kohal x = 2.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Määra kaks tegurit ja leia kummagi tuletis. Siin piisab täielikult astmereeglist:
  
  $u = x^{2} + 1, u^{'} = 2 x; v = 3 x - 2, v^{'} = 3$
2. Pane kokku u′v + uv′ ning koonda sarnased liikmed:
  
  $f^{'} (x) = 2 x (3 x - 2) + 3 (x^{2} + 1) = 9 x^{2} - 4 x + 3$
3. Ava esmalt sulud ja diferentseeri liikmeti. Saame tagasi sama polünoomi – see on reegli usaldusväärne kontroll:
  
  $f (x) = 3 x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 2 \Rightarrow f^{'} (x) = 9 x^{2} - 4 x + 3$
4. Kohal x = 2 on kõvera väärtus 20 ja tõus 31, seega läbib puutuja punkti (2, 20) tõusuga 31:
  
  $f (2) = 5 \cdot 4 = 20, f^{'} (2) = 36 - 8 + 3 = 31, y - 20 = 31 (x - 2)$
Vastus

f′(x) = 9x² − 4x + 3 ning puutuja kohal x = 2 on y = 31x − 42. Lehel kuvatakse reegli tulemuseks kohal x = 2 arv 31: 16 parempoolsest ribast, u′v = 4 × 4, ja 15 ülemisest ribast, uv′ = 5 × 3.

$f^{'} (x) = 9 x^{2} - 4 x + 3, y = 31 x - 42$
Astme ja siinuse korrutis 3 sammu
Diferentseeri f(x) = x² sin x ning leia selle tõus kohal x = π/2.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Tegurid ja nende tuletised:
  
  $u = x^{2}, u^{'} = 2 x; v = sin x, v^{'} = cos x$
2. Pane avaldis kokku. Muutuja x saab tuua ühise tegurina sulgude ette – sellisele kujule tasubki see jätta:
  
  $f^{'} (x) = 2 x sin x + x^{2} cos x = x (2 sin x + x cos x)$
3. Kohal π/2 on siinus 1 ja koosinus 0, mistõttu teine liige kaob ning alles jääb vaid u′v:
  
  $f^{'} (\frac{π}{2}) = 2 \cdot \frac{π}{2} \cdot 1 + (\frac{π}{2})^{2} \cdot 0 = π$
Vastus

f′(x) = 2x sin x + x² cos x ning f′(π/2) = π ≈ 3,1416. Ülemise riba uv′ näit on seal lehel 0. Kõrgus sin x on haripunktis kasvu peatanud ja kogu muutuse kiirus tuleneb laiusest.

$f^{'} (x) = 2 x sin x + x^{2} cos x, f^{'} (\frac{π}{2}) = π \approx 3.1416$
Kus x·eˣ on tasane 4 sammu
Leia koht, kus funktsiooni f(x) = x eˣ graafikul on horisontaalne puutuja, ning tee kindlaks, kas tegemist on maksimumi või miinimumiga.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Tegurid ja nende tuletised. Funktsioon eˣ on iseenda tuletis:
  
  $u = x, u^{'} = 1; v = e^{x}, v^{'} = e^{x}$
2. Pane tuletis kokku ja too eˣ ühise tegurina välja. Eksamitöös oodatakse just tegurdatud kuju, sest korrutis võrdub nulliga vaid siis, kui mõni tema teguritest on null:
  
  $f^{'} (x) = e^{x} + x e^{x} = e^{x} (1 + x)$
3. Kuna eˣ ei ole kunagi null, saab tõus kaduda vaid seal, kus sulu sisu on null:
  
  $e^{x} > 0 \Rightarrow f^{'} (x) = 0 ⟺ x = - 1, f (- 1) = - e^{- 1} \approx - 0.3679$
4. Kontrolli märke kummalgi pool. Kohal −2 on tõus negatiivne ja kohal 0 positiivne, seega kõver esmalt langeb ja seejärel tõuseb:
  
  $f^{'} (- 2) = - e^{- 2} < 0, f^{'} (0) = 1 > 0$
Vastus

Miinimum punktis (−1, −1/e) ≈ (−1, −0,3679). Kohal x = −1 näitab leht reegli tulemuseks 0 kahest ribast, mis teineteist täpselt taandavad: 0,3679 ja −0,3679. Ristkülikut ei saa sinna joonistada, sest üks külg, u = −1, on negatiivne; reeglit ennast see ei sega.

$f_{m i n} = f (- 1) = - \frac{1}{e} \approx - 0.3679$
Astme ja logaritmi korrutis 3 sammu
Diferentseeri f(x) = x³ ln x, kui x > 0, ja leia, kus see lakkab kahanemast.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Tegurid ja nende tuletised:
  
  $u = x^{3}, u^{'} = 3 x^{2}; v = ln x, v^{'} = \frac{1}{x}$
2. Paneme kokku. Teine liige lihtsustub: x³ · 1/x = x², misjärel on x² mõlemale ühine:
  
  $f^{'} (x) = 3 x^{2} ln x + x^{3} \cdot \frac{1}{x} = 3 x^{2} ln x + x^{2} = x^{2} (3 ln x + 1)$
3. Kui x > 0, on x² positiivne, seega saab null olla üksnes sulg:
  
  $3 ln x + 1 = 0 \Rightarrow ln x = - \frac{1}{3} \Rightarrow x = e^{- 1/3} \approx 0.7165$
Vastus

f′(x) = x²(3 ln x + 1), mis on null kohal x = e^(−1/3) ≈ 0,7165. Sellest vasakul on sulg negatiivne ja f kahaneb; paremal f kasvab. Kohal x = 1 kuvab leht u′v = 0, sest ln 1 = 0, ning kogu muutumiskiirus 1 tuleb teisest ribast. Nihuta x väärtuselt 0,71 väärtusele 0,72 ja vaata, kuidas tulemus märki vahetab: väärtuselt −0,0138 väärtusele 0,0075.

$f^{'} (x) = x^{2} (3 ln x + 1), f^{'} (e^{- 1/3}) = 0, e^{- 1/3} \approx 0.7165$
Ruutjuure ja polünoomi korrutis 4 sammu
Diferentseeri f(x) = √x (x² − 4) ja esita vastus üheainsa murruna.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Kirjuta √x esmalt astmena; seejärel kehtib astme tuletamise reegel nagu ikka:
  
  $u = x^{1/2}, u^{'} = \frac{1}{2} x^{- 1/2} = \frac{1}{2 x}; v = x^{2} - 4, v^{'} = 2 x$
2. Paneme kokku:
  
  $f^{'} (x) = \frac{x ^{2} - 4}{2 x} + 2 x x$
3. Viime mõlemad liikmed ühise nimetaja 2√x alla. Kuna √x · √x = x, on teine liige 4x²/(2√x):
  
  $2 x x = \frac{4 x ^{2}}{2 x} \Rightarrow f^{'} (x) = \frac{x ^{2} - 4 + 4 x ^{2}}{2 x} = \frac{5 x ^{2} - 4}{2 x}$
4. Kontroll kohal x = 4, kus √x = 2:
  
  $f^{'} (4) = \frac{80 - 4}{2 \cdot 2} = \frac{76}{4} = 19$
Vastus

f′(x) = (5x² − 4)/(2√x). Kohal x = 4 kuvab leht tulemuseks 19: 3 parempoolsest ja 16 ülemisest ribast.

$f^{'} (x) = \frac{5 x ^{2} - 4}{2 x}$
eˣ sin x kaks korda tuletatuna 3 sammu
Leia f′(x) ja f″(x), kui f(x) = eˣ sin x.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Tegurid ja nende tuletised:
  
  $u = e^{x}, u^{'} = e^{x}; v = sin x, v^{'} = cos x$
2. Paneme kokku ja toome eˣ sulgude ette:
  
  $f^{'} (x) = e^{x} sin x + e^{x} cos x = e^{x} (sin x + cos x)$
3. Ka f′ on omakorda korrutis, eˣ korda (sin x + cos x), seega rakendame reeglit teist korda. Siinused koonduvad:
  
  $f^{''} (x) = e^{x} (sin x + cos x) + e^{x} (cos x - sin x) = 2 e^{x} cos x$
Vastus

f′(x) = eˣ(sin x + cos x) ning f″(x) = 2eˣ cos x. Kohal x = 0 kuvab leht f′ = 1, mis tuleb tervenisti ülemisest ribast: e⁰ cos 0. Teine tuletis jääb lehe tavapärasest ulatusest küll sammu võrra välja, kuid võid panna lehe seda arvutama: sisesta u = e^x ja v = sin(x) + cos(x) ning kohal 0 kuvab valem tulemuseks f″(0) = 2.

$f^{'} (x) = e^{x} (sin x + cos x), f^{''} (x) = 2 e^{x} cos x$
Risttahukas, mille kõik kolm serva muutuvad 4 sammu
Lisame ristkülikule sügavuse w = 3 − x, nii et risttahuka servadeks saavad x + 1, 2x + 1 ja 3 − x. Leia selle ruumala muutumiskiirus kohal x = 1 ning seejärel täpne ΔV/h sammu h korral. Vajuta nupule Näidisülesanne: kohal x = 1 annab rakendus (uv)′ = 7 ning sammul h = ½ on ΔA/h = 8.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Vaatleme risttahukat ristküliku uv ja sügavuse w korrutisena ning rakendame korrutise reeglit kaks korda. Sisemise korrutise on leht juba arvutanud:
  
  $(uv w)^{'} = (uv)^{'} w + uv w^{'} = 7 \cdot 2 + 6 \cdot (- 1) = 8$
2. Kontrollime tulemust protsentides. Servade suhteline muutus on 1 osa 2-st, 2 osa 3-st ja −1 osa 2-st ning korrutamisel kasvumäärad liituvad:
  
  $\frac{V ^{'}}{V} = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2}{3}, V^{'} = 12 \cdot \frac{2}{3} = 8$
3. Nüüd arvutame täpse sammu. Lineaarsete servade tõttu on Δu = h, Δv = 2h ja Δw = −h ning lahtikorrutamisel jääb järele kolm kihti, kolm servatükki ja üks nurgakuup:
  
  $Δ V = (2 + h) (3 + 2 h) (2 - h) - 12 = 8 h - 3 h^{2} - 2 h^{3}$
4. Jagame tulemuse h-ga läbi. Kihtidest saame tuletise; servadele ja kuubile jäävad h astmed, mis piirprotsessis hääbuvad:
  
  $\frac{Δ V}{h} = 8 - 3 h - 2 h^{2}, h = 1 : 3, h = \frac{1}{2} : 6$
Vastus

Täpselt V′(1) = 8 ja ΔV/h = 8 − 3h − 2h². Kolm kihti u′vw, uv′w ja uvw′ (väärtustega 6, 8 ja −6) jäävad piirväärtuses püsima; kolme servatükiga, kokku −3, tuleb kaasa h ning nurgakuubiga u′v′w′ = −2 tuleb kaasa h². Üheühikuline samm muudab ruumala 3 võrra, 12-lt 15-le, mis on kaugel 8-st: sammul h = 1 on servatükid ja kuup sama mõjukad kui mis tahes muu osa.

$V^{'} (1) = 8, \frac{Δ V}{h} = 8 - 3 h - 2 h^{2}$

Valereegel ongi nurgatükk 🖖

Vajuta Nurgatükk ja vaata tervet sammu. Ristkülik kasvatab juurde riba paremale, teise ülaserva ning väikese nurgatüki – see nurk ongi täpselt u′v′. Poolita nüüd h ja tee seda veel kord. H-ga jagatuna säilitavad mõlemad ribad oma suuruse; nurk kahaneb aga koos h-ga ja kaob piiril sootuks. Nõnda võtab oletus (uv)′ = u′v′ arvesse ainsa osa, mille piirprotsess minema pühib, ning jätab kõrvale need kaks, mis tegelikult püsima jäävad. Leibniz tegi selle oletuse 11. novembri 1675 käsikirjas ja kummutas selle paar lehekülge hiljem ise korrutisega x korda x.

Protsentides korrutise kasvukiirused liituvad ja jagatise omad lahutuvad 🖖

Vajuta Protsendid. Üks külg kasvab x-i ühiku kohta 3% oma pikkusest, teine 2% ning pindala kasvab 5%. Jaga korrutise tuletise valem läbi korrutisega uv ja see ütleb sedasama iga x-i ning iga paari kohta: suhtelised kasvukiirused liituvad. Reegel kehtib ka siis, kui üks neist on negatiivne: kui tõsta hinda 3% ajal, mil müük kahaneb 2%, kasvab tulu ikkagi umbes 1%. Vajuta Suhe ning needsamad kaks külge annavad jagatise, mis kasvab 1%, sest jagamisel kiirused lahutuvad. Miinusmärk jagatise reeglis ongi seesama lahutustehe.

Kaks riba, mis korrutises teineteist nullivad, liituvad jagatises 🖖

Vajuta Tasakaal: küljed on sin x ja cos x kohal x = π/4. Laius kasvab täpselt sama kiiresti, kui kõrgus kahaneb: ribad on võrdsed ja vastasmärgilised, nii et pindala enam ei muutu. Sellest suuremaks see ristkülik ei saagi. Vajuta tan x ning needsamad kaks riba lähevad jagatise reeglisse, kus miinusmärk pöörab vastastikuse nullumise summaks. Kahanev v teeb jagatise suuremaks, nii et riba, mille korrutis kaotas, saab jagatis endale.

Õpitee

Diferentseerimine: kuidas muutumiskiirused seostuvad

Allikad (2)

Leibniz's guess that d(xy) is dx·dy, its apparent agreement with one example, and its refutation with x times x (“becomes 2βx, which is quite a different thing from” the product of the increments), in a manuscript dated 11 November 1675; and the later derivation d(xy) = (x + dx)(y + dy) − xy = x dy + y dx + dx dy with dx dy omitted as infinitely small: J. M. Child, The Early Mathematical Manuscripts of Leibniz, translated from the Latin texts published by Carl Immanuel Gerhardt, with critical and historical notes. Chicago and London: Open Court, 1920. Pp. 100–102 (manuscript dated 11 November 1675) and p. 143 (Elementa calculi novi, undated).
The product rule (Theorem 3.5) and quotient rule (Theorem 3.6) as the page states them; the warning that the derivative of a product is not the product of the derivatives, with x² as the example (2x, not 1·1); the proof of the product rule from the limit definition, which uses the continuity of the second factor (the lesson's `assumes`): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 3.3, “Differentiation Rules”.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.