Lihtintress vs. liitintress

Kahe intressimudeli kõrvutav võrdlus.

Näidisarvutus — Lihtintress vs. liitintress

Lihtintressi väärtus	24000.00
Liitintressi väärtus	40387.39
Liitintress miinus lihtintress	16387.39

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Lihtintress vs. liitintress

Lihtintressi makstakse ainult algsummalt, mistõttu lisandub igal aastal sama summa — see on sirgjoon. Liitintressi makstakse kontojäägilt, mis sisaldab ka juba teenitud intressi, seega on iga aasta intress suurem kui eelmine. Üks on lineaarne kasv, teine eksponentsiaalne.

Mida iga sümbol tähendab

r: aastane intressimäär, siin 7%, sisestatud protsendina ja kasutusel kujul 0.07.
n: intressi liitmiste arv aastas, 12. See esineb vaid liitintressi valemis — lihtintressil sellist parameetrit pole, mis ongi see erinevus miniatuuris.

Kust valem tuleb

Lihtintress ei muuda kunagi oma alussummat: t aasta pärast on sul algsumma pluss t korda P·r, seega A = P(1 + r·t). Vaikeväärtuste korral 10000 × (1 + 0.07 × 20) = 24,000.
Liitintress korrutab liitmise asemel. Igal perioodil korrutatakse kontojääk läbi teguriga (1 + r/n) ning t aasta jooksul on selliseid perioode kokku n·t — seega A = P(1 + r/n)^n·t.
Kui n = 12 ja t = 20, teeb see 240 korrutamist, andes tulemuseks 40,387.39. Nende kahe vahe, 16,387.39, on suurem kui kogu lihtintressi tulu 14 000 — intressilt teenitud intress on ületanud algsummalt teenitud intressi.

Eeldab: Konstantne intressimäär, pärast algust pole täiendavaid sissemakseid ega väljavõtmisi, puuduvad maksud ja tasud. Kõik tulemused on nominaalsed, seega pole ühtegi neist arvudest inflatsiooniga korrigeeritud.
Ei kehti, kui: Määra ajaks vaid üks aasta ning need kaks on peaaegu võrdsed — liitintressi kogu eelis seisneb kestuses, mitte määras. Võrdlus on ülesehituselt ka veidi ebaõiglane: lihtintressi ei liideta siin kunagi, samas kui selle rivaali liidetakse igakuiselt, seega tuleneb osa vahest sagedusest, mitte põhimõttest. Määra intressi liitmiste arvuks aastas 1 ning aus, võrreldav vahe on väiksem.

Liitmissageduse liugur saab tee otsa peaaegu kohe 🖖

Sagedasem liitmine aitab alati, kuid aina vähem, ja tööriista enda sagedusliugur näitab, kust alates see enam ei loe. Võtke pikk eelseadistus — 10 000 seitsme protsendiga 20 aasta jooksul. Kord aastas liites lõpetate summaga 38 696,84. Kuiselt liites võidate 1690,54 juurde. Kuiselt igapäevaseks minnes võidate 159,17. Igapäevaselt lõpmatult sagedaseks minnes võidate 5,44. Liugur ulatub 365-ni, aga kõik väärt saak on käes juba umbes kaheteistkümnenda sammu juures, sest kogu jada koondub kõva lae poole: Pe^rt = 40 552,00. Sealt tulebki siin e — mitte valitud alusena, vaid piirina, millesse tihendamine jookseb.

Intress intressilt 🖖

Lihtintress maksab igal aastal kindla summa, mis põhineb ainult sinu algsel põhiosal, seega kasvab kogusumma sirgjooneliselt. Liitintress maksab lisaks intressi ka juba teenitud intressilt, nii et iga aasta juurdekasv on eelmisest veidi suurem ja kõver paindub ülespoole. Aastase kapitaliseerimise korral ühtivad mõlemad pärast esimest aastat; kogu kasvav vahe on raha, mille varasem intress sinu eest teenis.

Üks penn nullaastast 🖖

1772. aastal arvutas aktuaar Richard Price, et üks penn, mis laenati meie ajaarvamise alguses 5% lihtintressiga, oleks umbes 1,800 aasta pärast väärt vaid ligikaudu seitse šillingit — vähem kui üks nael. Sama penn 5% liitintressiga oleks väärt rohkem kulda, kui mahuks kogu Päikesesüsteemi. Sama münt, sama määr: ainus vahe on see, kas intress tohib teenida intressi.

Harjutus

Kontrolli ennast

Ennusta vastust esmalt ise ja kasuta siis ülal olevaid juhtelemente. Ava lahendus alles siis, kui oled otsustanud — just see teebki sellest harjutuse.

Jäta vaikeseaded alles — 10 000 intressiga 7 %, liidetuna kord kuus. Arva ära, mitu aastat kulub liitintressi väärtusel 20 000-ni jõudmiseks, ja otsi see siis aastate lahtriga üles.

Näita vastust

Veidi üle 9.93 aasta: täpselt 9,93 juures näitab liitintressi rida 19998.67, juuksekarva võrra puudu. Reegel 72 ennustab 72 / 7 = 10.3 aastat, ja 10.3 juures oled juba 20521.85 peal. Reegel eeldab, et intress liidetakse kord aastas; see lehekülg liidab selle kaksteist korda, nii et kahekordistumine saabub varem. Sagedasem liitmine ei muuda kunagi intressimäära — see lühendab ootamist.
Kakskümmend aastat 7 % juures kuise liitmisega teeb 10 000-st 40387.39. Milline lihtintressi määr jõuaks sama kahekümne aastaga sama numbrini? Liiguta intressi lahtrit ja loe lihtintressi rida.

Näita vastust

Umbes 15.19%, kus lihtintress näitab 40380.00 — ja 40400.00, kui nihutad selle 15.2% peale. Seitse protsenti, millel lastakse kakskümmend aastat iseendalt teenida, on väärt rohkem kui kahekordne määr algsummalt üksi. Pane tähele: kaks rida on võrreldavad ainult sellel määral, kuhu sa peatuma jäid — liitintress on selleks ajaks juba 205099.01 peale jooksnud.

Ülesanne täielikult lahendatud

10 000 20 aastaks 7% igakuise liitintressiga 5 sammu
10 000 20 aastaks 7% intressimääraga. Arvuta mõlema intressiskeemi tulemused ning tuleta seejärel, kust pärineb „72 reegel“. Intressi liidetakse igakuiselt.
1. Lihtintressi makstakse ainult algsummalt, seega kasvab jääk piki sirgjoont. Kakskümmend aastat 7% intressiga lisab 140% ega midagi enamat.
  
  $simple = P (1 + r t) = 10000 (1 + 0.07 \times 20) = 24000$
2. Liitintressi makstakse kogu jäägilt, sealhulgas varem makstud intressilt. See muudab kasvu eksponentsiaalseks ning astendaja loendab perioode, mitte aastaid — igakuine liitintress 20 aasta jooksul tähendab 240 perioodi.
  
  $compound = P (1 + \frac{r}{m})^{m t} = 10000 (1 + \frac{0.07}{12})^{240}$
3. Arvuta. Ülaltoodud võrdlus kuvab need mõlemad ning teine ei ole esimesest 40% suurem mitte juhuslikult.
  
  $= 10000 \times (1.0058 \overline{3})^{240} = 40 387.39$
4. Vahe moodustab intress, mis teenis ise intressi. 20 aasta jooksul ületab see kogu algse investeeringu.
  
  $gap = 40 387.39 - 24000 = 16 387.39$
5. Nüüd tuleta see lühireegel, mida kõik tsiteerivad. Kahekordistumine tähendab, et kasvutegur jõuab 2-ni, seega võta logaritmid.
  
  $t_{2} = \frac{ln 2}{ln ( 1 + r / m ) m} = \frac{0.6931}{0.06976} = 9.93 yr (rule of 72 : \frac{72}{7} = 10.3)$
Vastus

24 000 võrreldes 40 387,39-ga — vahe on 16 387,39, mis on rohkem kui algne summa. Kahekordistumisajaks kujuneb 9,93 aastat ja 72 reegel annab tulemuseks 10,3: reegel on vaid ln 2 ≈ 0,693, mis on kirjutatud kujul 69,3 ja ümardatud üles 72-ni, sest 72 jagub täpselt arvudega 2, 3, 4, 6, 8, 9 ja 12. See on logaritmi peitev peastarvutamise hõlbustus, mis on umbes 1% täpsusega intressimäärade puhul vahemikus 5 kuni 10%.

$compound - simple = 16 387.39 t_{double} \approx \frac{72}{r %}$

Õpitee

Raha ajas

Viib edasi Annuiteedi tulevikuväärtus kasvuteguri (1 + r) ja harjumuse rakendada seda kord perioodis.

Allikad (1)

On compounding conventions and why the frequency has to be stated with the rate: C. Attwood, "Compound Interest Functions," in Compound Interest Functions, 1–165. Pergamon, 1967.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-07-29

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Statistika & rahandus õppetunnid →

Näiteülesanded

lühike horisont - Lühike ajahorisont, kus lihtintressi ja liitintressi tulemused jäävad lähedaseks.
pikk horisont - Pikk ajahorisont, kus liitumise vahe muutub silmatorkavaks.
kõrge intress - Kõrgemad intressimäärad ja pikem ajahorisont võimendavad liitintressi eelist.