Jadade ja ridade alused

Vaheta jada tüüpi, muuda parameetreid ja jälgi, kuidas liikmed kuhjuvad.

Näidisarvutus — Jadade ja ridade alused

liikmed	3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Jadade ja ridade alused

Jada on loend; rida on see, mille saad loendi kokku liitmisel. See leht näitab mõlemat korraga — a_n on loendi n. liige, S_n on nende esimese n liikme jooksev summa — ja nende kahe segamine on selles teemas kõige sagedasem viga.

Mida iga sümbol tähendab

d: aritmeetilise jada vahe — see, mida igal sammul liidetakse. Siin 2, mis annab 3, 5, 7, 9, …
r: geomeetrilise jada tegur — see, millega seda igal sammul korrutatakse. Vaheta režiimi ja r = 1.5 annab 3, 4,5, 6,75, …
Sₙ: esimese n liikme summa. Aritmeetiliste vaikeväärtuste korral on S₈ = 80, samas kui a₈ on vaid 17.

Kust valem tuleb

Kirjuta aritmeetiline summa edaspidi ja seejärel tagurpidi, üks teise alla: a₁ + (a₁+d) + ⋯ + a_n ülal ja a_n + (a_n−d) + ⋯ + a₁ selle all.
Liida need kaks rida tulp-tulbalt. Iga tulp annab sama summa, a₁ + a_n, sest ühes reas tehtud sammule ülespoole vastab teises reas samm allapoole — ja tulpi on n.
Seega kahekordne summa on n(a₁ + a_n), mis annab S_n = (n/2)(a₁ + a_n). Vaikeväärtuste korral (8/2)(3 + 17) = 80 — valem ülalolevas tabelis ning trikk, mida noor Gauss olevat kasutanud arvude 1 kuni 100 liitmisel.
Nüüd lülita režiimilüliti asendisse geomeetriline: liikmeteks saavad 3, 4,5, 6,75, … ning mõlemad valemid tabelis muutuvad. See summa vajab teistsugust trikki, sest selle liikmed ei moodusta paare — iga liige on eelmise kordne, mitte ei erine sellest fikseeritud sammu võrra. Kirjuta summa välja ning selle alla sama summa korrutatuna r-ga: S_n = a₁ + a₁r + ⋯ + a₁rⁿ⁻¹ kohale r·S_n = a₁r + a₁r² + ⋯ + a₁rⁿ.
Lahuta teine rida esimesest. Kõik keskmised liikmed esinevad mõlemas ja taanduvad välja, jättes alles vaid otsmised liikmed: S_n − r·S_n = a₁ − a₁rⁿ. Tegurda mõlemad pooled ja jaga avaldisega (1 − r): S_n = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) — avaldis, mida tabel geomeetrilises režiimis näitab, andes tulemuseks 147.773438, kui a₁ = 3, r = 1.5, n = 8.

Eeldab: Püsivat vahet või püsivat tegurit lõpmatuseni. Mistahes tegelik jada, mis vaid mõne liikme vältel paistab aritmeetiline, lahkneb neist valemitest kohe.
Ei kehti, kui: Aritmeetilise jada valemil sellist tõrget ei ole: S_n = (n/2)(a₁ + a_n) jagab ainult 2-ga ja 2 ei ole kunagi null. Geomeetrilise jada valem jagab avaldisega (1 − r), mis on täpselt see põhjus, miks see inimesi eksitab. Lülitu geomeetrilisele režiimile ja seadista r = 1: jada liikmeteks saavad 3, 3, 3, … ning kuvatav valem muutub kujule S_n = n·a₁, andes tulemuseks 8 × 3 = 24. See pole hädaabilahendus, vaid õige piirväärtus — kui miski ei kasva, on summa lihtsalt korduv liige.

Lõputult liitmine võib ikkagi anda täisarvu 🖖

Kõlab vastuoluliselt, et lõputult paljude positiivsete liidetavate liitmine võiks anda lõpliku summa, kuid geomeetriline rida tingimusel |r| < 1 teeb täpselt seda ja summa on a/(1 − r). Kõige tuttavam näide on otse silme ees: 0,999… on rida 0,9 + 0,09 + 0,009 + …, seega a = 0,9 ja r = 0,1, mis annab 0,9/(1 − 0,1) = 1. Mitte lähenedes ühele, mitte peaaegu üks — summa on 1 ja 0,999… on lihtsalt teine viis kirjutada arvu üks. Zenoni jooksja, kes läbib lõputult poole allesjäänud teest, on seesama rida, kus a = r = 1/2 ja summa on täpselt 1: ta jõuab tõesti lõppu.

Liitmine versus korrutamine 🖖

Mõlemad jadatüübid algavad esimesest liikmest, kuid kasvavad erinevate reeglite järgi. Aritmeetiline jada liidab igal sammul sama arvu (nagu 50 $ säästmine iga kuu), geomeetriline jada aga korrutab sama teguriga (nagu 5% aastaintressi teeniv saldo). n-inda liikme valem annab iga üksiku väärtuse ilma neid kõiki loetlemata, ja osasumma liidab kokku esimesed n liiget. Jälgi, kuidas sama algväärtus areneb reeglist sõltuvalt täiesti erinevalt.

Ainus jada, mis on mõlemad 🖖

Proovi koostada jada, mis on korraga nii aritmeetiline kui ka geomeetriline. Selgub, et töötab ainult üks pere: konstantne jada nagu 7, 7, 7, …, kus vahe on d = 0 ja tegur on r = 1. Iga tegelik muutus rikub ühe või teise reegli, sest ühtlane liitmine kaldub alati ühtlasest korrutamisest kõrvale. See on haruldane juhtum, kus kaks näiliselt sõltumatut kasvuseadust on sunnitud kokku langema üheks liikumatuks väärtuseks.

Harjutus

Kontrolli ennast

Ennusta vastust esmalt ise ja kasuta siis ülal olevaid juhtelemente. Ava lahendus alles siis, kui oled otsustanud — just see teebki sellest harjutuse.

Vajuta geomeetriline kahanemine, sea seejärel tegur väärtusele 0.99 ja siis 1.01. Kaheksa liiget erinevad vaevu. Kummal on lõplik lõpmatu summa — ja kas sa näed seda ekraanil olevatest liikmetest?

Seadista:

Näita vastust

0.99 koondub ja 1.01 mitte, ning ei liikmed ega kaheksa liikme summa reeda seda: kaheksandad liikmed 18.641307 ja 21.442707, summad 154.510611 ja 165.713411. Muutub ainult lõpmatu summa rida, S∞ = 2000 pealt Hajub peale. Koondumise otsustab ainuüksi tegur ja ükski jada lõplik lõik ei suuda seda paljastada.
Jää r = 0.99 juurde, kus lõpmatu summa on 2000 ja kaheksa liiget on jõudnud 154.510611 peale. Arva ära, kui suur osa teekonnast see on.

Seadista:

Näita vastust

Umbes 7,7 % — vähem kui kolmeteistkümnendik. Võrdle seda teguriga r = 0.7, kus needsamad kaheksa liiget jõuavad 62.823466 peale lõpmatust 66.666667-st, ehk 94 %. Mõlemad read koonduvad. Üks on kaheksa liikme järel sisuliselt valmis ja teine on vaevu alanud: koondumine lubab sihtkohta ega ütle kohalejõudmise kiiruse kohta mitte midagi.
Vajuta geomeetriline kasv ja lükka n väärtusele 30. Kolmekümnes liige üksi on 255668.078977. Ennusta kõigi kolmekümne summa.

Seadista:

Näita vastust

767000.236932 — peaaegu täpselt kolm korda see üksainus viimane liige, nii et kakskümmend üheksa eelnevat liiget kokku on väärt vaid kaks korda uusimat. Loe summat tagurpidi ja näed, miks: r = 1.5 juures on iga liige kaks kolmandikku järgmisest, seega on tervik a₃₀·(1 + 2/3 + 4/9 + ⋯) = 3a₃₀ — omaette geomeetriline rida.

Ülesanded täielikult lahendatud

8 liiget, mis annavad kokku 80, ilma 8 arvu liitmata 5 sammu
Need 8 liiget 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 annavad summaks 80. Jõua tulemuseni 8 arvu liitmata ning arvuta seejärel, mis juhtub summaga, kui loend on kaks korda pikem.
1. Liikme valem loendab samme, mitte liikmeid. Liikmelt a₁ liikmele a₈ jõudmiseks kulub 7 sammu suurusega 2, mitte 8, ning see ühega nihkes olemine on kogu teema ainus ebamugav koht.
  
  $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d = 3 + 2 (n - 1) = 2 n + 1 ⟹ a_{8} = 17$
2. Pane loend väljastpoolt sissepoole paari. 3 ja 17 annavad kokku 20, nagu ka 5 ja 15, 7 ja 13, 9 ja 11. Nad peavadki seda tegema: ühe koha võrra paremale liikumine liidab 2 ja ühe koha võrra vasakule liikumine võtab 2 ära, seega kaotab üks liikmetest täpselt selle, mille teine juurde saab.
  
  $3 + 17 = 20, 5 + 15 = 20, 7 + 13 = 20, 9 + 11 = 20$
3. 8 liiget moodustavad 4 paari ja iga paari väärtus on 20. Keegi ei liitnud 8 arvu kokku.
  
  $S_{8} = 4 \times 20 = 80$
4. Mitte miski selles arutluses ei kasutanud arvu 3 ega 2. Mistahes n liikmega aritmeetiline loend jaguneb n/2 paariks, millest igaühe väärtus on a₁ + a_n, ning selle loendi puhul taandub algebra avaldiseks n(n + 2).
  
  $S_{n} = \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n}) = \frac{n}{2} (2 n + 4) = n (n + 2)$
5. Kontrolli kinnist kuju seal, kus see tõesti midagi tähendab. Loendi kahekordistamine 16 liikmeni annab 16 × 18 = 288, mis on 8 liikme summast 3,6 korda suurem, mitte kaks korda.
  
  $S_{16} = 16 \times 18 = 288 = 3.6 \times S_{8}$
Vastus

Paneel kuvab a₈ = 17 ja S₈ = 80, ning põhjus on 4 paari väärtusega 20. Pikkuse kahekordistamine korrutab summa teguriga 4(n + 1)/(n + 2), mis on siin 3,6 ning nihkub loendi kasvades 4 poole — aritmeetiline summa on ruutsõltuvuses liikmete arvust, sest pikem loend on ühtlasi suuremate liikmete loend. Viigu kinnine kuju kaugemale kui mis tahes lehel olev väärtus, see jääb täpseks: n(n + 2) jõuab väärtuseni 9999 täpselt n = 99 korral ning ületab 10000 esimest korda n = 100 korral. See leht ei võta vastu rohkem kui 30 liiget, kus summa on vaid 960, seega peaaegu kõik, mida see jada teeb, leiab aset pärast viimast sisendi aktsepteeritud väärtust.

$\frac{S _{2 n}}{S _{n}} = \frac{4 ( n + 1 )}{n + 2} ⟶ 4, 99 \times 101 = 9999$
Kus otste paaritamine nurjus jadas, mis annab 86,588344 6 sammu
Otste paaripanek toimis aritmeetilise loendi puhul. Proovi seda loendil 20, 14, 9,8, 6,86, 4,802, 3,3614, 2,35298, 1,647086 ja see tagastab 86,588344 — rohkem kui see jada suudaks saavutada ka siis, kui lasta sel lõpmatuseni joosta. Leia tegelik summa ja selgita välja, kus paaripanek alt vedas.
1. Kontrolli paare eeldamise asemel. Välimine paar on 21,647086 ja järgmine paar sissepoole on 16,35298. Sissepoole liikumine korrutab ühte poolt teguriga 0,7 ja jagab teist teguriga 0,7, kuid võidetud tegur ei ole kaotatud tegur — see taandumine toimib ainult liitmise ja lahutamise korral.
  
  $a_{1} + a_{8} = 20 + 1.647086 = 21.647086, a_{2} + a_{7} = 14 + 2.35298 = 16.35298$
2. Mis aga toimib, on nihutamine. Kirjuta summa välja, seejärel kirjuta selle alla 0,7-kordne summa, nihutatuna ühe koha võrra paremale. Iga teise rea liige on juba esimeses reas olemas.
  
  $S_{8} = 20 + 14 + \dots + 20 \times 0. 7^{7}, 0.7 S_{8} = 14 + 9.8 + \dots + 20 \times 0. 7^{8}$
3. Lahuta read ja kõik keskel asuv taandub välja. Vaid kaks üleulatuvat otsa jäävad alles: esimene 20 ülevalt ja viimane 20 × 0,7⁸ alt. Jaga teguriga 1 − r ja sul on kinnine kuju mis tahes esimese liikme ja teguri jaoks.
  
  $S_{8} - 0.7 S_{8} = 20 - 20 \times 0. 7^{8} ⟹ S_{n} = a_{1} \frac{1 - r ^{n}}{1 - r}$
4. Asenda. 0,7⁸ = 0,05764801, seega on lugeja 20 × 0,94235199 ja jagaja 1 − 0,7 = 0,3.
  
  $S_{8} = 20 \times \frac{1 - 0.05764801}{0.3} = \frac{18.8470398}{0.3} = 62.823466$
5. Lase nüüd loendil edasi joosta. Iga lisaliige korrutab liikme rⁿ teguriga 0,7, seega läheneb see 0-le ja lugeja jääb püsima väärtusel 1. Summal on ülempiir, mis on ainus asi, mida aritmeetilisel real ei saa kunagi olla.
  
  $r^{n} \to 0 ⟹ S_{\infty} = \frac{a _{1}}{1 - r} = \frac{20}{0.3} = 66.666667$
6. Vahe 8 liikme summa ja selle ülempiiri vahel on 3,843201, ja see on täpselt 66,666667 × 0,7⁸. Seega osakaal kogusummast, mis on pärast n liiget veel puudu, on rⁿ — seesama arv, mis mõõdab liikmete kahanemise kiirust, mõõdab ka seda, kui palju on veel puudu.
  
  $S_{\infty} - S_{8} = 3.843201 = 66.666667 \times 0. 7^{8}$
Vastus

Paneel kuvab a₈ = 1,647086, S₈ = 62,823466 ja ülempiiriks S_∞ = 66,666667. Puuduoleva osa tulemus on see, mida tasub meeles pidada, sest see muudab „koondumise“ lubadusest ajakavaks: 0,7ⁿ ≤ 0,01 nõuab, et n ≥ 12,9114, seega 13 liiget viib teid 1% piiresse kõigest sellest, mis see rida kunagi saab olema. Muuda tegurit r ja ajakava muutub järsult, samal ajal kui ülempiir jääb lõplikuks — kui r = 0,9, läheb seesama 1% maksma 44 liiget, kui r = 0,99, siis 459 liiget. Ja paaripanekuga saadud 86,588344 oli ümberlükatav juba enne kõike seda: positiivsete liikmete osasumma ei saa olla suurem kui nende kõigi summa, seega meetod, mis väidab vastupidist, on ilmselgelt vale.

$0. 7^{n} \leq 0.01 ⟺ n \geq \frac{ln 0.01}{ln 0.7} = 12.9114 ⟹ n = 13$

Õpitee

Raha ajas

Viib edasi Liht- ja liitintress geomeetrilise jada summa üldvalemi.

Allikad (1)

On the Gauss schoolroom story, which the derivation deliberately hedges: B. Hayes, "Gauss's Day of Reckoning." American Scientist 94(3), 200, 2006.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-05-21

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Matemaatika õppetunnid →

Näiteülesanded

aritmeetiline kasv - Aritmeetiline jada püsiva vahega d=2.
geomeetriline kasv - Kasvav geomeetriline jada teguriga r>1.
geomeetriline kahanemine - Kahanev geomeetriline jada teguriga vahemikus 0 kuni 1.