Annuiteedi tulevane väärtus

Säästude kogunemine korduvate sissemaksete kaudu.

Näidisarvutus — Annuiteedi tulevane väärtus

Tulevane väärtus	6.1×10⁵
Sissemaksed kokku	1.8×10⁵
Investeeringu kasv	4.3×10⁵
Kasvu osakaal	70.491%

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Annuiteedi tulevane väärtus

Annuiteet tähendab siin võrdsete ajavahemike järel tehtavate võrdsete sissemaksete voogu ja selle tulevikuväärtus on selle voo koguväärtus lõpus: iga sissemakse koos intressikasvuga, mida see allesjäänud aja jooksul teenis. Üks hoiatus enne algebra juurde asumist, sest see eksitab peaaegu kõiki — alloleva valemi r ja n ei ole ülalolevate kastide numbrid. Need on intressimäär perioodi kohta ja perioodide arv.

Mida iga sümbol tähendab

d: igal perioodil tehtav sissemakse. Püsiv: selles valemis ei saa makse suurus muutuda.
r: intressimäär perioodi kohta, ja see ongi see, mis inimesi eksitab. Ülalolev kast küsib aastaintressiks 7%, kuid valem kasutab väärtust 0.0058333 — see on 0.07 / 12, sest sissemaksed on igakuised.
n: perioodide arv, mitte aastad. Kolmkümmend aastat igakuiseid sissemakseid on n = 360, mis ongi ülaltoodud arvutuskäigus asendatav arv.

Kust valem tuleb

Järjesta sissemaksed selle järgi, kui kaua igaüks kasvab. Esimesel on jäänud n − 1 perioodi, viimasel ei ole ühtegi, seega kogusumma on d·(1+r)ⁿ⁻¹ + d·(1+r)ⁿ⁻² + ⋯ + d.
See on geomeetriline rida: iga liige on järgmine liige korrutatuna teguriga (1+r). Selle kinnine kuju on tuletatud selle õpitee esimese teema Sequences & series 5. sammus — esimese liikmega d, teguriga (1+r) ja n liikmega on selle summa d·((1+r)ⁿ − 1) / ((1+r) − 1). Kui see valem ei ole veel tuttav, alusta sealt ja tule siis siia tagasi.
Nimetaja (1+r) − 1 on lihtsalt r, mis annab tulemuseks FV = d·((1+r)ⁿ − 1) / r — ülaltoodud valemi. Asendades perioodipõhised arvud: 500·((1+0.0058333)³⁶⁰ − 1) / 0.0058333 = 6.1 × 10⁵, mis koondab 360 eraldi sissemakset ühele reale.

Eeldab: Eeldab püsivat intressimäära ja püsivat sissemakset, kusjuures iga sissemakse laekub perioodi lõpus ja liitub intressiga täpselt sama sagedusega. Tegelik tootlus ei ole püsiv ning fond, mis arvutab intressi iga päev, samal ajal kui makseid tehakse iga kuu, sellele valemile ei vasta.
Ei kehti, kui: Mitte miski siin ei ole inflatsiooniga kohandatud, seega 6.1 × 10⁵ on viimase aasta rahas, mitte tänases. Samuti eeldab see, et te ei jäta ühtegi sissemakset vahele ega tee väljamakseid. Nullintressi juhtumit tasub proovida, sest lahenduskäik ja vastus lähevad lahku: määrake intressimääraks 0 ning käik kuvab FV = 500·((1+0)³⁶⁰ − 1) / 0, mille nimetajas on null — kuigi tulemuseks on õige 1.8 × 10⁵, sest kui r läheneb nullile, läheneb kogu murd väärtusele n, andes tulemuseks täpselt d × n.

miks viimased 10 aastat teevad enamiku tööst 🖖

Liitintress kasvab eksponentsiaalselt, mitte lineaarselt. 30-aastases pensioniplaanis koguneb umbes pool kogusaldost viimase 10 aasta jooksul. Seepärast on varajane alustamine palju olulisem kui hilisem suurem sissemakse — baas, millele intress liitub, on 20 aasta kasvu järel palju suurem. Sissemakse kahekordistamine 25. aastal aitab palju vähem, kui oleks aidanud 5 aastat varem alustamine.

mis on annuiteet tegelikult 🖖

Annuiteet on lihtsalt võrdsete sissemaksete jada korrapäraste ajavahemike järel — igakuiselt, kvartaalselt või kord aastas. See tööriist liidab need kokku, samal ajal kui iga varasem sissemakse teenib edasi omaette tulu, ja jagab lõppväärtuse siis kaheks: sinu sisse pandud raha (sinine joon) ja tekitatud kasv (roheline ala). Peamine mõte: kui roheline saldojoon eraldub selgelt sinisest sissemaksete joonest, tuleb suurem osa uuest rahast tootlusest, mitte sinu rahakotist.

sama valem doseerib su ravimit 🖖

Mootoriks on siin geomeetriline jada: FV = d·((1+r)ⁿ − 1)/r. Asenda kasvutegur (1+r) kahaneva teguriga ja saad täpselt selle valemi, mida farmakoloogid kasutavad korduvate ravimiannuste jaoks. Kuna iga sissemakse kasvab, aga iga ravimiannus intervallide vahel laguneb, tõuseb annuiteet piiritult, ravimi kontsentratsioon veres aga tasandub püsiseisundi platoole — sama valem, vastupidine saatus, mille otsustab üksnes see, kas tegur on ühest suurem või väiksem.

Harjutus

Kontrolli ennast

Ennusta vastust esmalt ise ja kasuta siis ülal olevaid juhtelemente. Ava lahendus alles siis, kui oled otsustanud — just see teebki sellest harjutuse.

Vaikeseaded koguvad 500 kuus 30 aasta jooksul tootlusega 7 % — see teeb 6000 aastas. Sea Sissemakseid aastas väärtusele 1 ja Sissemakse perioodi kohta väärtusele 6000: sama raha, makstud kord aastas ühe summana. Ennusta, mida teeb tulevane väärtus.

Näita vastust

See langeb 6.1 × 10⁵ pealt 5.668 × 10⁵ peale, kuigi sissemaksed kokku jäävad samaks — 1.8 × 10⁵. Rida allpool paneb vahele hinna: 429,985 kasvu 386,765 vastu, ehk umbes 43 000 pelgalt ajastuse eest. Jaanuaris makstud raha kasvab üksteist kuud kauem kui detsembris makstud, ja sa tegid seda just kolmkümmend korda järjest.
Sama katse, aga jälgi ületumispunkti — aastat, mil kasv möödub sissemakstust. Proovi ühte 6000 sissemakset aastas, siis 500 kaksteist korda, siis 16.438356 iga päev. Ennusta, kuidas ületumispunkt nihkub.

Näita vastust

See ei nihku: aasta 11 kõigil kolmel juhul. Sagedus muudab sihtkohta — 5.668 × 10⁵ kord aastas, 6.1 × 10⁵ kord kuus, 6.141 × 10⁵ iga päev — kuid ületumispunkt on võidujooks eksponentsiaalselt kasvava ja sirgjooneliselt kasvava summa vahel, ja sissemaksete paar nädalat varasem tegemine peaaegu ei mõjuta seda, millal üks teisest mööda läheb. Pane tähele ka seda, kui vähe viimane samm annab: kuiselt päevasele lisab umbes 4000, kus aastaselt kuisele lisas 43 000.

Ülesanne täielikult lahendatud

500 suuruse kuumakse tulevikuväärtus 30 aasta jooksul 7% juures 6 sammu
500 kuus 30 aasta jooksul 7% intressiga. Tuleta tulevikuväärtus reast, mitte tabelarvutusprogrammist, ning arvuta seejärel, mida see tegelikult väärt on.
1. Iga sissemakse on eraldiseisev ühekordne summa, millele arvestatakse liitintressi selleks ajaks, mis tal on jäänud. Nende liitmine annab geomeetrilise rea teguriga (1+i) ning selle kinnine kuju on ainus valem kogu pensioniarvutuses.
  
  $FV = k = 0 \sum n - 1 d (1 + i)^{k} = d \frac{( 1 + i ) ^{n} - 1}{i}$
2. Teisenda kõigepealt intressiperioodile. Nii intressimäär kui ka perioodide arv on kuupõhised — aastamäära ja kuude arvu segamine on klassikaline viis eksida kaksteist korda.
  
  $i = \frac{0.07}{12} = 0.0058333, n = 30 \times 12 = 360$
3. Asenda. Pane tähele, kust võimendus tuleb: lugeja kasvas perioodi jooksul 8,1-kordseks ning väikese i-ga jagamine suurendab tulemust veelgi.
  
  $(1 + i)^{360} = 8.1165 ⟹ FV = 500 \cdot \frac{8.1165 - 1}{i} = 609985$
4. Sissemaksed on triviaalselt sissemakse korrutatud kordade arvuga. Kõik sellest üle jääv on liitintress ning siin moodustab see 70% kogusummast — konto teenib rohkem kui säästja sisse maksab.
  
  $contributions = 500 \times 360 = 180000, growth = 429985 = 70.491%$
5. Sissemaksed ei ole mõjult võrdsed. Esimesel on kasvada 359 kuud ja viimasel mitte ühtegi.
  
  $first deposit \to 500 (1.0058333)^{359} = 4035; last \to 500$
6. Lõpuks defleeri. Kogusumma on nominaalne ja sissemaksed olid fikseeritud nominaalväärtuses, seega on aus küsimus, mida 609 985 kolmekümne aasta pärast ostab.
  
  $\frac{609 985}{1.02 5 ^{30}} = \frac{609 985}{2.0976} = 290806$
Vastus

609 985 nominaalselt — ja umbes 291 000 tänases rahas. 2,5% inflatsioon jagab kogusumma kolmekümne aasta jooksul 2,10-ga, mis muudab 430 000 suuruse kasumi ligikaudu 111 000 suuruseks reaalkasumiks sisse makstud 180 000 pealt. Paneelil pole miski vale; see vastab lihtsalt 2056. aasta vääringus. Teine asi, mis geomeetrilises reas peitub, on sissemaksete ebavõrdsus: esimene 500 kasvab 4 035-ni ja viimane jääb 500-ks, seega on esimene aasta kaheksa korda olulisem kui viimane. Aastakümme varem alustamine on kasulikum kui kolmandiku võrra rohkem säästmine.

$FV = d \frac{( 1 + i ) ^{n} - 1}{i} = 609985 nominal; 290806 in today’s money$

Õpitee

Raha ajas

Viib edasi Laenumakse võrdsete maksete voo summeeritud väärtuse.

Allikad (1)

Rate per period versus quoted annual rate — the distinction the lesson opens with: R. J. Wilders, "Measuring Interest," in Financial Mathematics for Actuarial Science: The Theory of Interest, 19–66. Chapman and Hall/CRC, 2020.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-09-03

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Statistika & rahandus õppetunnid →

Näiteülesanded

Pensionifond - Simuleerib säästmist $500/kuus 30 aasta jooksul 7% aastamääraga. Näitab, kuidas pikk ajaperiood võimaldab kasvul liituda, kuni see moodustab üle 60% lõppvarast.
Ülikoolifond - Simuleerib säästmist $300/kuus 18 aasta jooksul 5% aastamääraga. Sobib hariduse jaoks säästmiseks sünnist lõpetamiseni, illustreerides madalama riskiga kogumist.
Kvartaliplaan - Simuleerib säästmist $2,000/kvartalis 12 aasta jooksul 6% aastamääraga. Näitab, kuidas kvartaalne liitintress koguneb keskpika perioodi kapitaliinvesteeringutel.