Ilmutamata diferentseerimine

Mõnda kõverat ei õnnestu y suhtes avaldada, ometi on puutuja tõus olemas peaaegu igas punktis. Vali kõver ja määra x: rakendus leiab kõik selle x-i kohal asuvad punktid, joonestab valitud punktis puutuja ning arvutab väärtuse −F_x/F_y. Seejärel läbi tuletise võtmine sammhaaval ja võrdle igat rida arvudega.

Ilmutamata funktsiooni diferentseerimine	$\frac{d y}{d x} = - \frac{F _{x}}{F _{y}}, F_{y} \neq = 0$

Näidisarvutus — Ilmutamata diferentseerimine

Valitud punkt	(1; 2,3615)
∂F/∂x selles punktis	−11,1688
∂F/∂y selles punktis	10,7296
Tõus selles punktis	1,0409
Sama haru naaberpunkte läbiv kõõl	1,0409
Kõvera teised punktid selle x-i kohal	0

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Ilmutamata diferentseerimine

Isegi kui võrrandist F(x, y) = 0 ei saa y-it ilmutada, on joonel igas siledas punktis ikkagi tõus: dy/dx = −F_x/F_y. See valem seob korraga nii x-i kui ka y-it ning kaotab kehtivuse seal, kus F_y = 0.

Mida iga sümbol tähendab

F_x: ∂F/∂x, funktsiooni F osatuletis x järgi, hoides y-i püsivana
F_y: ∂F/∂y, funktsiooni F osatuletis y järgi, hoides x-i püsivana; seal, kus see on 0, puudub tõusuvalemil väärtus

Kust valem tuleb

Diferentseeri piki joont. Vaatle y-it x-i funktsioonina ning diferentseeri võrrandit F(x, y(x)) = 0. Iga x-i sisaldav liige diferentseerub tavapäraselt. Iga y-i sisaldav liige saab aga ahelreegli tõttu juurde teguri y′. Saadud liidetavad on F_x ja F_y·y′ ning nende summa on 0.
$\frac{d}{d x} F (x, y (x)) = F_{x} + F_{y} y^{'} = 0$
Avalda y′. Kõikjal, kus F_y ei ole null, jaga sellega läbi. Tõus avaldub korraga nii x-i kui ka y kaudu, mistõttu ei piisa ainult x-ist, vaid tarvis on tervet punkti: ühele x-le võib vastata mitu punkti ja mitu eri tõusu.
$y^{'} = - \frac{F _{x}}{F _{y}} (F_{y} \neq = 0)$
Kui F_y = 0. Valemil pole millegagi jagada. Kui F_x ei ole seal null, on puutuja vertikaalne. Kui aga ka F_x on null, annab valem kuju 0/0 ega ütle midagi — nagu Descartes'i lehe ristumiskohas.

Eeldab: Funktsioonil F peavad vaadeldavas punktis leiduma osatuletised. Kolmel sisseehitatud joonel leitakse antud x-i kohal asuvad punktid suletud kujul. Käsitsi sisestatud joone puhul leitakse need arvuliselt, otsides funktsiooni F märgimuutu piki y-telge, mistõttu punkti, kus F puudutab väärtust 0 sellest läbi minemata, nimekirja ei lisata.

Ülesanded täielikult lahendatud

Ringjoone puutuja 3 sammu
Leia võrrandist x² + y² = 25 tuletis dy/dx ning puutuja punktis (3, 4).

Ava see ülesanne tööriistas
1. Diferentseeri mõlemat poolt, vaadeldes y-it x-i funktsioonina. Ahelreegli tõttu lisandub y² tuletise kõrvale y′:
  
  $2 x + 2 y y^{'} = 0$
2. Koonda y′ ja avalda see:
  
  $y^{'} = - \frac{x}{y}$
3. Punktis (3, 4), seejärel seda punkti läbiv leitud tõusuga sirge:
  
  $(3, 4) : y^{'} = - \frac{3}{4}; y - 4 = - \frac{3}{4} (x - 3) \Rightarrow y = - \frac{3}{4} x + \frac{25}{4}$
Vastus

y′ = −x/y ning puutuja punktis (3, 4) on y = −3x/4 + 25/4. Leht kuvab seal F_x = 6 ja F_y = 8 ning tõus ongi −6/8. Puutuja on risti raadiusega, mille tõus on 4/3.

$y^{'} = - \frac{x}{y}, y = - \frac{3}{4} x + \frac{25}{4}$
Korrutis kõvera võrrandis 3 sammu
Leia võrrandist x²y + y² = 2 tuletis dy/dx ning selle väärtus punktis (1, 1).

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Diferentseeri mõlemat poolt. x²y on korrutis ja annab seetõttu kaks liiget, ning iga y toob kaasa y′:
  
  $2 x y + x^{2} y^{'} + 2 y y^{'} = 0$
2. Koonda y′-ga liikmed ja avalda:
  
  $(x^{2} + 2 y) y^{'} = - 2 x y \Rightarrow y^{'} = - \frac{2 x y}{x ^{2} + 2 y}$
3. Punktis (1, 1):
  
  $(1, 1) : y^{'} = - \frac{2}{3}$
Vastus

y′ = −2xy/(x² + 2y) ning punktis (1, 1) saame −2/3. Lehel: Enda oma, x^2*y + y^2 = 2, x = 1. Kuvatakse F_x = 2 ja F_y = 3.

$y^{'} = - \frac{2 x y}{x ^{2} + 2 y}$
y kuup 3 sammu
Leia võrrandist y³ + xy = 2 tuletis dy/dx ning selle väärtus punktis (1, 1).

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Diferentseeri mõlemat poolt. y³ annab ahelreegli järgi 3y²y′ ning xy korrutise reegli järgi y + xy′:
  
  $3 y^{2} y^{'} + y + x y^{'} = 0$
2. Koonda ja avalda:
  
  $(3 y^{2} + x) y^{'} = - y \Rightarrow y^{'} = - \frac{y}{3 y ^{2} + x}$
3. Punktis (1, 1):
  
  $(1, 1) : y^{'} = - \frac{1}{4}$
Vastus

y′ = −y/(3y² + x) ning punktis (1, 1) saame −1/4. Seda kõverat ei suuda keegi ühe reaga y suhtes avaldada, ent tõusu leidmiseks polnud seda vajagi.

$y^{'} = - \frac{y}{3 y ^{2} + x}$
Kus pööratud ellips on horisontaalne 3 sammu
Leia kõvera x² + xy + y² = 3 punktid, kus puutuja on horisontaalne.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Diferentseeri ja avalda y′ nagu varem:
  
  $2 x + y + x y^{'} + 2 y y^{'} = 0 \Rightarrow y^{'} = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$
2. Tõus on null seal, kus lugeja on null. Asenda y = −2x kõvera võrrandisse:
  
  $y^{'} = 0 ⟺ y = - 2 x : x^{2} - 2 x^{2} + 4 x^{2} = 3 \Rightarrow x = \pm 1$
3. Need kaks punkti:
  
  $(1, - 2) (- 1, 2)$
Vastus

(1, −2) ja (−1, 2). Punktis (1, −2) kuvab leht F_x = 0 ning tõusuks 0. Punktides (2, −1) ja (−2, 1), kus nulliks osutub hoopis nimetaja, on puutuja vertikaalne.

$(1, - 2), (- 1, 2)$
Funktsiooni ln x tuletis 3 sammu
Leia võrduse eʸ = x abil funktsiooni y = ln x tuletis.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Diferentseeri võrduse eʸ = x mõlemat poolt. Vasakul on tegu liitfunktsiooniga, mis annab eʸ korda y′:
  
  $e^{y} y^{'} = 1$
2. Avalda y′ ning kasuta veel kord seost eʸ = x:
  
  $y^{'} = \frac{1}{e ^{y}} = \frac{1}{x}$
3. Nii ongi funktsiooni y = ln x tõus 1/x:
  
  $y = ln x \Rightarrow \frac{d}{d x} ln x = \frac{1}{x}; x = 2 : \frac{1}{2}$
Vastus

(ln x)′ = 1/x. Kohal x = 2 kuvab leht tõusuks 0,5. Kogu arutluskäik toetus vaid eˣ tuletisele; just nii tõestataksegi esmalt ln x reegel.

$\frac{d}{d x} ln x = \frac{1}{x}$
Ringjoone teine tuletis 3 sammu
Leia ringjoone x² + y² = 25 teine tuletis y″ ja selle väärtus punktis (3, 4).

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Alusta esimesest tuletisest:
  
  $y^{'} = - \frac{x}{y}$
2. Võta jagatise reegliga uus tuletis, asenda y′ seosega −x/y ja arvesta, et x² + y² = 25:
  
  $y^{''} = - \frac{y - x y ^{'}}{y ^{2}} = - \frac{y + \frac{x ^{2}}{y}}{y ^{2}} = - \frac{x ^{2} + y ^{2}}{y ^{3}} = - \frac{25}{y ^{3}}$
3. Punktis (3, 4):
  
  $(3, 4) : y^{''} = - \frac{25}{64} \approx - 0.3906$
Vastus

y″ = −25/y³ ning punktis (3, 4) on väärtuseks −25/64 ≈ −0,3906. Teist tuletist leht ise ei arvuta; see kuvab tõusu −0,75, millest siinne arvutuskäik algab.

$y^{''} = - \frac{25}{y ^{3}}$
Descartes'i lehe tipp 3 sammu
Leia kõvera x³ + y³ = 6xy tõus selle silmuse tipus (3, 3).

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Diferentseeri võrrandi mõlemat poolt. Paremal on korrutis:
  
  $3 x^{2} + 3 y^{2} y^{'} = 6 y + 6 x y^{'}$
2. Kogu kokku y′-ga liikmed ja avalda y′, jagades võrrandi 3-ga läbi:
  
  $(3 y^{2} - 6 x) y^{'} = 6 y - 3 x^{2} \Rightarrow y^{'} = \frac{2 y - x ^{2}}{y ^{2} - 2 x}$
3. Punktis (3, 3):
  
  $(3, 3) : y^{'} = \frac{6 - 9}{9 - 6} = - 1$
Vastus

y′ = −1 punktis (3, 3). Kõver on sümmeetriline sirge y = x suhtes, mistõttu lõikab puutuja seda sirget täisnurga all. Leht kuvab F_x = F_y = 9.

$y^{'} (3, 3) = - 1$
Lehe tipp 4 sammu
Leia Descartes'i lehe kõrgeim punkt täpselt ning tee kindlaks, kas see on lehe tipp (3; 3), kus leht lõikub sirgega y = x. Vajuta nuppu Lehe tipp: kohal x = 2,52 on ülemise punkti tõus −0,0002 ehk peaaegu 0, kuid sammuga 0,01 liikuv liugur võimaldab vastust üksnes tõkestada.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Puutuja on rõhtne seal, kus y′ = 0. See nõuab, et lugeja 2y − x² oleks 0 ja nimetaja samal ajal nullist erinev:
  
  $y^{'} = \frac{2 y - x ^{2}}{y ^{2} - 2 x} = 0 \Rightarrow y = \frac{x ^{2}}{2}$
2. Asenda kõvera võrrandisse y = x²/2. Kuna x = 0 tähistab koordinaatide alguspunkti, kus valem annab 0/0, võime jagada avaldisega x³:
  
  $x^{3} + \frac{x ^{6}}{8} = 6 x \cdot \frac{x ^{2}}{2} = 3 x^{3} \Rightarrow \frac{x ^{6}}{8} = 2 x^{3} \Rightarrow x^{3} = 16$
3. Niisiis on x arvu 16 kuupjuur ning nimetaja ei ole seal 0:
  
  $x = 2^{4/3} = 2.5198, y = \frac{x ^{2}}{2} = 2^{5/3} = 3.1748, y^{2} - 2 x = 2^{10/3} - 2^{7/3} = 2^{7/3} = 5.0397 \neq = 0$
4. Tipus (3; 3) on tõus −1, järelikult sellest vasakul leht alles tõuseb:
  
  $y^{'} (3, 3) = \frac{2 \cdot 3 - 3 ^{2}}{3 ^{2} - 2 \cdot 3} = \frac{- 3}{3} = - 1, 3.1748 - 3 = 0.1748$
Vastus

Lehe kõrgeim punkt on (2^4/3; 2^5/3) ≈ (2,5198; 3,1748), tipust 0,1748 võrra kõrgemal. Selle punkti y-koordinaat võrdub püstise puutuja x-koordinaadiga näites Kus kõver pöördub, sest x-i ja y-i vahetamine jätab võrrandi x³ + y³ = 6xy samaks ning teisendab rõhtsad puutujad püstisteks. Leht arvutab tõusu mistahes valitud punktis, kuid võrrandi y′ = 0 lahendamine jääb algebra hooleks.

$(2^{4/3}, 2^{5/3}) \approx (2.5198, 3.1748)$

Kolm punkti kohal x = 1 ja kolm tõusu 🖖

Vajuta Kolm tõusu kohal x = 1. Kohal x = 1 on lehel kolm punkti ning kõver läbib igaüht eri tõusuga. Üksnes x-st sõltuv valem annaks iga x kohta üheainsa arvu ega sobiks selle kõvera tõusuks. Ilmutamata tuletis y′ = (2y − x²)/(y² − 2x) vajab aga ka punkti y-koordinaati ning kõvera all asuv tabel arvutab selle välja kõigis kolmes punktis. Descartes, kes kirjeldas joont esmakordselt 1638. aastal, arvas lehe korduvat igas veerandis nagu lille kroonlehed. Kõveral on aga vaid üksainus leht ja kaks haru.

Valem kaotab kehtivuse täpselt seal, kus kõver saab või kaotab punkti 🖖

Vajuta Kus kõver pöördub. Siin on nimetaja F_y null ja puutuja vertikaalne. Vasakul pool on x kohal kolm punkti; siin saavad ülemised kaks kokku; paremale jääb alles vaid üks. Kõigil kolmel kõveral muutub x kohal asuvate punktide arv täpselt seal, kus F_y = 0, ega kuskil mujal. See ongi liuguril nähtav ilmutamata funktsiooni teoreem: kus F_y ≠ 0, kujutab kõver punkti ümbruses ühe funktsiooni graafikut, aga seal, kus F_y = 0, jooksevad kaks sellist funktsiooni kokku.

Koordinaatide alguspunktis annab valem 0/0 ning kõveral on kaks puutujat 🖖

Vajuta Iselõikumiskoht. Koordinaatide alguspunktis on nii F_x kui ka F_y nullid, mistõttu annab valem tulemuseks 0/0. See tähendab enamat kui lihtsalt vertikaalset puutujat. Kõver läbib seda punkti kaks korda: kord kulgeb see laugelt piki lehe alaserva, kord tõuseb järsult üle selle. Lähene alguspunktile väärtustega x = 0,1, 0,01 ja 0,001 ning tabel näitab, kuidas üks tõus kahaneb 0 poole ja kaks kasvavad tõkestamatult. Üksainus tõus ei saakski siin õige olla, seega joonistab lõuend välja mõlemad puutujad.

Õpitee

Diferentseerimine: kuidas muutumiskiirused seostuvad

Allikad (2)

The method as the page steps it (differentiate both sides with y a function of x, then solve for dy/dx), the circle x² + y² = 25 with its tangent at (3, −4) (Example 3.71), and the folium in the form x³ + y³ − 3xy = 0 with slope −1 at (3/2, 3/2) (Example 3.72), the a = 1 version of the page's tip (3, 3): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 3.8, “Implicit Differentiation”.
That Descartes first discussed the folium in 1638 and believed the leaf was repeated in each quadrant like the petals of a flower (insight block 1), and the asymptote x + y + a = 0 (here a = 2): J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Folium of Descartes”, Famous Curves Index, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.