Pöördfunktsioonide uurija

Vali funktsioon, liiguta punkti f peal ja jälgi selle peegelpunkti pöördfunktsioonil. Piira määramispiirkonda mitteinjektiivsete juhtude jaoks.

Näidisarvutus — Pöördfunktsioonide uurija

Punkt P funktsioonil f	(2,4)
Peegelpunkt Q funktsioonil f⁻¹	(4,2)
Pööratav praeguses määramispiirkonnas	Yes

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Miks ruutjuur annab ainult pooled vastused 🖖

Ruutu võtmine saadab 3 ja −3 samasse kohta, nii et tagurpidi käigul ei ole ühest vastust — ja funktsioon tohib anda iga sisendi kohta vaid ühe väljundi. Matemaatika lahendab selle amputeerimisega: ruutjuur on defineeritud ruutu võtmise pöördfunktsioonina, mis on kitsendatud piirkonnale x ≥ 0. Just see kitsendus on põhjus, miks √9 on 3 ja mitte ±3, ning miks võrrandi x² = 9 lahendamisel tuleb ± käsitsi tagasi panna. Horisontaalse sirge test on lihtsalt viis näha ette, millised funktsioonid seda lõikust vajavad.

Tagasivõtunupp ja kuidas seda kontrollida 🖖

Pöördfunktsioon on nagu tagasivõtunupp: kui saata f-i väljund läbi f⁻¹, jõuad tagasi algse väärtuseni x. Selle leidmiseks vaheta võrrandis x ja y ning avalda — just see vahetus peegeldab mõlemad graafikud sirge y=x suhtes. Kindlaim kontroll on kompositsioon: kui f(f⁻¹(x)) = x ja f⁻¹(f(x)) = x, on sul tõesti sobiv paar. Celsiuse teisendamine Fahrenheitiks ja tagasi on sama mõte igapäevaelus.

Funktsioonid, mis on iseenda pöördfunktsioon 🖖

Enamik kõveraid ei sarnane oma peegelpildile sirge y=x suhtes, kuid mõni üksik langeb täpselt iseendale. Need on involutsioonid, funktsioonid tingimusega f(f(x)) = x — nad on iseenda pöördfunktsioon. Pöördväärtus f(x) = 1/x on klassikaline näide: selle hüperbool on juba sümmeetriline sirge y=x suhtes, nii et peegeldamine ei muuda midagi. Sama iseenda-tagasivõtmise nipp töötab ROT13 taga, kus teksti kaks korda krüpteerides taastub algne.

PÖÖRDFUNKTSIOONID — KAS SEE OLEMAS ON JA MILLISEL MÄÄRAMISPIIRKONNAL?

Millise pöördfunktsiooni juhtumiga on tegemist?

Funktsioonil on pöördfunktsioon täpselt siis, kui kaks eri sisendit ei anna kunagi sama väljundit — horisontaaljoone test. Kui funktsioon selle läbib, on pöördfunktsioon peegeldus sirge y = x suhtes ja rohkem otsustada polegi. Kui ta läbi kukub, ei ole te ummikus: lõigake määramispiirkond tükini, kus test läbitakse, ja seal pöördfunktsioon on. Kummas juhtumis olete, selgub enne igasugust algebrat.

Rangelt monotoonne — pöördfunktsioon on olemas kõikjal f′ ≠ 0 ⇒ ∃f⁻¹

Horisontaaljoone test kukub läbi — kogu reaalteljel pöördfunktsiooni ei ole f(a) = f(−a) ⇒ ∄f⁻¹

Kitsenda määramispiirkonda ja pöördfunktsioon tuleb tagasi x ≥ 0 ⇒ f⁻¹ = √x

Klassikaline paar — määramis- ja muutumispiirkond vahetavad kohad f: A→B ⇒ f⁻¹: B→A

Rangelt monotoonne — pöördfunktsioon on olemas kõikjal

Mida te teate: Funktsioon ei korda ühtegi väljundit, seega lõikab iga horisontaaljoon graafikut täpselt ühe korra. Pöördfunktsioon on määratud kogu muutumispiirkonnal.

Test: f′ ≠ 0 ⇒ ∃f⁻¹

Näidisarvutus: f(x) = 2x + 1 saadab 2 väärtuseks 5 ja f⁻¹(x) = (x − 1)/2 saadab 5 tagasi kaheks

Ava see juhtum: lineaarne paar

Rangelt monotoonne — pöördfunktsioon on olemas kõikjal. Iga horisontaaljoon lõikab ühe korra, seega on peegeldus sirge y = x suhtes ise funktsioon. Funktsioon ei korda ühtegi väljundit, seega lõikab iga horisontaaljoon graafikut täpselt ühe korra. Pöördfunktsioon on määratud kogu muutumispiirkonnal. — Iga horisontaaljoon lõikab ühe korra, seega on peegeldus sirge y = x suhtes ise funktsioon.

Horisontaaljoone test kukub läbi — kogu reaalteljel pöördfunktsiooni ei ole

Mida te teate: Kaks erinevat sisendit annavad sama väljundi, seega peaks oletatav pöördfunktsioon tagastama korraga kaks väärtust. Graafiku peegeldamine annab kõvera, aga mitte funktsiooni.

Test: f(a) = f(−a) ⇒ ∄f⁻¹

Näidisarvutus: f(x) = x² saadab nii 2,5 kui ka −2,5 väärtuseks 6,25, seega ei ole f⁻¹(6,25)-l ühest vastust

Ava see juhtum: ruutfunktsioon (ei ole pööratav)

Horisontaaljoone test kukub läbi — kogu reaalteljel pöördfunktsiooni ei ole. Horisontaaljoon lõikab parabooli kaks korda, seega ei saa peegeldus olla funktsioon. Kaks erinevat sisendit annavad sama väljundi, seega peaks oletatav pöördfunktsioon tagastama korraga kaks väärtust. Graafiku peegeldamine annab kõvera, aga mitte funktsiooni. — Horisontaaljoon lõikab parabooli kaks korda, seega ei saa peegeldus olla funktsioon.

Kitsenda määramispiirkonda ja pöördfunktsioon tuleb tagasi

Mida te teate: Lõigake piirkond lõiguni, kus funktsioon on monotoonne. Kui x ≥ 0, läbib parabool testi ja √x on seal tema pöördfunktsioon.

Test: x ≥ 0 ⇒ f⁻¹ = √x

Näidisarvutus: Kui x ≥ 0, saadab f(x) = x² väärtuse 2,5 väärtuseks 6,25 ja f⁻¹(x) = √x saadab 6,25 tagasi 2,5-ks

Ava see juhtum: piiratud ruutfunktsioon

Kitsenda määramispiirkonda ja pöördfunktsioon tuleb tagasi. Pool parabooli on monotoonne, ja sellel poolel on peegeldus taas funktsioon. Lõigake piirkond lõiguni, kus funktsioon on monotoonne. Kui x ≥ 0, läbib parabool testi ja √x on seal tema pöördfunktsioon. — Pool parabooli on monotoonne, ja sellel poolel on peegeldus taas funktsioon.

Klassikaline paar — määramis- ja muutumispiirkond vahetavad kohad

Mida te teate: eˣ ja ln x on teineteise pöördfunktsioonid. Mida üks sisse võtab, selle annab teine välja: ühe määramispiirkond on teise muutumispiirkond.

Test: f: A→B ⇒ f⁻¹: B→A

Näidisarvutus: e¹ = 2,718 ja ln(2,718) = 1. eˣ viib kõik reaalarvud positiivseteks, ln viib positiivsed tagasi kõigi reaalarvude hulka.

Ava see juhtum: eksponent ja logaritm

Klassikaline paar — määramis- ja muutumispiirkond vahetavad kohad. Kumbki kõver on teise peegeldus sirge y = x suhtes; positiivsest poolteljest saab kogu sirge. eˣ ja ln x on teineteise pöördfunktsioonid. Mida üks sisse võtab, selle annab teine välja: ühe määramispiirkond on teise muutumispiirkond. — Kumbki kõver on teise peegeldus sirge y = x suhtes; positiivsest poolteljest saab kogu sirge.

Ülesanne täielikult lahendatud

Funktsiooni f(x) = x² punkt (2, 4), mis peegeldub punktiks (4, 2) 5 sammu
Punktist (2, 4) funktsioonil f(x) = x² saab selle pöördfunktsioonil (4, 2). Tõesta, et peegeldus toimub sirge y = x suhtes — ja leia, miks funktsiooni f määramispiirkonda üldse kitsendama peab.
1. Pöördfunktsioon tühistab funktsiooni toime, nii et kui f viib elemendi a elemendiks b, viib pöördfunktsioon b elemendiks a. Koordinaatide vahetamine ongi kogu tehe ning just seepärast kuvab tööriist mõlema punkti puhul samu numbreid vastupidises järjekorras.
  
  $f^{- 1} undoes f : (a, b) \in f ⟺ (b, a) \in f^{- 1} ⟹ Q = (4, 2)$
2. See vahetus on peegeldus ning peegeldustelge saab väitmise asemel tuletada geomeetria abil. Võta kahe punkti keskpunkt.
3. Keskpunkt on (3, 3), mis asub sirgel y = x. See kehtib mis tahes paari (a, b) ja (b, a) korral, sest nende keskpunkti koordinaadid on alati võrdsed.
  
  $midpoint P Q = (\frac{2 + 4}{2}, \frac{4 + 2}{2}) = (3, 3) \in {y = x}$
4. Nüüd suund. Neid ühendava lõigu tõus on −1, mis on risti sirgega y = x, mille tõus on 1. Sirge, mis poolitab lõigu täisnurga all, on selle keskristsirge, seega sirge y = x ongi peegeldustelg.
  
  $slope P Q = \frac{2 - 4}{4 - 2} = - 1 ⊥ the line y = x$
5. Määramispiirkonna kitsenduse tingib seesama vahetus. Ilma selleta viib f nii arvu 2 kui ka −2 arvuks 4, mistõttu peaks pöördkujutus viima arvu 4 kahte kohta korraga — mis ei oleks funktsioon.
  
  $f (2) = f (- 2) = 4 ⟹ x \geq 0 is required for f^{- 1} to exist$
Vastus

Tööriist kuvab P = (2,4) ja Q = (4,2) ning teatab, et funktsioon on praeguses määramispiirkonnas pööratav. Tõestuseks on sammudest 3 ja 4 pärinev faktide paar: sirge y = x poolitab lõigu ja on sellega risti, mis ongi täpselt peegelduse tähendus. Kitsendust tasub tähele panna, sest see on tõeline kadu, mitte vormitäide — x² on täiesti korras funktsioon, millel lihtsalt puudub pöördfunktsioon, ning ruutjuur on ühe teise, väiksema funktsiooni pöördfunktsioon, mida oleme samuti kokku leppinud kutsuma nimega x². Lülita kitsendus välja ja jälgi, kuidas peegeldatud kõver lakkab olemast funktsioon.

$reflection in y = x : bisected by it and perpendicular to it$

Allikad (2)

The condition under which an inverse exists at all, stated precisely: W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd edition, Theorem 9.24 (the inverse function theorem). McGraw-Hill, 1976.
A function with no elementary formula, which exists only as an inverse: R. M. Corless, G. H. Gonnet, D. E. G. Hare, D. J. Jeffrey and D. E. Knuth, "On the Lambert W function." Advances in Computational Mathematics 5(1), 329–359, 1996.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-07-27

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Matemaatika õppetunnid →

Näiteülesanded

lineaarne paar - Lineaarsed funktsioonid on kõikjal pööratavad ning täpselt peegelsümmeetrilised.
ruutfunktsioon (ei ole pööratav) - x^2 ei ole kõigi reaalarvude korral üksühene, seega pöördfunktsiooni globaalselt ei eksisteeri.
piiratud ruutfunktsioon - Piirates x^2 vahemikuga x>=0, taastub pööratavus ja saadakse sqrt(x).
eksponent ja logaritm - exp ja ln moodustavad klassikalise pöördfunktsioonide paari, mis peegelduvad sirge y=x suhtes.