Koonuselõigete parameetrite uurija

Muuda keskpunkti, kujuparameetreid ja orientatsiooni, et näha võrrandi geomeetria reaalajas uuenemas.

Näidisarvutus — Koonuselõigete parameetrite uurija

ellipsi normaalkuju	1
Keskpunkt	(0,0)
suur pooltelg	4
väike pooltelg	3
fookuskaugus c	2.645751

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Ainult paraboolile joonistatakse juhtjoon, ja tipp asub täpselt keskel 🖖

Vaheta eelseadete vahel ja üks rida ilmub ainult parabooli juures: juhtjoon. See ei ole teiste kahe puudus — see on definitsioon. Võta parabolaRight: tipp on punktis (−2, 0), fookus punktis (1, 0) ja juhtjoon sirgel x = −5, mis jätab tipu täpselt 3 kaugusele mõlemast. See kaugus on p, ja just seetõttu lükkab p muutmine fookust ja juhtjoont sümmeetriliselt laiali. Parabool on kõver, mille punktid on fookusest ja sirgest võrdsel kaugusel, nii et suhe on naelutatud ühele; ellips ja hüperbool teatavad selle asemel c võrra nihutatud fookustest.

Kust nimi pärineb 🖖

Sõna „koonuselõige" on otsene: kui lõikad kaksikkoonust tasandiga, on lõikeserv üks neist kõveratest. Hoia tasand rõhtsalt ja saad ringi; kalluta veidi, tekib ellips; kalluta koonuse küljega paralleelseks, tekib parabool; kalluta veelgi, nii et lõikad mõlemat poolt, ja saad hüperbooli kaks haru. Iga kuju selles tööriistas on lihtsalt teistsugune lõikenurk.

Fookus koonuse sees 🖖

Võrrandina joonistatud koonuselõikel on fookus, koonusest lõigatud koonuselõikel aga lõiketasand — näiliselt seostamatud. 1822. aastal näitas Germinal Dandelin, et tegu on sama punktiga: aseta kera koonuse sisse nii, et see puudutab korraga nii koonust kui ka lõiketasandit, ja kera puutepunkt ongi täpselt fookus. Ellipsi puhul mahub kaks sellist kera, mis määravad mõlemad fookused.

Ülesanne täielikult lahendatud

Ellips pooltelgedega 4 ja 3 ning fookustega c = 2,6458 5 sammu
Ellipsi, mille poolteljed on 4 ja 3, fookused asuvad kaugusel c = 2,6458. Tuleta see tulemus ning seejärel omadus, mis teeb kujundist üldse ellipsi.
1. Need kolm pikkust ei ole sõltumatud. Asudes väiketelje tipus, on kaks fookuskaugust võrdsed, moodustades täisnurkse kolmnurga kaatetitega b ja c ning hüpotenuusiga a — seega a² = b² + c², ning Pythagorase seos peitub igas ellipsis.
  
  $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1, a = 4, b = 3$
2. Avaldades c, saame √7. Tööriist kuvab 2,645751, mis ongi see ruutjuur.
  
  $a^{2} = b^{2} + c^{2} ⟹ c = 16 - 9 = 7 = 2.645751$
3. Ekstsentrilisus on c ja a suhe ning see on kujuparameeter — ainus arv, mis näitab suurusest sõltumatult, kui kaugel on kõver ringjoonest.
  
  $e = \frac{c}{a} = \frac{2.645751}{4} = 0.6614$
4. Sellest tuleneb defineeriv omadus: igast punktist kahe fookuseni mõõdetud kauguste summa on sama iga punkti jaoks ja võrdub 2a. Kontrolli seda suurtelje tipus, kus kaugused on a − c ja a + c.
  
  $r_{1} + r_{2} = 2 a = 8 for every point on the curve$
5. Ekstsentrilisus klassifitseerib ka kogu kõverate sugukonna. Null tähistab ringjoont, lähenemine arvule 1 parabooli, üle 1 hüperbooli — valem jääb läbivalt samaks.
  
  $e \to 0 \Rightarrow circle; e \to 1 \Rightarrow parabola; e > 1 \Rightarrow hyperbola$
Vastus

Tööriist kuvab a = 4, b = 3 ja c = 2,645751. Jääva summa omadus on see, mida tasub meeles pidada, sest see on korraga nii definitsioon kui ka konstruktsioon: kaks nööpnõela ja pikkusega 2a + 2c nöörisilm joonistavad täpselt selle kõvera — ja see pole käsitöötrikk, vaid füüsiliseks tehtud definitsioon. See selgitab ka, miks orbiidid on ellipsid, mille fookuses ja mitte keskpunktis asub Päike — fookus on koht, kus peitub füüsika, keskpunkt on aga vaid joonise keskkoht.

$c = a^{2} - b^{2} = 7, e = 0.661; r_{1} + r_{2} = 2 a defines the ellipse$

Allikad (1)

Insight block 3 — the sphere that turns a cutting plane into a focus: G. P. Dandelin, "Mémoire sur quelques propriétés remarquables de la focale parabolique." Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Bruxelles 2, 1822.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-05-21

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Matemaatika õppetunnid →

Näiteülesanded

lai ellips - Pooltelgede pikkused 5 ja 3 annavad fookuskauguseks c = 4. Ellipsi sees on 3-4-5 kolmnurk ning ekstsentrilisus on täpselt 0,8.
kõrge ellips - Sama mõõtmetega 5 × 3 ellips nagu lai ellips, kuid püstiasendis ja nihutatud punkti (-1; 1). Endiselt c = 4 ja ekstsentrilisus 0,8: asend ei muuda kuju.
üles avanev parabool - Tipp on punktis (0; -2), fookus koordinaatide alguspunktis ja juhtsirge y = -4. Tipp asub mõlemast 2 kaugusel; sellel põhinebki parabooli definitsioon.
paremale avanev parabool - p = 3, seega asuvad fookus (1; 0) ja juhtsirge x = -5 tipust vastassuundades 3 kaugusel. Fookust läbiva kõõlu pikkus on 4p = 12.
hüperbool x-telje suunas - Kui a = 4 ja b = 2, siis c = 4,472136 ning asümptootide tõus on 0,5. Ekstsentrilisus 1,118034 ületab parabooli väärtust 1 vaid pisut.
hüperbool y-telje suunas - Kui a = 3 ja b = 4, siis c = 5. Tekib sama 3-4-5 kolmnurk nagu laia ellipsi korral, ent siin kehtib c² = a² + b², mitte a² = b² + c². Ekstsentrilisus on 1,666667.