Funktsioonide liitmise (kompositsiooni) kalkulaator

Sisesta f(x), g(x) ja x0, et liita funktsioonid, võrrelda järjekorda ning näha iga arvutussammu.

Algväärtused — Funktsioonide liitmise (kompositsiooni) kalkulaator

Väline funktsioon f(x)	x²
f(x) avaldis	x^2
Sisemine funktsioon g(x)	sin(x)
g(x) avaldis	sin(x)
Arvutuspunkt x	0

Muuda ülal mõnda juhtelementi ja tulemused arvutatakse uuesti.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Järjekorra vahetamine muudab vastust, mitte ainult kirjaviisi 🖖

Kompositsioon ei ole kommutatiivne ja vahe ei ole peen. Võta f(x) = x² ja g(x) = 2x + 3 kohal x = 2 — üks selle tööriista eelseadetest. Kui minna kõigepealt läbi g, saame f(g(2)) = f(7) = 49. Kui kõigepealt läbi f, saame g(f(2)) = g(4) = 11. Samad kaks funktsiooni, sama sisend, ja vastused erinevad 38 võrra. Just seepärast tasub siinset vahetusnuppu tõesti vajutada, mitte oletada: f∘g ja g∘f on tõeliselt erinevad funktsioonid ning tavapärane reegel a × b = b × a siia ei kandu.

Kaks masinat järjest 🖖

Funktsioonide komponeerimine tähendab lihtsalt nende järjest rakendamist: f(g(x)) annab x-i esmalt funktsioonile g ja suunab saadud vastuse seejärel funktsiooni f. Seda võib kujutleda koosteliinina, kus iga tööjaam muudab detaili enne selle edasisaatmist. Arvuta alati kõige sisemistest sulgudest väljapoole: g(x0) tuleb enne funktsiooni f rakendamist.

Korduvas kompositsioonis peituv fraktal 🖖

Kui komponeerida üht lihtsat funktsiooni ikka ja jälle iseendaga, jätad algebra selja taha ja jõuad kaoseteooriasse. Iteratsioon z ↦ z² + c — sama masin, mis saab tagasi oma väljundi — on täpselt see reegel, mis joonistab Mandelbroti hulga: punkt kuulub hulka ainult siis, kui see lõputu enesekompositsioon jääb tõkestatuks. Nii on tagasihoidlik f(g(x)) nupp vaid sammu kaugusel lõpmata peente fraktalite loomisest.

Levinud eksiarvamus

Kokkulangevus ühes x-väärtuses ei tõesta, et kaks liitfunktsiooni on võrdsed. Selleks, et näidata f(g(x)) = g(f(x)) funktsioonidena, peavad need kattuma kogu ühises määramispiirkonnas.

Ülesanded täielikult lahendatud

Funktsioonide f(x) = x² ja g(x) = 2x + 3 kompositsioonid 5 sammu
f(x) = x², g(x) = 2x + 3, kohal x₀ = 2. Moodustage liitfunktsioonid mõlemas järjekorras ning seejärel lahendage keerulisem küsimus, mille paneel lahtiseks jätab: kas see erinevus on juhuslik kokkusattumus x₀ = 2 valikust või erinevad need kaks liitfunktsiooni iga x korral?
1. Moodustage liitfunktsioon sümbolkujul enne arvuliste väärtuste leidmist. Avaldises f∘g rakendatakse sisemist funktsiooni esimesena, seega võetakse ruutu kogu avaldis 2x + 3 — mitte x ega 3 eraldi.
  
  $(f \circ g) (x) = f (2 x + 3) = (2 x + 3)^{2} = 4 x^{2} + 12 x + 9$
2. Vastupidises järjekorras toimub ruutuvõtmine esimesena, seega korrutatakse kahega ja nihutatakse just avaldist x². Mõlemad tulemused on ruutfunktsioonid, kuid ainult ühel neist on lineaarliige ning see liige ongi kogu erinevuse põhjuseks.
  
  $(g \circ f) (x) = g (x^{2}) = 2 x^{2} + 3$
3. Asendage mõlemasse x₀ = 2. Jälgida tuleb just vaheväärtusi: ühes järjekorras läheb välimisse funktsiooni 7 ja teises 4, seega esitatakse välimisele funktsioonile igal korral erinev küsimus. Paneel kuvab need kõik — 7 ja 4 sisenemisel, 49 ja 11 väljumisel.
  
  $(f \circ g) (2) = 7^{2} = 49, (g \circ f) (2) = 2 \cdot 4 + 3 = 11$
4. Lahutamine muudab ühes punktis tehtava võrdluse funktsiooniks, mida saab uurida igal pool. Selle väärtus kohal 2 on 38, mis on 49 − 11, seega pole algebraliselt midagi kaotsi läinud.
  
  $D (x) = (f \circ g) (x) - (g \circ f) (x) = 2 x^{2} + 12 x + 6, D (2) = 38$
5. Vahe on ruutfunktsioon positiivse x² kordajaga, mistõttu saab see nullistuda maksimumselt kaks korda — ja diskriminant 36 − 12 on positiivne, seega see tõepoolest nullistub kaks korda. Jäänud on vaid võrrandi lahendamine.
  
  $D (x) = 0 ⟺ x^{2} + 6 x + 3 = 0 ⟺ x = - 3 \pm 6 = - 0.5505, - 5.4495$
Vastus

49 vastu 11, vahega 38, kusjuures paneel kuvab koos nendega vaheväärtused 7 ja 4. Tugevam tulemus on see, kuhu paneel ei jõua: kogu reaalarvsirge ulatuses kattuvad need kaks liitfunktsiooni täpselt 2 punktis, x = −3 ± √6, mis on −0,5505 ja −5,4495. Ainult esimene neist jääb graafiku joonistatud akna −3 kuni 3 sisse. Seega ei olnud x₀ = 2 õnnelik valik — peaaegu iga x₀ oleks andnud erinevuse ning paneeli otsus "ei võrdu" on vastus, mille see annaks kõigi peale 2 sisendi. Samuti need lõikuvad, mitte ei puutu, ning seda näitab ahelreegel: vahe tuletise leidmisel saadakse 2(2x + 3)·2 − 2·2x = 4x + 12, mis kahel juurel on +9,798 ja −9,798 — absoluutväärtuselt võrdsed, vastandmärkidega, sest juurte vahel kulgeb kõrgemalt just g∘f, 12 võrra kohal x = −3, kus graafiku aken algab.

$D^{'} (x) = 2 (2 x + 3) \cdot 2 - 2 \cdot 2 x = 4 x + 12, D^{'} (- 3 \pm 6) = \pm 46 = \pm 9.798$
Kompositsioonide määramispiirkond funktsioonidele f(x) = √x ja g(x) = x² − 1 5 sammu
f(x) = √x, g(x) = x² − 1, kohal x₀ = 0,5. Üks järjekord annab tulemuseks arvu ja teine ei anna üldse midagi. Leidke kummagi liitfunktsiooni määramispiirkond ning seejärel leidke kõik x väärtused, mille korral need kaks kattuvad.
1. Jälgige liitfunktsiooni f∘g teekonda läbi keskosa ja vaadake, kus see katkeb. 0,5 on funktsiooni g jaoks täiesti lubatud sisend ning −0,75 on funktsiooni g täiesti lubatud väljund. Lubamatu on aga edasiandmine: −0,75 ei ole arv, millest saaks võtta ruutjuurt. Paneel kuvab −0,75 ning seejärel pole tal liitfunktsiooni enda jaoks ühtegi arvu kuvada.
  
  $g (0.5) = 0. 5^{2} - 1 = - 0.75 ⟹ f (g (0.5)) = - 0.75 \in / R$
2. Teine järjekord elab sama edasiandmise üle, sest √0,5 = 0,707107 on funktsiooni g jaoks lubatud sisend. Mõlemad need arvud on paneelil olemas ning kummalegi liitfunktsioonile pole antud teistsugust x₀ väärtust.
  
  $f (0.5) = 0.5 = 0.707107 ⟹ g (f (0.5)) = 0.70710 7^{2} - 1 = - 0.5$
3. Kirjutage mõlemad määramispiirkonnad korrektselt üles, liikudes seestpoolt väljapoole. f∘g nõuab, et g väljund oleks mittenegatiivne, mis on tingimus ruudule x²; g∘f nõuab vaid seda, et x endast saaks ruutjuurt võtta.
  
  $f \circ g : x^{2} - 1 \geq 0 ⟺ ∣ x ∣ \geq 1; g \circ f : x \geq 0$
4. Oma määramispiirkonnas iga liitfunktsioon lihtsustub, kusjuures üks neist lihtsustub üllatavalt: ruutjuure ruutu võtmine tühistab selle, seega on g∘f sirgjoon. 2 kõverjoonelise funktsiooni liitmisel (kompositsioonil) on saadud tulemus, milles pole üldse kõverust.
  
  $(f \circ g) (x) = x^{2} - 1, (g \circ f) (x) = (x)^{2} - 1 = x - 1$
5. Seal, kus mõlemad on määratud, küsige, millal need on võrdsed. Ruut x² taandub mõlemal pool välja ja järelejäänu on lineaarne, mistõttu on neil maksimaalselt 1 lahend.
  
  $x^{2} - 1 = x - 1 ⟺ x^{2} - 1 = x^{2} - 2 x + 1 ⟺ x = 1$
Vastus

Avaldisel f(g(0,5)) puudub väärtus, samal ajal kui g(f(0,5)) = −0,5, kusjuures otsustavate vaheväärtustena on paneelil −0,75 ja 0,707107. Järjekord muutis siin määramispiirkonda enne, kui see muutis ühtegi väärtust, ning see on erinevus, mida ükski x₀ valik ei saa parandada: f∘g on olemas vaid seal, kus |x| ≥ 1, ning g∘f vaid seal, kus x ≥ 0, seega on neil ühine vaid [1, ∞). Graafiku joonistatud akna −3 kuni 3 korral kõver f∘g lihtsalt puudub terve ühiku ulatuses mõlemal pool 0, samal ajal kui sirge g∘f kulgeb otse läbi. Seal, kus need kattuvad, kohtuvad need täpselt ühe korra, kohal x = 1, kus mõlemad võrduvad arvuga 0, ning seejärel lahknevad kohe: kohal x = 3 on nende väärtused √8 = 2,828 ja 2. Väidet "funktsioonide kompositsioon ei ole kommutatiivne" õpetatakse tavaliselt väitena väärtuste kohta. Siin on see väide selle kohta, milliseid küsimusi üldse esitada saab.

$dom (f \circ g) \cap dom (g \circ f) = [1, \infty), 3^{2} - 1 = 2.828 \neq = 2$

Allikad (1)

Insight block 3 says a fractal is hiding in repeated composition. This is the field that grew out of asking where: J. Milnor, "Using the Fatou Set to Study the Julia Set", in Dynamics in One Complex Variable, 174–218. Princeton University Press, 3rd edition, 2011.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-06-03

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Matemaatika õppetunnid →

Näiteülesanded

lineaarne pärast ruutfunktsiooni - 2x + 3 pärast funktsiooni x² - 1, kui x = 2: ühes järjekorras f(3) = 9, teises g(7) = 48. Samad funktsioonid, tulemuste vahe 39.
ruutfunktsioon pärast lineaarset - x² pärast funktsiooni 2x + 3, kui x = 2: ühes järjekorras f(7) = 49, teises g(4) = 11; tulemuste vahe on 38. Lahendusega ülesandes uuritakse seejärel, kas mõlemad järjestused annavad kunagi sama tulemuse.
ruut pärast siinust - f(g(1)) ruudustab siinuse: sin²(1) = 0,7081. g(f(1)) võtab ruudu siinuse. Kuna 1² = 1, on tulemus lihtsalt sin(1) = 0,8415.
määramispiirkonna näide - Ainus valik, mille puhul ühes järjekorras pole väärtust üldse olemas: g(0,5) = -0,75 ja selle ruutjuur on määramata, vastupidises järjekorras saadakse aga -0,5. Tehete järjekorrast võib sõltuda seegi, kas vastus on olemas.
võrdne ühes punktis - x² liidetud ühikfunktsiooniga — mõlemad järjekorrad annavad x², sest ühikfunktsioon on ainus, mis liitmisel midagi ei muuda