Koonuselõigete uurija

kaudne kooniline kõver kujust Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0

Näidisarvutus — Koonuselõigete uurija

Võrrand	0
Klassifitseerimisreegel	Δ<0⇒Ellips,Δ=0⇒Parabool,Δ>0⇒Hüperbool
Klassifikatsioon	Ellips

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

diskriminant on geomeetriline faasipiir 🖖

Diskriminant Δ = B² - 4AC on kooniliste lõigete faasipiir: Δ < 0 annab ellipsi tüüpi kõveraid, Δ = 0 annab parabooli tüüpi kõveraid ja Δ > 0 annab hüperbooli tüüpi kõveraid. Lineaarliikmed D ja E nihutavad kõverat tasandil, samal ajal kui F määrab taseme väärtuse.

Üks koonus, kõik kõverad 🖖

Suuna taskulamp otse seinale ja kiir joonistab ringi; kalluta seda ning ring venib ellipsiks, avaneb parabooliks ja lõpuks laguneb hüperbooliks. Kõik neli on sama valguskoonuse lõiked. See tööriist teeb vastupidist: kuue kordaja A–F põhjal loeb välja, millise lõike sa oled joonistanud. Ring on lihtsalt eriline ellips, kus A = C ja B = 0.

orbiidid valivad koonuselõike energia järgi 🖖

Newton näitas, et iga keha pöördruudulise gravitatsiooni all liigub mööda koonuselõiget, mille ühes fookuses on Päike, ja koguenergia märk otsustab, milline see on: negatiivne energia seob keha ellipsiks, täpselt null annab paraboolse põgenemise ja positiivne energia avab hüperbooli. Nii teadsid astronoomid, et ʻOumuamua (2017) ja komeet 2I/Borisov (2019) tulid Päikesesüsteemist väljastpoolt — nende orbiidid olid mõõdetavalt hüperboolsed (e > 1), nii et miski ei suutnud neid tagasi tõmmata.

Koonuselõigete teooria — Koonus ja lõiketasand

Koonuselõigete klassifitseerimine: Lõiketasandist võrrandini

Iga koonuselõige tekib topeltkoonuse ja tasandi lõikumisel. Tasandi kaldenurk määrab kõverate sugukonna, mida klassifitseeritakse diskriminandi Δ = B² - 4AC ja ekstsentrilisuse e abil.

Ringjoon — Konstantne raadius ja null-ekstsentrilisus x² + y² = r²

Ellips — Kaks fookust ja kinnine orbiit x²/a² + y²/b² = 1

Parabool — Võrdne kaugus fookusest ja juhtjoonest y = a(x − h)² + k

Hüperbool — Kaks lahtist haru ja asümptoodid x²/a² − y²/b² = 1

Kõdunud koonuselõiked — Lõige läbi tipu Ax² + Cy² = 0

Pööratud koonuselõiked — Segaliige Bxy tan(2θ) = B / (A − C)

Ringjoon — Konstantne raadius ja null-ekstsentrilisus

Antud tingimused: Diskriminant Δ < 0, A = C ≠ 0, B = 0 (või e = 0)

Võrrand: x² + y² = r²

Lahendatud näide: x² + y² = 9 ⟹ Ringjoon keskpunktiga (0,0) ja raadiusega r = 3

Ava see koonuselõige: ringjoon

Ringjoon — Konstantne raadius ja null-ekstsentrilisus. Ringjoon: Lõiketasand risti koonuse sümmeetriateljega. Diskriminant Δ < 0, A = C ≠ 0, B = 0 (või e = 0) — Ringjoon: Lõiketasand risti koonuse sümmeetriateljega.

Ellips — Kaks fookust ja kinnine orbiit

Antud tingimused: Diskriminant Δ < 0, A ≠ C või B ≠ 0 (0 < e < 1)

Võrrand: x²/a² + y²/b² = 1

Lahendatud näide: 4x² + 9y² = 36 ⟹ Pooltelg a = 3, pooltelg b = 2

Ava see koonuselõige: kaldu ellips

Ellips — Kaks fookust ja kinnine orbiit. Ellips: Kergelt kaldus lõiketasand läbi ühe koonuse poole. Diskriminant Δ < 0, A ≠ C või B ≠ 0 (0 < e < 1) — Ellips: Kergelt kaldus lõiketasand läbi ühe koonuse poole.

Parabool — Võrdne kaugus fookusest ja juhtjoonest

Antud tingimused: Diskriminant Δ = B² - 4AC = 0 (e = 1)

Võrrand: y = a(x − h)² + k

Lahendatud näide: y - x² = 0 ⟹ Tipp (0,0), fookus (0, 0,25)

Ava see koonuselõige: parabool

Parabool — Võrdne kaugus fookusest ja juhtjoonest. Parabool: Lõiketasand paralleelne koonuse moodustajaga. Diskriminant Δ = B² - 4AC = 0 (e = 1) — Parabool: Lõiketasand paralleelne koonuse moodustajaga.

Hüperbool — Kaks lahtist haru ja asümptoodid

Antud tingimused: Diskriminant Δ = B² - 4AC > 0 (e > 1)

Võrrand: x²/a² − y²/b² = 1

Lahendatud näide: x² - y² = 4 ⟹ Kaks haru asümptootidega y = ±x

Ava see koonuselõige: hüperbool

Hüperbool — Kaks lahtist haru ja asümptoodid. Hüperbool: Järsk lõiketasand läbi koonuse mõlema poole. Diskriminant Δ = B² - 4AC > 0 (e > 1) — Hüperbool: Järsk lõiketasand läbi koonuse mõlema poole.

Kõdunud koonuselõiked — Lõige läbi tipu

Antud tingimused: Lõiketasand läbib täpselt koonuse tipupunkti

Võrrand: Ax² + Cy² = 0

Lahendatud näide: x² + y² = 0 (Üks punkt) või x² - y² = 0 (Kaks lõikuvat sirget y = ±x)

Ava see koonuselõige: kõdunud sirged

Kõdunud koonuselõiked — Lõige läbi tipu. Kõdunud lõige: Lõikamine läbi tipu paneb kõvera kokku langema. Lõiketasand läbib täpselt koonuse tipupunkti — Kõdunud lõige: Lõikamine läbi tipu paneb kõvera kokku langema.

Pööratud koonuselõiked — Segaliige Bxy

Antud tingimused: Segaliige B ≠ 0 võrrandis Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0

Võrrand: tan(2θ) = B / (A − C)

Lahendatud näide: 4x² + xy + 2y² = 16 ⟹ Pööratud ellips kaldus telgedega

Ava see koonuselõige: peaaegu parabool

Pööratud koonuselõiked — Segaliige Bxy. Pööratud koonuselõige: Segaliige Bxy kallutab peakujundi telgi. Segaliige B ≠ 0 võrrandis Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 — Pööratud koonuselõige: Segaliige Bxy kallutab peakujundi telgi.

Allikad (1)

Insight block 3 — the hyperbolic orbit that proved an object came from outside: K. J. Meech et al., "A brief visit from a red and extremely elongated interstellar asteroid." Nature 552, 378–381, 2017 — 1I/ʻOumuamua, whose positive orbital energy is what identified it.

Ülesanne täielikult lahendatud

Nurk, mille võrra viltune ellips on kaldu, selle kaks telge ja ekstsentrilisus 5 sammu
4x² + xy + 2y² = 16 on elips ja xy-liige tähendab, et see asetseb viltu. Leia selle kaldenurk, mõlemad teljed ja ekstsentrilisus — millest ühtegi see paneel ei kuva.
1. Diskriminant määrab kõigepealt kõverate sugukonna. See on negatiivne, seega on kõver elips ja ükski pööramine ega nihutamine ei saa seda muuta.
  
  $Δ = B^{2} - 4 A C = 1 - 4 (4) (2) = 1 - 32 = - 31 < 0$
2. Kirjuta ruutosa sümmeetrilise maatriksina, kus xy kordaja on jagatud kahe diagonaalivälise elemendi vahel. Selle determinant on 7,75 ja diskriminant on sellest täpselt −4 korda suurem — sama kontroll teises tähistuses.
  
  $M = (A B /2 B /2 C) = (4 0.5 0.5 2), det M = 8 - 0.25 = 7.75 = - \frac{Δ}{4}$
3. Telgede pööramine nurga θ võrra muudab kordajat B ning pööre, mis selle täielikult eemaldab, rahuldab tingimust tan 2θ = B/(A − C). Lahendamine annab kaldenurgaks umbes 13,3°.
  
  $tan 2 θ = \frac{B}{A - C} = \frac{1}{2} ⟹ θ = 13.282 5^{\circ}$
4. Pööratud koordinaatsüsteemis ei ole võrrandil segaliiget ning kaks uut kordajat on selle maatriksi omaväärtused. Elips on seejärel oma tuttaval kujul.
  
  $λ = \frac{6 \pm 5}{2} = 4.118, 1.882 ⟹ 4.118 x^{'2} + 1.882 y^{'2} = 16$
5. Siit tulenevad poolteljed ja koos nendega ekstsentrilisus: 0,737. See on selgelt väljavenitatud elips — lühem telg on 68% pikemast ja ühelgi Päikesesüsteemi planeedil ei ole selle kujule ligilähedastki orbiiti.
  
  $a = \frac{16}{1.882} = 2.916, b = \frac{16}{4.118} = 1.971, e = 1 - \frac{b ^{2}}{a ^{2}} = 0.737$
Vastus

Tööriist kuvab Δ = −31 ja liigitab selle tüübiks Elips. 2. samm selgitab, miks seda liigitust saab usaldada. Telgede pööramine muudab kordajaid A, B ja C eraldi, kuid see ei saa muuta nende moodustatud maatriksi determinanti, ning diskriminant pole midagi muud kui see determinant korrutatuna −4-ga. Seega on elipsi-parabooli-hüperbooli piir kõvera omadus, mitte koordinaatide oma, millesse te selle juhtusite joonestama — mis on täpselt see, mida üks liigitus peab olema, et sellest kasu oleks.

$Δ = - 4 det M, and det M survives rotation$

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-08-17

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Matemaatika õppetunnid →

Näiteülesanded

ringjoon - x^2 + y^2 = 9 on ringjoon, ellipsi erijuht.
kaldu ellips - Nullist erinev xy-liige annab pööratud ellipsi.
parabool - y = x^2 annab parabooli klassifikatsiooni (delta=0).
hüperbool - x^2 - y^2 = 4 on kaheharuline hüperbool.
kõdunud sirged - Siin on Δ = 4, täpselt nagu hüperbooli eelseadistusel. Liigituseks on märgitud Kõdunud. Nende kahe joone ainus erinevus on F, mis on −4 asemel 0, kuid avaldises B² − 4AC see üldse ei esine. Võrrand x² − y² = 0 tegurdub kujule (x − y)(x + y) = 0. Saame lihtsalt kaks asümptooti. Just selliseks hüperbool muutubki, kui lasta sel nendega kokku langeda. Diskriminant määrab perekonna. See ei suuda aga öelda, kas kõver ise säilis.
peaaegu parabool - Saame täpselt Δ = 2² − 4(1)(1) = 0. Seega on liigituseks märgitud Parabool, mitte midagi ligilähedast. Rühmitatuna on võrrand (x + y)² = 4y. Liige xy on parabooli telgedelt eemale pööranud, muutmata seejuures joone olemust. Vähenda B väärtust ühe kümnendiku võrra ja Δ muutub negatiivseks. Kõver sulgub ellipsiks. Suurenda seda hoopis sama palju ning joon avaneb hüperbooliks. Kogu perekond sõltubki sellest ühest arvust.