Fermi hinnang

Koosta umbkaudsete hinnangute ahel. Ütle, kui palju võib igaüks neist eksida. Tööriist näitab, kui väärtuslikuks inimesed vastust peavad ja mis on selle tegelik väärtus.

Näidisarvutus — Fermi hinnang

Hinnang	100
Tavaliselt vahemikus	×2,8
Tavaline eksimus	×2

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Halvim stsenaarium on 729. Tegelikkuses juhtub 2,85. 🖖

Määra kuuele tegurile kordajaks ×3 ja võrdle halvimat juhtu tavalise eksimusega. Halvim juht ehk olukord, kus iga hinnang eksib samas suunas, on 3⁶ = 729. Tavaline eksimus on aga 2,85 ning 86% juhtudest on veategur väiksem kui kümme. See vahe ongi kogu meetodi sisu. Fermi enda ahel on veelgi täpsem, sest ta teadis Chicago rahvaarvu paremini kui klaveriomanike hulka. Tema tulemus peatub 100 häälestaja juures veavahemikuga 2,8 ja 98% juhtudest on viga alla kümnekordse. Kuus arvu, mitte ainsatki järelevaatamist ja tulemus on piisavalt täpne, et selle põhjal asjalikult arutleda.

Pärast logaritmimist on korrutamine lihtsalt liitmine 🖖

Korrutises vead ei kuhju. Arvude korrutamine tähendab tegelikult nende logaritmide liitmist. Sõltumatud liidetavad suurused koonduvad ruutude summana. Seega n teguri hajuvus kasvab nagu √n, mitte n. Kuus tegurit on 2,4 korda ebakindlamad kui üks tegur, mitte kuus korda. See tähendab, et seitsmenda teguri lisamine parandab hinnangut ühe teguri kohta. Muuda eelseadistustes ahela pikkust. Sa näed, kuidas vahemik kasvab palju aeglasemalt kui halvim stsenaarium selle kõrval.

Kus meetod veab alt ja miks Drake on kuulus näide 🖖

Klõpsa nupul Kui see lakkab töötamast. Viis tegurit kordajaga ×3 ja üks kordajaga ×10 000. See on laias laastus see, mida Drake'i võrrand palub sul uskuda tsivilisatsiooni kuuldavuse kestuse kohta. Vahemik paisub ×246 peale. Tõenäosus jääda kümnekordse vea piiresse langeb 32% peale. Ebakindluse osakaalu veerg paneb 93% kogu kahtlusest sellele ühele reale. Vigade tasandumine nõuab piiratud vigu. Sa tead päriselt Chicago rahvaarvu 50% täpsusega. Ühe teguri ülehindamine ja teise alahindamine annab seega sulle eelise. Mitte keegi ei tea Drake'i viimast tegurit isegi nelja suurusjärgu täpsusega. Seega pole midagi, millega seda tasandada, ning √n ei saa siin aidata. Drake'i võrrandi leht selgitab selle teist poolt. Korrutis variseb kokku oma nõrgima lüli tõttu.

Ülesanded täielikult lahendatud

Liitrid vett, mida 500 000 elanikuga linn aastas joob 7 sammu
Mitu liitrit vett joob 500 000 elanikuga linn ühe aasta jooksul? Hinda igat arvu ja arvuta seejärel, millise ebatäpsuse need hinnangud kaasa tõid.
1. Alustame ahelast. Ainult joogivesi, duši all käimist arvestamata: umbes 2 liitrit inimese kohta päevas, 365 päeva, pool miljonit inimest.
  
  $2 \times 365 \times 500, 000 = 365, 000, 000$
2. Kolmsada kuuskümmend viis miljonit liitrit. Kui palju tohib iga tegur eksida? Rahvaarv pärineb rahvaloendusest, seega võtame kordajaks ×1,2. Need 2 liitrit on aga puhas oletus. Mõni joob 3, teine jälle 1,3 liitrit. Seega on kordajaks ×1,5. Päevade arv aastas on aga täpne.
  
  $σ_{i} = \frac{ln k _{i}}{3} : \frac{ln 1.5}{3} = 0.234, \frac{ln 1.2}{3} = 0.105$
3. Iga tegur, mille määramatus on ×k, lisab logaritmi hajuvusele ln(k)/√3. Sõltumatud mõjud liituvad ruutsummana.
  
  $σ = 0.23 4^{2} + 0.10 5^{2} = 0.257$
4. Üks standardhälve annab kordajaks 1,3. Aus vastus asub seega kuskil 365 miljoni liitri kandis ning üle 30% suurune eksimus oleks tõeliselt üllatav.
  
  $e^{0.257} = 1.29$
5. Võrdle seda nüüd esmase kartusega. Kui mõlemad hinnangud eksiksid samas suunas, oleks sinu viga 1,2 × 1,5 = 1,8. Tegelik hajuvus on 1,3 ning just nende kahe arvu vahe teebki säärase hindamise vaeva vääriliseks.
  
  $1.2 \times 1.5 = 1.8 vs 1.29$
6. Kogu √n loogika eeldab vigade sõltumatust. Kui hindasid rahvaarvu aegunud andmete põhjal ja leidsid sama arvu abil ka majapidamiste hulga, tegid sa üht viga kaks korda ning see ei taandu iseenesest.
  
  $σ_{tot} = \sum σ_{i}^{2} ⟸ Cov (i, j) = 0$
7. See ongi ohukoht, mida Fermi hinnang seestpoolt ei taju. Seepärast nõuabki meetod tegurite leidmist erinevatest allikatest. Rahvaloendus, füsioloogiline näitaja, kalender. Need on kolm allikat, mis võivad eksida üksteisest sõltumatult. Ühe allika kasutamine kolm korda näeb paberil täpselt samasugune välja, kuid annab sulle veavahemiku, mis on puhas väljamõeldis.
  
  $n σ ⟶ n σ (ρ = 1)$
Vastus

Umbes 365 miljonit liitrit, kusjuures üle 30% eksimus on ebatõenäoline. Halvim juht andis veaks 1,8. Tegelik vahemik on 1,3 ja nende väärtuste vahe näitabki kogu meetodi jõudu. Tööriist ei suuda sinu eest kontrollida vaid ühte asja: kas su hinnangud olid ka päriselt sõltumatud.
Südamelöögid elu jooksul, ja kas hiir saab neid päriselt vähem 7 sammu
Arvuta, mitu korda lööb inimese süda elu jooksul ja kui lai on vastuse vahemik. Otsusta seejärel, kas hiir saab päriselt vähem lööke kui inimene või ainult näib nii.
1. Viis rida, korrutatuna sinu valitud järjekorras. 70 lööki minutis 78 aasta jooksul teeb umbes 2,9 × 10⁹.
  
  $70 \times 60 \times 24 \times 365 \times 78 = 2, 869, 776, 000 \approx 2.9 \times 1 0^{9}$
2. Viiest reast saavad eksida ainult kaks. Minutid tunnis, tunnid ööpäevas ja päevad aastas on definitsioonid ning ebakindluse osakaalu veerg annab neile igaühele 0% kahtlusest, samal ajal kui südame löögisagedus ja eluiga võtavad kumbki 50%. Viis rida kahe rea ebakindlusega.
  
  $σ_{i} = \frac{ln 1.2}{3} = 0.105 (\times 2), σ = 0.105 2 = 0.149$
3. Üks standardhälve teeb teguri 1,16, mille paneel ümardab ×1,2 peale. Mõlema oletuse eksimine korraga samas suunas annab ×1,4, ja kuna kumbki oli antud piirina, mitte kaldena, on see sein, mitte saba.
  
  $e^{0.149} = 1.16, 1.2 \times 1.2 = 1.44$
4. Nii et vastus asub 2,0 ja 4,1 miljardi vahel ja mitte kusagil mujal.
  
  $[\frac{2.87 \times 1 0 ^{9}}{1.44}, 2.87 \times 1 0^{9} \times 1.44] = [1.99 \times 1 0^{9}, 4.13 \times 1 0^{9}]$
5. Nüüd samad viis rida kahe teise looma jaoks: kolm definitsiooni muutumatuna, kaks uut oletust. Hiir 600 löögiga minutis, kes elab 2 aastat, ja elevant 30 löögiga minutis, kes elab 60.
  
  $600 \cdot 60 \cdot 24 \cdot 365 \cdot 2 = 6.3 \times 1 0^{8}, 30 \cdot 60 \cdot 24 \cdot 365 \cdot 60 = 9.5 \times 1 0^{8}$
6. Elevandi kaks oletust on inimese omadest lõdvemad, seega anna neile kumbagi ×1,5. Tema vahemik ulatub siis 2,1 × 10⁹-ni ja inimese vahemik algab 2,0 × 10⁹ juurest. Need kaks puutuvad kokku ja võrdlus ei otsusta midagi.
  
  $k = 1.5 : [\frac{9.5 \times 1 0 ^{8}}{2.25}, 9.5 \times 1 0^{8} \times 2.25] = [4.2 \times 1 0^{8}, 2.1 \times 1 0^{9}]$
7. Pinguta neid. Südame löögisagedus ja eluiga on mõlemad mõõdetavad, seega on ×1,2 aus iga looma puhul, keda keegi on uurinud, ja elevandi lagi on siis 1,4 × 10⁹ inimese põranda 2,0 × 10⁹ vastu. Nüüd vahemikud lahknevad.
  
  $k = 1.2 : [\frac{9.5 \times 1 0 ^{8}}{1.44}, 9.5 \times 1 0^{8} \times 1.44] = [6.6 \times 1 0^{8}, 1.4 \times 1 0^{9}]$
Vastus

Umbes 2,9 × 10⁹ lööki, ausa vahemikuga 2,0 kuni 4,1 × 10⁹. Viiest reast kolm on definitsioonid ega kanna kahtlusest midagi, ja just seepärast käitub viis tegurit siin nagu kaks. Inimene saab hiirest või elevandist tõesti mitu korda rohkem lööke, kuid hinnang ütleb seda alles siis, kui looma enda oletused on pingutatud ×1,2 peale. ×1,5 juures vahemikud kattuvad ja kahe punkthinnangu vahe ei tähenda midagi. Just seda tasub küsida iga kahe hinnangu kohta, enne kui nendevahelist erinevust uskuda.

$σ = \sum_{i} σ_{i}^{2}, σ_{i} = 0 ⟺ k_{i} = 1$

Õpitee

Suurusjärgud

Allikad (2)

Why independent errors combine in quadrature rather than accumulating Taylor, J. R. (1997). An Introduction to Error Analysis: The Study of Uncertainties in Physical Measurements (2nd ed.). University Science Books — Chapter 3, on propagation for products and quotients.
The piano-tuner problem itself Weinstein, L. and Adam, J. A. (2008). Guesstimation: Solving the World's Problems on the Back of a Cocktail Napkin. Princeton University Press.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-08-25

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Matemaatika õppetunnid →

Näiteülesanded

Häälestajad Chicagos - Fermi enda ahel. Ühtegi arvu ei otsitud järele. Tulemuseks on 100 häälestajat ja aus vahemik on 2,8-kordne. See on reaalne vastus, mis põhineb vaid kuuel hinnangul.
Südamelööke elu jooksul - Iga tegur on siin teada vähemalt 20% täpsusega. Seetõttu hajuvus peaaegu kaob. Vastus on 2,9 miljardit lööki ja sinu hinnang jääb selle 1,2-kordsesse vahemikku.
Kui see lakkab töötamast - Viis tegurit kordajaga ×3 ja üks kordajaga ×10 000. Vahemik paisub ×246 peale. Tõenäosus jääda kümnekordse vea piiresse langeb 32% peale. See ongi Drake'i võrrandi probleem. Ükski keskmistamine seda ei paranda.