Laplace'i võrrand: statsionaarses olekus plaat

Määra ruudukujulise plaadi nelja serva temperatuurid ja vali punkt. See leht leiab seal statsionaarse temperatuuri kolmel viisil: Fourier' reast, külmast olekust samm-sammult relakseeritud võrgust ning punktist teele saadetud juhuslikest ekslejatest, lugedes kokku, millise serva kaudu nad väljuvad.

Näidisarvutus — Laplace'i võrrand: statsionaarses olekus plaat

Selle standardviga	0,35
Keskmine eksleja astutud sammude arv	91,6
Tahvli lähendus, külgi eirates	75,00

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Laplace'i võrrand: statsionaarses olekus plaat

Laplace'i võrrand, ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0, kehtib ilma sisemiste soojusallikateta ühtlase keha temperatuuri kohta pärast muutuste lakkamist. Soojus voolab mõnes kohas sisse ja teises välja, kuid ükski punkt ei saa seda juurde ega kaota. Selle lahenditel ehk harmoonilistel funktsioonidel on keskväärtuse omadus: väärtus igas punktis võrdub keskmisega üle mistahes seda punkti ümbritseva ringi, mis asub tervenisti antud piirkonna sees. Võrgul muutub see võrrand reegliks, mille kohaselt iga punkt on oma nelja naabri keskmine. Tegemist on esimese probleemiga, mille Fourier lahendas oma rea abil teoses Soojuse analüütiline teooria (1822). Selles vaadeldakse lõpmatu pikkusega plaati, mille otsa hoitakse keeva vee ja mõlemat külge jää temperatuuril selle lõplikus ja muutumatus olekus.

Mida iga sümbol tähendab

u: statsionaarne temperatuur, °C
T: serva püsiv temperatuur: T_t, T_r, T_b, T_l ülemise, parema, alumise ja vasaku jaoks
N: võrguruutude arv ühel küljel; võrgu samm on 1/N küljepikkusest
W: punktist P teele saadetud ekslejate arv

Temperatuur mingis punktis näitab kuuma servani ekslemise tõenäosust 🖖

Vajuta nupule Kuum ülal, P kolmveerandil. Reaarvutus näitab P temperatuuriks 54,05 °C. Unusta nüüd plaat ja mängi üht mängu. Alusta punktist P, astu võrdse tõenäosusega mõnda neljast naaberpunktist võrgul ja jätka nii kaua, kuni jõuad servani. 20 000 ekslejast jõuavad esimesena ülaservani 10 825. Seega lõpetab 54,13% ekslejatest 100 °C juures ja ülejäänud 0 juures, mis teeb keskmiseks 54,13 ± 0,35. Võrgu puhul on see kokkulangevus täpne, mitte ligikaudne. Ülaservas lõpetamise tõenäosus allub temperatuuriga samale reeglile. Iga punkt on oma nelja naabri keskmine, omades servadel samu väärtusi, ja võrgu 53,98 väljendab seda tõenäosust viimase numbrini. Ekslejad leiavad P temperatuuri ilma ühtegi teist punkti arvutamata. Väljaspool plaati olevad tulbad näitavad nende väljumiskohti. Enamik neist väljub ülaserva keskosa lähedalt, kuna see on kõige lähemal.

Iga punkt on mistahes seda ümbritseva ringi keskmine 🖖

Jää valiku Kuum ülal, P kolmveerandil juurde ja vaata rohelist ringi. Selle tipp on 89,97 °C ja põhi 29,46 kraadi juures ning nende vahekoht on 59,71. Terve ringi keskmine on 54,05, mis on punkti P enda temperatuur. See jääb 54,05 juurde mistahes ringi puhul ümber P, mis mahub plaadi sisse. Võrgureegel, mille järgi iga punkt on oma nelja naabri keskmine, kujutab seda omadust selle väikseimal kujul. Sel on aga üks tagajärg, mida saad punkti P ringi lohistades kontrollida. Ükski sisemine punkt ei saa olla kuumem kõigist seda ümbritsevatest punktidest. Seetõttu asuvad plaadi kuumimad ja külmimad kohad alati selle servadel. Elektrilise potentsiaali sama omadus on põhjuseks, miks ükski paigalseisvate laengute asetus ei suuda teist laengut tühjas ruumis stabiilses tasakaalus hoida, mida käsitleb lähemalt Electric Field Visualiser.

Plaadi relakseerumine on soojuse voolamine, mistõttu poole tihedam võrk nõuab neljakordset sammude arvu 🖖

Vajuta nupule Keskpunkt 10 × 10 peal, seejärel Kuum ülal, P keskel ning viimasena Keskpunkt 40 × 40 peal. Keskpunkt jõuab 25 kraadile 0,1 °C täpsusega pärast 120, 485 ja 1 945 sammu. Iga väärtuse asendamine selle naabrite keskmisega on soojusjuhtivuse võrrandi üks täpne ajasamm. See on suurim samm, mida võrk saab teha ilma ebastabiilseks muutumata. Seega on Jacobi iteratsioonisamm ajas külmutatud versioon plaadi jahtumisest, pärides soojusülekande aegluse. Vahekauguse poolitamisel katab iga samm veerandi varasemast ajast ja sama jahtumine nõuab neljakordset sammude arvu. Ekslejad maksavad täpselt sama hinda. Nende keskmine teekond servani koosneb kolmel võrgul vastavalt 29,5, 118,0 ja 467,6 sammust. Piisavalt tihe ja täpne võrk on sellisel viisil relakseerimiseks seega kulukas. Keskpunktis ei anna lisasammud üldse mingit täpsust juurde, sest nelja veerandpöörde argumendist lähtuvalt on iga võrgu vastus seal täpselt 25.

Ülesanne täielikult lahendatud

Mitut iteratsioonisammu vajaks tihe võrk? 4 sammu
20 × 20 võrk vajab külmast alustades 485 Jacobi iteratsioonisammu, enne kui plaadi keskpunkt püsib 0,1 °C piires 25 kraadist. Kui mitut sammu vajaks 1 000 × 1 000 võrk? Vajuta nupule Kuum ülal, P keskel, misjärel leht kuvab vastuseks 485.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Külmast startides säilib kõige kauem kõige sujuvam veamuster sin πx sin πy ning iga samm korrutab seda teguriga cos(π/N). Kui ülaserv on 100 juures, on selle mustri suurus keskpunktis tihedal võrgul 400/π² ja võrgul N = 20 on see sellest poole protsendi raames:
  
  $\frac{4}{π ^{2}} \times 100 \times sin \frac{π}{2} sin \frac{π}{2} = \frac{400}{π ^{2}} = 40.53$
2. See peab kahanema 0,1 °C peale, seega sammude arv s on lahendiks võrrandile 40,53 cos(π/N)^s = 0,1. 20 × 20 võrgul annab see vastuseks lehel kuvatava arvu:
  
  $s = \frac{ln ( 40 . 53/0 . 1 )}{- ln cos ( π /20 )} = \frac{6 . 0046}{0 . 012388} = 484.7 \Rightarrow 485$
3. 1 000 × 1 000 võrgul on cos(π/N) palju lähemal ühele:
  
  $- ln cos \frac{π}{1 , 000} = 4.935 \times 1 0^{- 6}, s = \frac{6 . 0046}{4 . 935 \times 1 0 ^{- 6}} = 1.22 \times 1 0^{6}$
4. Iga samm uuendab 999² sisemist punkti:
  
  $1.22 \times 1 0^{6} \times 99 9^{2} = 1.22 \times 1 0^{6} \times 998, 001 \approx 1.2 \times 1 0^{12}$
Vastus

Ligikaudu 1,22 miljonit sammu ehk umbes 1,2 × 10¹² üksiku punkti uuendust. See on ligikaudu 2 500 korda suurem võrreldes 485 sammuga 50 korda tihedama võrgu puhul. Suhte ruut näitabki, miks suuri võrke ei lahendata ainult lihtsate Jacobi iteratsioonidega.

$s \approx 1.22 \times 1 0^{6} sweeps \approx 2, 500 \times 485$

Õpitee

Soojusjuhtivuse, laine- ja Laplace'i võrrandid

Allikad (2)

Fourier's first worked example of his method: the permanent temperatures of a rectangular plate of infinite length, its base held at the temperature of boiling water and its two sides at that of ice (Arts. 163–165), solved as a series whose terms are e^(−kx) cos ky with the coefficients found by expanding 1 in cosines (Arts. 171–190): J. Fourier, The Analytical Theory of Heat, translated with notes by A. Freeman, Cambridge University Press, 1878 (Théorie analytique de la chaleur, 1822), Chapter III, Arts. 163–165, pp. 131–133, and Art. 190, p. 154.
The random-number generator the walkers use, transcribed into the page from the authors' reference C and checked against it output for output: D. Blackman and S. Vigna, xoshiro128** 1.1, reference implementation in C (public domain), 2018, https://prng.di.unimi.it/xoshiro128starstar.c.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.