Mänguri laostumine

Sul on algsumma ja siht. Panustad, kuni žetoonid saavad otsa või jõuad sihini. Alusta jõuka vastasega, seejärel jätka sama õhtut ruletilaua ääres. Liuguriga saad muuta panust ühest žetoonist kogu oma varani.

Näidisarvutus — Mänguri laostumine

Eelis igalt panustatud žetoonilt	0,00%
Tõenäosus jõuda summani 1010	0,9901%
Laostumise tõenäosus	99,0099%
Panuste arvu keskväärtus, E(T)	10 000,0
Panustatud kogusumma keskväärtus, E(S)	10 000,0
Keskmine kaotus lõpptulemuse järgi	0,00
Keskmine kaotus panuste järgi	0,00
Panus, milleks pooled mängijad on lõpetanud	220

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Mänguri laostumine

Mänguri laostumise probleemis alustab mängija a žetooniga ja panustab sõltumatutes katsetes, millest igaühe võidutõenäosus on p. Mäng lõpeb, kui žetoonid saavad otsa või nende arv jõuab sihini N. Žetoonhaaval panustades on sihini N jõudmise tõenäosus (1 − r^a)/(1 − r^N), kus r = q/p; juhul p = ½ on see a/N. Panuste arvu keskväärtus on a/(q − p) − (N/(q − p))·P(sihini N jõudmine), juhul p = ½ aga a(N − a). Iga strateegia puhul võrdub kaotuse keskväärtus eelise q − p ja panustatud kogusumma keskväärtuse korrutisega.

Mida iga sümbol tähendab

a: žetoonide arv mängu alguses
N: sihtsumma; vastasel on N − a žetooni
p: panuse suuruse puhaskasu toova võidu tõenäosus, kus q = 1 − p
T: panuste arv õhtu jooksul
S: õhtu jooksul panustatud kogusumma; iga panus läheb arvesse ühe korra

Eeldab: Iga võit toob panuse suuruse puhaskasu ja iga katse on eelmisest sõltumatu. Kaotuse korral jääd ilma kogu panusest, ka siis, kui tuleb null. Panused on täisarv žetoone ja mängija lõpetab ainult 0 või N juures.

Aus mäng võib rikkama vastasega lõppeda laostumisega 🖖

Vajuta nuppu 10 žetooni 1 000 vastu. Iga mündivise on aus ja miski lehel ei muuda selle tõenäosusi. Kõigi mängijate keskmine tulemus on täpselt null. Seepärast püsib katkendjoon 10 žetooni juures, kuigi selle all langeb üha rohkem mängijaid nulli. Ausus käib selle keskmise kohta. Sinu tõenäosus saada endale vastase 1 000 žetooni on 10/1 010 = 0,9901%. Laostuvad 99,0099% mängijatest katavad väheste võitjate võidu: kui 101 mängijast tuleb 1 tagasi 1 010 žetooniga, püsib keskmine 10 juures. Ka mängu kestus jaguneb väga ebaühtlaselt. Pooled mängijad on 220. viskeks lõpetanud, kuid õhtu keskmine pikkus on 10 × 1 000 = 10 000 viset. Keskmist kasvatavad harvad pikad mängud, mille jooksul žetoonide arv algsummast kaugele uitab. Ükski panustamisviis ei muuda tõenäosust 0,9901%: ausas mängus jõuab iga strateegia sihini N tõenäosusega a/N, nagu näitab tabeli parempoolne veerg. Julge mäng muudab õhtu kestust ja panustatud kogusummat; sihini jõudmise tõenäosus ja keskmine tulemus jäävad samaks. Kui vastase vara on piiramatu, on laostumine kindel. Grinstead ja Snell näitavad seda, lastes avaldises 1 − a/N arvul N piiramatult kasvada. Tõenäosus jõuda x žetooniga sihini N on aga x − 1 ja x + 1 žetooniga alustamise tõenäosuste aritmeetiline keskmine. Sama seos määrab plaadi temperatuuri <a href="/math/laplace-equation">Laplace’i võrrandis</a>.

Kasiino eelis rakendub igale panustatud žetoonile 🖖

Vajuta nuppu 100 topelt, žetoonhaaval. Euroopa ruletis võidad punasele panustades panuse jagu juurde ja punane tuleb 18 korral 37-st. Seega kaotad igalt panustatud žetoonilt keskmiselt 1/37 = 2,70%. Seda on kerge mõista nii: „Õhtu maksab mulle umbes 2,7% algsummast.” Heledam katkendjoon näitab, kuhu jõuaksid selle arvestusega: 97,30 žetoonini. Kõigi mängijate tegelik keskmine jääb õhtu lõpuks alla ühe žetooni. Žetoonhaaval panustades kestab 200-ni jõudmise katse keskmiselt 3 666,9 panust. Iga kord läheb mängu žetoon ja 1/37 summast 3 666,9 on 99,11. See on kaotuse keskväärtus. Täpselt sama tulemuse annab teine arvutuskäik, 100 − 200 × P(200-ni jõudmine); tulemuste tabelis on mõlemad. Nüüd vajuta nuppu 100 topelt ühe keeruga. Panustad 100 ühe korra, eelis võtab keskmiselt 2,70 ja kahekordistamise tõenäosus on 18/37 = 48,6486%. Žetoonhaaval mängijal on see 0,4466%. Kui iga panus on mängijale ebasoodne, annab julge mäng suurima võimaliku tõenäosuse sihini jõuda: panusta kogu oma vara või täpselt nii palju, kui sihist puudu jääb. Kyle Siegrist tõestab seda oma vabalt kättesaadavas õpikus Random. Vastav peatükk tugineb Lester Dubinsi ja Leonard Savage’i 1965. aasta raamatule How to Gamble If You Must. Julge mängu hind on õhtu pikkus: üks keerutus 3 666,9 asemel.

Žetoonhaaval mängides on suuremat algsummat raskem kahekordistada 🖖

Vajuta nuppu 10 topelt, žetoonhaaval: 36,8031%. Vaata seejärel tabelit ülalt alla. 50 žetooniga on kahekordistamise tõenäosus 6,2775%, 100 žetooniga 0,4466% ja 1 000 žetooniga 3,30×10⁻²²%. Julge mängu korral püsib see iga algsumma puhul 48,6486% juures. Suurem žetoonivaru lubab kauem mängida. Just pikem mäng kasvatab kaotust, sest kasiino eelis rakendub igale lisanduvale panusele. Kahekordistamise puhul taandub valem lühikeseks täpseks seoseks: ebaõnnestumise ja õnnestumise tõenäosuste suhe on (19/18)^a : 1. Iga algsummale lisatud žetoon korrutab selle suhte arvuga 19/18, kui sihiks jääb algsumma kahekordistamine. 100 žetooni puhul on suhe 222,9 : 1. Abraham de Moivre tuletas üldvalemi 1711. aastal võttega, mida kirjeldavad ka Grinstead ja Snell: omista igale žetoonile tinglik väärtus, mis kasvab teguriga q/p. Nendes väärtustes mõõdetuna muutub ebaaus mäng ausaks. Vajuta nuppu Teine null, et näha, kui tundlik see seos on. Ameerika ruleti lisatasku suurendab kasiino eelise peaaegu kahekordseks: 5,26% võrreldes 2,70%-ga. 100 žetooni žetoonhaaval kahekordistamise tõenäosus väheneb ligikaudu 168 korda, 0,4466%-lt 0,002656%-ni. Julge mängu korral langeb see vaid 48,6486%-lt 47,3684%-ni. Järgmine samm, martingaalstrateegia, püüab just sellest raskusest mööda pääseda: alusta väikese panusega ja kahekordista seda pärast iga kaotust.

Ülesanne täielikult lahendatud

Üks võimalus miljonist 4 sammu
Kui suure žetoonivaruga alustades langeb selle kahekordistamise tõenäosus ühe võimaluseni miljonist, kui panustad punasele žetoonhaaval? Vajuta esmalt nuppu 100 topelt, žetoonhaaval: leht näitab tõenäosust 100 žetooni korral.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Lehelt saad 100 žetooni ja Euroopa ruleti kohta:
  
  $P = \frac{1 - r ^{100}}{1 - r ^{200}} = 0.004466, r = \frac{q}{p} = \frac{19}{18}$
2. Kui sihtsumma on algsummast kaks korda suurem, siis N = 2a. Murd lihtsustub, sest 1 − r^2a = (1 − r^a)(1 + r^a). 100 žetooni korral r¹⁰⁰ = 222,90:
  
  $\frac{1 - r ^{a}}{1 - r ^{2 a}} = \frac{1}{1 + r ^{a}} : \frac{1}{1 + 222 . 90} = 0.004466$
3. Võrdsusta tõenäosus ühe võimalusega miljonist ja lahenda võrrand a suhtes:
  
  $\frac{1}{1 + r ^{a}} = 1 0^{- 6} \Rightarrow a = \frac{ln 999 , 999}{ln ( 19/18 )} = \frac{13 . 8155}{0 . 054067} = 255.52$
4. Žetoonide arv peab olema täisarv. Kontrolli leitud väärtusest mõlemale poole jäävat täisarvu:
  
  $a = 255 : 1.03 \times 1 0^{- 6}, a = 256 : 9.75 \times 1 0^{- 7}$
Vastus

Euroopa ruletis 256 žetooni. 255 žetooniga on tõenäosus 1,03 võimalust miljonist, 256 žetooniga 0,975 võimalust miljonist. Ameerika ruletis r = 20/18 ja sama arvutus annab 131,1, seega on vaja 132 žetooni. Julge mängu korral on kahekordistamise tõenäosus kõigi nende algsummade puhul Euroopa ruletis 48,65% ja Ameerika ruletis 47,37%. Määra lehel algsummaks 256 ja sihiks 512 ning liiguta panuse liugurit, et mõlemat panustamisviisi võrrelda.

$a = 256 (r = \frac{19}{18}), a = 132 (r = \frac{20}{18})$

Õpitee

Õiglased mängud, mis sind laostavad

Allikad (3)

The gambler's ruin problem and its formula for the chance of ruin, the limit against an "infinitely rich" adversary (ruin with probability tending to 1 in a fair game, which the first insight quotes), and de Moivre's 1711 derivation by giving the counters nominal values (q/p)^k so that the unfair game becomes fair, which the third insight retells: C. M. Grinstead and J. L. Snell, Introduction to Probability, 2nd edition, American Mathematical Society; the CHANCE Project version dated 4 July 2006, freely redistributable under the GNU Free Documentation License. Section 12.2, Gambler's Ruin, pp. 486–490.
Timid play (a constant bet until ruin or the target) with its probability of winning f(x) = ((q/p)^x − 1)/((q/p)^a − 1), or x/a when p = 1/2, and its expected number of games g(x) = x/(q − p) − (a/(q − p)) f(x), or x(a − x); that larger constant bets help in an unfair game and make no difference in a fair one; bold play's functional equation F(x) = pF(2x) or p + qF(2x − 1), its binary-digit sum, the table F(k/8) and G(k/8), and that for p = 1/2 bold play reaches the target with probability x/a, as timid play does. The page's formulas are these, and check:compute holds its bold-play solver to the binary-digit sum and to the table: K. Siegrist, Random: Probability, Mathematical Statistics, Stochastic Processes (randomservices.org). Chapter 12, Games of Chance: §9 Red and Black, §10 Timid Play, §11 Bold Play.
Bold play is optimal when the trials are unfair (p ≤ 1/2), proved through the sufficient condition pV(x + y) + qV(x − y) ≤ V(x); bold play is not the only optimal strategy; and the chapter's own statement that its exposition 'is based primarily on' Dubins and Savage. The second insight cites both through this page, and check:compute applies the same condition to every whole-chip bet in the page's table: K. Siegrist, Random: Probability, Mathematical Statistics, Stochastic Processes (randomservices.org). Chapter 12, Games of Chance, §12 Optimal Strategies; the chapter is based on L. E. Dubins and L. J. Savage, Inequalities for Stochastic Processes (How to Gamble If You Must), 1965.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.