Martingaalstrateegia

Alusta ühikust punasele ja kahekordista panust iga kaotuse järel, kuni võidad. Vaata, kuidas mängijatel selle strateegiaga tuhande seeria jooksul läheb. Seejärel muuda mängukapitali ja uuri, mida pikem panustejada võimaldab.

Näidisarvutus — Martingaalstrateegia

Kasiino eelis iga panustatud ühiku kohta	2,70%
Panuste arv, milleks kapitalist piisab, k	10
Ühiku võrra plussis lõppevad seeriad	99,8725%
Kogu panustejada kaotavad seeriad	0,1275%
Seeria tulemuse keskväärtus, E(R)	−0,3056
Seerias panustatud summa keskväärtus, E(S)	11,308
Tulemus panustatud ühiku kohta	−2,7027%
Kaotuseta mängijad 1000 seeria järel	27,92%

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Martingaalstrateegia

Martingaalstrateegia alustab ühiku panustamisest sündmusele, mille puhul võit annab panuse suuruse puhaskasumi. Iga kaotuse järel panus kahekordistatakse ning esimese võiduga lõpetatakse. Puhaskasum on siis üks ühik. Kui mängukapitalist piisab k panuseks ehk see on 2^k − 1 ühikut, kaotab seeria kogu summa tõenäosusega q^k. Seeria tulemuse keskväärtus on 1 − (2q)^k ja panustatud summa keskväärtus on (2q)ⁱ summa, kus i muutub 0-st k − 1-ni. Nende kahe keskväärtuse suhe on täpselt p − q. Tõenäosusteoorias on martingaal juhuslik protsess, mille järgmise väärtuse tinglik keskväärtus, arvestades kogu senist infot, võrdub praeguse väärtusega. See on ausa mängu matemaatiline kirjeldus.

Mida iga sümbol tähendab

B: mängukapital esimese panuse ühikutes
k: panuste arv, milleks mängukapitalist piisab; suurim k, mille korral 2^k − 1 ≤ B
q: üksiku panuse kaotamise tõenäosus, 1 − p
R: ühe seeria tulemus: +1 või −(2^k − 1)
S: ühes seerias panustatud kogusumma
X: kaotatud seeriate arv n seeria hulgas

Eeldab: Iga seeria algab taas ühiku suuruse panusega ning mängukapital taastatakse algsuuruseni. Iga võit annab panuse suuruse puhaskasumi; nulli korral kaob kogu panus. Laua panusepiir piirab panustejada samamoodi nagu väiksem mängukapital.

Kahekordistamine võidab peaaegu iga seeria, kuid iga panustatud ühik kaotab kasiino eelise jagu 🖖

Vajuta 1 023 üh, 1 000 seeriat. Panusta punasele 1 ühik, kahekordista panust iga kaotuse järel ja lõpeta esimese võiduga. Ükskõik kui palju oled enne kaotanud, jätab see võit sulle ühiku puhaskasumit: iga panus on ühiku võrra suurem kõigi varasemate kaotuste summast. 1 023 ühikust piisab kümneks panuseks, 1 + 2 + … + 512. Seeria jääb ühiku võrra plussi, kui punane ei jäta kümme korda järjest tulemata. Seda juhtub 0,1275 % seeriatest. Siis kaovad kõik 1 023 ühikut. Hall katkendjoon näitab, millisena strateegia mängijale tundub: iga seeria toob ühiku. Seeria tulemuse keskväärtus on 0,998725 × 1 − 0,001275 × 1 023 = −0,3056. Seerias panustatakse keskmiselt 11,308 ühikut, sest enamik seeriaid lõpeb esimese või teise panusega ja vaid vähestes jõutakse suurte panusteni. Nende kahe keskväärtuse suhe on enne ümardamist −2,7027 % ehk −1/37, viimase numbrini sama mis üksiku punasele tehtud panuse puhul. See kehtib iga mängukapitali korral. Seeria koosneb panustest, millest igaüks kaotab keskmiselt 1/37 oma summast, olenemata panuse suurusest. Vajuta Sümmeetriline münt ja tulemuse keskväärtus on täpselt 0. Siin rakendub Doobi valikulise peatamise teoreem. Kyle Siegristi õpik sõnastab selle mänguri jaoks selgelt: kui mängud on ausad või mängurile ebasoodsad, siis „ei saa ükski peatumisaeg, olgu see kui tahes nutikalt valitud, mängurit aidata”. Hiljemalt kümne panusega lõppev seeria on selle lihtsaim näide. Nimetus oli esmalt kasutusel mängurite seas. Roger Mansuy leiab selle abee Prévost’ 1750. aasta sõnaraamatust: faros kahekordistati panust iga kaotuse järel, „et lõpetada kindla kasumiga, kui õnnestub kordki võita”. Jean Ville tõi sõna tõenäosusteooriasse 1939. aastal.

Peaaegu iga seeria võidab, kuid 1 000 seeria järel on enamik mängijaid miinuses 🖖

Jäta valituks 1 023 üh, 1 000 seeriat ja vaata mängijaid: neid on 400 ning igaühe mängukapital taastatakse pärast kaotust algsuuruseni. Iga joon tõuseb võidetud seeriaga ühiku võrra ja langeb kaotatud seeriaga 1 023 võrra. Kaotatud seeriad on harvad, tõenäosus on iga kord 0,1275 %, kuid iga mängija mängib tuhat seeriat. Pärast 1 000 seeriat pole 27,92 % mängijatest kaotanud ühtki seeriat ning nende tulemus on +1 000. Kõik ülejäänud on kaotanud vähemalt korra. Juba ühest kaotusest piisab, et tulemus oleks 999 − 1 023 = −24, seega on 72,08 % mängijatest miinuses. Esimese kaotatud seeria järjekorranumbri mediaan on 544. Vajuta 100 seeriat: 88,02 % mängijatest on veel kaotuseta. Keskmine tulemus pärast 1 000 seeriat on 1 000 × (−0,3056) = −305,6. Seda näitab lilla katkendjoon, ent alumiselt graafikult näed, et sellist tulemust pole ühelgi mängijal. Võimalikud kogutulemused on 1 000, −24, −1 048 ja nii edasi 1 024 kaupa allapoole. Iga kaotatud seeriaga kaob 1 023 ühikut ja saamata jääb ühik, mille oleks toonud võit. Strateegia koondab kaotuse harvadeks 1 023 ühiku suurusteks langusteks. Seepärast tundubki mäng nii kaua võidukas.

Pikem panustejada suurendab kaotust seeria kohta 🖖

Vajuta 63 ühikut: kuus panust. 63 ühikust piisab kuueks panuseks. Seeria kaotab kogu summa 1,8336 % juhtudest ja tulemuse keskväärtus seeria kohta on −0,1735. 1 023 ühikuga on see −0,3056. Vajuta Miljon ühikut: 1 048 575 ühikust piisab kahekümneks panuseks, seeria kaotab vaid 1,63×10⁻⁴ % juhtudest ja tulemuse keskväärtus on −0,7047. Mängukapitali tabelist näed, kust lisakaotus tuleb. Pikema jada lõppu jõutakse harva, kuid seal on panused palju suuremad. Panustatud summa keskväärtus kasvab: 6,420, 11,308, 26,072. Kasiino eelis võtab igast panustatud ühikust 2,7027 %. Miljoni ühikuga läbib 99,84 % mängijatest 1 000 seeriat kaotuseta ja lõpetab 1 000 ühiku võrra plussis. Keskmine tulemus on siiski −704,7, sest 0,16 % mängijatest kaotab korraga 1 048 575 ühikut. Casanova meenutab oma mälestustes 1754. aasta Veneetsia karnevali, kus ta mängis kuue panuse pikkuse jadaga: „Ma ei kaotanud kordagi kuuendat kaarti. Kui oleksin kaotanud, oleks mu raha otsas olnud” (teda tsiteerivad Grinstead ja Snell). Sümmeetrilise mündi korral annab iga mängukapital tulemuse keskväärtuseks täpselt 0, olgu panustejada kui tahes pikk. Piiramatu mängukapitaliga õnnestub kindlalt võita üks ühik, kuid seerias panustatud summa keskväärtus on siis lõpmatu. Järgmises õppetunnis vaatame sama kahekordistamist teisest küljest. Peterburi mängus kahekordistub võidusumma iga mündiviskega ja selle keskväärtus on lõpmatu.

Ülesanne täielikult lahendatud

Mida maksab tuhat kaotuseta seeriat? 4 sammu
Kui suur mängukapital annab Euroopa ruletis punasele panustades 90 % tõenäosuse läbida 1 000 seeriat ühtki kaotamata ja kui suur on keskmine kaotus seeria kohta? Vajuta esmalt 1 023 üh, 1 000 seeriat: lehelt näed tõenäosust 1 023 ühiku korral.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Lehelt saame kümne panusega jada jaoks:
  
  $(1 - q^{10})^{1, 000} = (1 - 0.001275)^{1, 000} = 0.2792$
2. Et jõuda 90 %-ni, peab ühe seeria kaotamise tõenäosus vähenema väärtuseni:
  
  $(1 - q^{k})^{1, 000} \geq 0.9 \Rightarrow q^{k} \leq 1 - 0 . 9^{1/1, 000} = 0.00010535$
3. Iga lisapanus korrutab seda tõenäosust teguriga q = 19/37, seega peab panuste arv olema vähemalt:
  
  $k \geq \frac{ln 0 . 00010535}{ln ( 19/37 )} = \frac{- 9 . 1582}{- 0 . 6665} = 13.74 \Rightarrow k = 14$
4. Neljateistkümneks panuseks on vaja 2¹⁴ − 1 ühikut. Tulemuse keskväärtuse leiame sama valemiga:
  
  $B = 2^{14} - 1 = 16, 383 : (1 - q^{14})^{1, 000} = 0.9152, E (R) = 1 - (\frac{38}{37})^{14} = - 0.4526$
Vastus

16 383 ühikut ehk neliteist panust annavad tõenäosuseks 91,52 %. Kolmteist panust ehk 8 191 ühikut annavad vaid 84,14 %. Selle eest tuleb maksta suurema keskmise kaotusega: −0,4526 seeria kohta senise −0,3056 asemel. Tuhande seeria peale teeb see −452,6 senise −305,6 asemel. Kuusteist korda suurem mängukapital annab parema võimaluse kaotuseta läbi saada, kuid suurendab ühtlasi kaotuse keskväärtust.

$B = 16, 383 : 91 . 52%, 1, 000 \times (- 0.4526) = - 452.6 (B = 1, 023 : - 305.6)$

Õpitee

Õiglased mängud, mis sind laostavad

Allikad (3)

Where the name comes from, which the first insight quotes: the abbé Prévost's dictionary of 1750 defines the martingale, at faro, as doubling the stake at each loss "in order to quit with a sure profit, provided that he wins once"; Jean Ville's 1939 thesis took the gamblers' word into probability, and Doob adopted it from there. The Provençal and harness etymologies are reported as uncertain: R. Mansuy, "The Origins of the Word 'Martingale'", translated by R. Sverdlove. Journ@l Électronique d'Histoire des Probabilités et de la Statistique / Electronic Journal for History of Probability and Statistics 5(1), June 2009.
Doob's optional stopping theorem for bounded stopping times, and the gambler's reading the first insight quotes, "If the games are fair or unfavorable, then no stopping time, regardless of how cleverly designed, can help the gambler"; with the red-and-black identity E(Xᵢ) = E(Xᵢ₋₁) + (2p − 1)E(Yᵢ), which summed over a session's bets gives the page's E(R) = (p − q)E(S): K. Siegrist, Random: Probability, Mathematical Statistics, Stochastic Processes (randomservices.org). Chapter 16, Martingales, §3 Stopping Times; and Chapter 12, Games of Chance, §9 Red and Black.
Casanova's martingale in Venice, quoted in the third insight ("I never lost the sixth card. If I had lost it, I should have been out of funds"), the doubling system set as Exercise 10 of §1.1, and Exercise 12 of §6.1, the page's 63-unit ladder on a wheel with no zero (start with 1, stop at the first win or when black has come up six times and you are down 63): C. M. Grinstead and J. L. Snell, Introduction to Probability, 2nd edition, American Mathematical Society; the CHANCE Project version dated 4 July 2006 (GNU Free Documentation License). §1.1, Historical Remarks, pp. 11–12, and Exercise 10; §6.1, Martingales and Exercise 12.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.